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2.4等比数列(1)



古埃及 <<阿美斯(Ahmes)纸草书>>上画有一幅图,在7、49、 343、2401、16807数字边分别画着人、猫、鼠、大麦和量器。
后人解出了这道数谜,认为图案要表达的意思是说『有7个人,每人畜养7只猫, 每只猫捕食7只老鼠,而每只老鼠先前偷食了7株麦穗,每株穗麦能装满7个量 杯,… 。』这可算是最早的等比数列了。

2.3 等比数列 (第1课时)

引例:
? ① 如下图是某种细胞分裂的模型:

细胞分裂个数可以组成下面的数列:

1

2

4

8 16 …

引例:
? ②我国古代一些学者提出:“一尺之棰, 日取其半,万世不竭。”用现代语言叙述 为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远 也取不完。这样,每日剩下的部分都是前 一日的一半。如果把“一尺之棰”看成单 位“1”,那么,得到的数列是:
1

1 2

1 4

1 8

1 16



引例:
? ③一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址簿,通过邮件进行传播。如果把病毒制 造者发送病毒称为第一轮,邮件接收者发 送病毒称为第二轮,依此类推。假设每一 轮每一台计算机都感染20台计算机,那么 在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染 的计算机数构成的数列是:

1 20 202

203



引例:
? ④ 除了单利,银行还有一种支付利息的方式——复利, 即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一

期的利息,也就是通常说的“利滚利”。按照复利计算本
利和的公式是:本利和 = 本金×(1+利率)存期。 ? 现在存入银行10000元钱,年利率是1.98%,那么按照复 利,5年内各年末的本利和组成了下面的数列:

10000 ?1.0198 10000 ?1.0198 10000 ?1.0198
2

3

10000 ?1.01984

10000 ?1.01985

引例:
? 观察:请同学们仔细观察一下,看看以上
四个数列有什么共同特征? ? 共同特征:从第二项起,每一项与它前面 一项的比等于同一个常数; ? 我们给具有这种特征的数列一个名字——

等比数列

1、等比数列的定义:
? 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等

于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数就叫做等
比数列的公比(常用字母“q”表示)。 ? (1)公比q一定是由后项除以前项所得,而不能用前项除以后 项来求; ? (2)对于数列{an},若

an ? q(q ? 0) (与n无关的数或字 an ?1

母),n ≥ 2,n ∈N,则此数列是等比数列,q为公比。

2.对定义的认识
(1)等比数列的首项不为0; (2)等比数列的每一项都不为0,即 an ? 0 ; 问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列 的什么条件? (3)公比不为0.

用数学式子表示等比数列的定义
a n ?1 ? q (n ? N * ) (q为常数) ?an ? 是等比数列 ? . an

an ? q 行不行? 如写成 a n ?1
能否改写为?an ? 是等比数列 ? an?1 ? an q (n ? N * )
?为什么不能? (q为常数)

a n ?1 ? q 给出了数列第 n ? 1 项与第 n 项 式子 an
的数量关系,但能否确定一个等比数列? 确定一个等比数列需要几个条件?

当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?
思考:数列①、②、③、④的通项公式存在吗? 如果存在,分别是什么?

2、等比数列的通项公式:
? 法一:递推法

等 差 数 列

等 比 a3 ? a1 ? 2d 类比 数 列 a4 ? a1 ? 3d ……

a2 ? a1 ? d

a2 ? q ? a2 ? a1q a1

a3 ? q ? a3 ? a2 q ? a1q 2 a2 a4 ? q ? a4 ? a3q ? a1q 3 a3

由此归纳等差数列

……

的通项公式可得:

由此归纳等比数列的通项公式可得:

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1q

n ?1

2、等比数列的通项公式:
? 法二:迭加法 迭乘法

等 a2 ? a1 ? d 差 a3 ? a2 ? d 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

类比

等 比 数 列

a2 ?q a1

a4 ?q a3 ……

a3 ?q a2

共n – 1 项

an ?q ×) an ?1

an ? q n ?1 a1

拓展: 等差数列 等比数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
am ? a1 ? (m ? 1)d
类比

an ? a1q
am ? a1q

n ?1

m?1

? an ? am ? (n ? m)d
可得

an a1q n?m ? ?q m ?1 am a1q
可得

n ?1

an ? am ? (n ? m)d

an ? amq

n ?m

课前热身
1.下列各组数能组成等比数列的是( ) C. 6,8,10 D.

1 1 1 A. , , 3 6 9

B. lg 3, lg 9, lg 27

3, ?3 3,9


2.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2 , a8 ? 64 ,那么它的公比 q ? ( A.

4

B.

2

C.

5

2

1 D. 2

3.已知 ?an ? 是等比数列, an > 0 ,又知 a2 那么 a3 ? a5 ? ( A. ) B.

a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 ,
D. 20

5

10

C.

15

4.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , 公比为q且 q ? 1,若 am ? a1 a2 a3 a4 a5 ,则 m 为 ( A. )

9

B.

10

C.

11

D.

12

6.若 ?an ? 是等差数列,公差 d ? 0 ,a2 , a3 , a6 成等比数列,则公比为( A.1 B. 2 C. 3
9 8



D. 4
1 3

7. 等 比 数 列 中 , 首 项 为 于 .

,末项为

,公比为

2 3

,则项数 n 等

8. 在 等 比 数 列 中 , an > 0 , 且 an?2 ? an ? an?1 , 则 该 数 列 的 公 比 q 等 于 .

9.在等比数列 ?an ? 中, an > 0 , (n ? N? ) 且 a3a6a9 ? 8 ,则

log2 a2 ? log2 a4 ? log2 a6 ? log2 a8 ? log2 a10 ?

.

范例讲解
? 例1:一个等比数列的第3项和第4项分别是
12和18,求它的第1项和第2项。
分析:设首项为a1,公比为q,则有
解得
2 ? a q ? 1 ? 12 ? 3 ? ?a1 q ? 18

3 16 q ? , a1 ? 2 3

所以a2 = 8。

思考:有没有其他解法?

范例讲解
? 例1:某种放射性物质不断变化为其他物质,经过
一年剩留的这种物质是原来的84%,这种物质的

半衰期为多长?
分析:这种物质的剩留量可以构成一个等比数列{a n},
其中a1 = 0.84,q = 0.84,设a n = 0.5,

则0.84 n = 0.5,n lg 0.84 = lg 0.5,解得n≈4。

范例讲解
? 例2:王同学洗好衣服后要漂洗衣服,若每次漂

洗时候能漂洗掉80%的洗衣粉残留物,问如果
洗衣粉的残留物不能超过5%,则至少要漂洗几 次?

补充练习
4 ? (1) 一个等比数列的第9项是 ,公比 9
1 是 ? ,求它的第1项; 3
? (2)一个等比数列的第2项是10,第3项是
20,求它的第1项与第4项。

小结
? 1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达

an 式: ? q(q ? 0),(n ≥ 2,n ∈N); an ?1
? 2、要会推导等比数列的通项公式:

an ? a1 ? q

n?1

(a1 ? q ? 0) ,并掌握其基本应用;



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