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选修2-1第二章双曲线的简单几何性质限时训练(二)教师版



选修 2-1 第二章双曲线的简单几何性质限时训练(二)
1.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为 1 A.- 4 B.-4 C.4 D. 1 4 ( ).

解析 由双曲线方程 mx2+y2=1,知 m<0,则双曲线方程可化为 y2-

x2 =1,则 a2=1, 1 - m

/>1 1 a=1,又虚轴长是实轴长的 2 倍,∴b=2,∴- =b2=4,∴m=- ,故选 A. m 4 答案 A 2.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是 A.y=± 3x C.y=± 3x y2 解析 令 x2- =0,则 y=± 3x. 3 答案 C 3 . 已 知 中 心 在 原 点 , 对 称 轴 为 坐 标 轴 且 经 过 点 P(1 , 3) , 离 心 率 为 2 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ( ). y2 x2 B. - =1 4 4 y2 x2 D. - =1 8 8 1 B.y=± x 3 3 D.y=± x 3 ( ).

x2 y2 A. - =1 4 4 x2 y2 C. - =1 8 8

2 2 c2 a +b b2 解析 由离心率为 2,∴e2= 2= 2 =1+ 2=2,即 a=b, a a a

∴双曲线为等轴双曲线,故设所求双曲线的标准方程为 x2-y2=λ(λ≠0),又点 P(1,3) 在双曲线上,则 λ=1-9=-8, y2 x2 ∴所求双曲线的标准方程为 - =1.故选 D. 8 8 答案 D y2 4.已知双曲线 C:x2- =1,过点 P(1,2)的直线 l 与 C 有且只有一个公共点,则满足上述条件的直 4 线 l 共有 A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条 ( )

解析:因为双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,点 P 在渐近线上, 双曲线的顶点为(± 1,0),所以过点 P 且与双曲线相切的切线只有一条.过点 P 平行于渐近线的直线只
1

有一条,所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条. 答案:B 5.如图,ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab(ab≠0)所表示的图形只可能是( )

x2 y2 解析:直线方程可化为 y=ax+b,曲线方程可化为 a + b =1.对于 A,直线中 a>0,b>0,此时曲线表 示椭圆,故 A 不正确;对于 B、D,由椭圆知直线斜率应满足 a>0, 而由 B,D 知直线斜率均为负值,故 B,D 不正确; x2 y2 由 C 中直线可知 a>0,b<0,曲线方程即为 - =1,表示焦点在 x 轴上的双曲线. a -b 答案:C x2 y2 6.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的 a b

? ??? ? 1 ??? 交点分别为 B,C.若 AB = BC ,则双曲线的离心率是 2
A. 2 C. 5 B. 3 D. 10

(

)

a2 ab 解析: 右顶点为 A(a,0), 则直线方程为 x+y-a=0, 可求得直线与两渐近线的交点坐标 B( , ), a+b a+b C(

??? ? ??? ? a2 ab 2a2b 2a2b ab ab ,- ),则 BC =( 2 , ). 2,- 2 2), AB =(- a-b a-b a -b a -b a+b a+b
又 2 AB = BC ,∴2a=b,∴e= 5. 答案:C x2 y2 7.已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴的直线交双曲 a b

??? ?

??? ?

线于 A,B 两点.若△ABF2 为直角三角形,则双曲线的离心率为 A.1+ 2 C. 2 解析:∵△ABF2 是直角三角形, ∴∠AF2F1=45° , b2 |AF1|=|F1F2|, a =2c. ∴b2=2ac,∴c2-a2=2ac, ∴e2-2e-1=0. 解得 e=1± 2.又 e>1, ∴e=1+ 2.
2

(

)

B.1± 2 D. 2± 1

答案:A 8.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上, 一条渐近线的方程为 x-2y= 0,则它的离心率为 A. 5 B. 5 2 C. 3 ( ). D.2

a 1 1 解析 由题意知,这条渐近线的斜率为 ,即 = , b 2 2 c 而 e= = a 答案 A 9.若 0<k<a2,则双曲线 A.相同的虚轴 C.相同的渐近线 x2 y2 x2 y2 - 2 =1 与 2- 2=1 有 a b a -k b +k
2

b 1+( )2= 1+22= 5,故选 A. a

(

).

B.相同的实轴 D.相同的焦点

解析 a2-k>0,b2+k>0,所以 a2-k+b2+k=a2+b2=c2. 所以两双曲线有相同的焦点. 答案 D y2 10.与双曲线 x2- =1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是________. 4 y2 解析 依题意设双曲线的方程 x2- =λ(λ≠0),将点(2,2)代入求得 λ=3,所以所求双 4 x2 y2 曲线的标准方程为 - =1. 3 12 答案 x2 y2 - =1 3 12

x2 y2 11.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是________. 4 k 4- k x2 y2 c 解析 双曲线方程可变为 - =1,则 a2=4,b2=-k,c2=4-k,e= = , a 4 -k 2 又∵e∈(1,2),则 1< 答案 (-12,0) 4- k <2,解得-12<k<0. 2

x2 y2 12. 过双曲线 - 2=1 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M, N 两点, F2 为其右焦点, 则|MF2|+|NF2| 4 b -|MN|的值为________. 解析:由双曲线方程知 a=2. MF2|+|NF2|-|MN| =2a+|MF1|+2a+|NF1|-|MN| =4a+|MN|-|MN| =4a=8.
3

答案:8 x2 y2 x2 y2 13.(2011· 山东高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双曲线的离 a b 16 9 心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________. 解析:由题意知,椭圆的焦点坐标是(± 7,0),离心率是 x2 y2 =2,b =c -a =3,故所求双曲线的方程是 - =1. 4 3
2 2 2

7 2 7 c .故在双曲线中 c= 7,e= =a,故 a 4 4

x2 y2 答案: - =1 4 3 14.若双曲线中心在原点,焦点在 y 轴,离心率 e= 13 ,则其渐近线方程为________. 5

y2 x2 解析 由已知设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
2 2 c2 a +b b2 169 13 由 e= ,得 e2= 2= 2 =1+ 2= . 5 a a a 25

b2 144 b 12 ∴ 2= ,则 = , a 5 a 25 a 5 ∴渐近线方程为 y=± x=± x. b 12 5 答案 y=± x 12 15.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,点 F1 是另一个焦点,若∠PF1Q=90°,则双曲线的 离心率等于________. 解析 设 F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点,由题意知在焦点三角形 F1PF2 中,|PF1| =2 2c,|PF2|=2c, 又|PF1|-|PF2|=2a,故有 e= 2+1. 答案 2+1

x2 y2 16.求与双曲线 - =1 共渐近线且过 A(3 3,-3)的双曲线的方程. 16 9 解 (3 3) (-3) x2 y2 x2 y2 设与 2- 2=1 共渐近线且过 A(3 3, -3)的双曲线的方程为 2- 2=λ, 则 - =λ, 4 3 4 3 42 32
2 2

x2 16y2 11 从而有 λ= ,所求双曲线的方程为 - =1. 16 11 99 17.双曲线 C 的中心在坐标原点,顶点为 A(0, 2),A 点关于一条渐近线的对称点是 B( 2,0),斜 率为 2 且过点 B 的直线 l 交双曲线 C 于 M,N 两点,求: (1)双曲线的方程; (2)|MN|. y2 x2 解:(1)依题意可设双曲线方程为 - 2=1, 2 b

4

y2 x2 线段 AB 以中垂线 y=x 即渐近线,∴b2=2,双曲线方程为 - =1. 2 2 (2)MN 的方程为 y=2(x- 2), y x ? ? 2 - 2 =1, ? ?3x2-8 2x+6=0. ? ?y=2?x- 2? 8 2 Δ=56>0,x1+x2= ,x1x2=2, 3 ∴|MN|= 1+22|x1-x2|= 5 · 64×2 2 70 -8= . 9 3
2 2

18.双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2,经过右焦点 F 且垂直于 l1 的 直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知| OA |,| AB |,| OB |成等差数列,且 BF 与 FA 同向. (1)求双曲线的离心率; (2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 解:(1)设 OA=m-d,AB=m,OB=m+d. 由勾股定理可得 (m-d)2+m2=(m+d)2, b 1 得 d= m,tan∠AOF= , a 4 AB 4 tan∠AOB=tan 2∠AOF=OA= . 3 b a 4 由倍角公式得 b 2=3, 1-? ? a 2 b 1 5 解得 = ,则离心率 e= . a 2 2 a x2 y2 (2)直线 AB 的方程为 y=- (x-c),与双曲线方程 2- 2=1 联立消 y 并将 a=2b,c= 5b 代入, b a b 15 8 5 化简有 2x2- b x+21=0.设交点坐标为(x1,y1),(x2,y2), 4b 则= = a 1+?b?2|x1-x2| a [1+?b?2][?x1+x2?2-4x1x2]=4, 5[? 32 5b 2 28b2 ? -4· ], 15 5

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

将数值代入,有 4=

x2 y2 解得 b=3,故所求的双曲线方程为 - =1. 36 9 y2 → 19.(创新拓展)已知点 N(1,2),过点 N 的直线交双曲线 x2- =1 于 A、B 两点,且ON= 2 1 → → (OA+OB). 2
5

(1)求直线 AB 的方程; → → (2)若过点 N 的直线交双曲线于 C、D 两点,且CD·AB=0,那么 A、B、C、D 四点是否 共圆?为什么? 解 (1)由题意知直线 AB 的斜率存在.

y2 设直线 AB:y=k(x-1)+2,代入 x2- =1 2 得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1、x2 是方程(*)的两根, ∴2-k2≠0. 且 x1+x2= 2k(2-k) . 2-k2 (*)

→ 1 → → ∵ON= (OA+OB), 2 ∴N 是 AB 的中点, ∴ x1+x2 =1, 2

∴k(2-k)=-k2+2,k=1, ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. (2)共圆.将 k=1 代入方程(*)得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3, ∴A(-1,0),B(3,4). → → ∵CD·AB=0,∴CD 垂直 AB, ∴CD 所在直线方程为 y=-(x-1)+2, 即 y=3-x,代入双曲线方程整理得 x2+6x-11=0, 令 C(x3,y3),D(x4,y4)及 CD 中点 M(x0,y0) 则 x3+x4=-6,x3·x4=-11, x3+x4 ∴x0= =-3,y0=6, 2 即 M(-3,6). |CD|= 1+k2|x3-x4| = 1+k2 (x3+x4)2-4x3x4 =4 10,
6

1 |MC|=|MD|= |CD|=2 10, 2 |MA|=|MB|=2 10, 即 A、B、C、D 到 M 的距离相等, ∴A、B、C、D 四点共圆.

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