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高一数学函数的零点


2.4.1 函数的零点
沈阳二中 数学组

思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 有什么关系?

判别式△ = b2-4ac

△>0

△=0

△<0 没有实根
y

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a≠0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象

y
x1 0 x2 x 0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

函数零点的定义:

一般地,如果函数y=f(x)在实数 ?处的值等于0, 即f(?)=0,则?叫做函数y=f(x)的零点。在坐标系 中表示图像与x轴的公共点是( ? ,0)点.
方程f(x)=0有实数根 等价关系 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

方程的根与函数的零点之间的关系
对于二次函数y=ax2 +bx+c(a ? 0): 当? ? b 2 +4ac>0时,方程ax2 +bx+c=0有两个不相等的实数根, 这时说二次函数y=ax2 +bx+c有两个零点; 当? ? b 2 +4ac=0时,方程ax2 +bx+c=0有两个相等的实数根(重根) 这时说二次函数y=ax2 +bx+c有一个二重零点或有二阶零点; 当? ? b 2 +4ac<0时,方程ax2 +bx+c=0没有实数根,这时 二次函数y=ax2 +bx+c没有零点.

一.从二次函数的图像看函数零点的性质
? 当函数的图象通过零点且穿过X轴 时,函数值变号. ? 两个零点把X轴分为三个区间:
y

(??, x1 ),( x1, x2 )( x2 , ??)

x1

0

在每个区间上函数值保持同号.

x2

x

二求出二次函数的零点及其 顶

点坐标,又能粗略地画出函数 草图,确定二次函数的一些主 要性质.

零点存在性的探索
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: < > f(1)___0, 在区间[-2,1]上,f(-2) __0, < 则 f(-2)·f(1) ___0 , 在区间(-2,1)上,x=-1是 x2 -2x-3 =0的一个根
y

.
-2 -1

2

. .
1
-1 -2

.

1

0

2

3 4

x

-3 -4

.

< < > ,f(2)· 在区间 [2,4]上,f(2)___0 ,f(4)___0 f(4)___0 在区间(2,4)上,x=3 是 x2-2x-3=0的另一个根

y

结论:
.
0
a 1

y

.
x
0

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函

数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 区间内存在零点。

.

.

.
b

.
a

b

x

练一练
A 只有一个零点 B 至少有一个零点

1、对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a).f(b)<0 (a,b R,且a<b), 则函数y=f(x)在(a,b)内( B ) C 无零点 D 无法确定有无零点 2、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点,则m的取 值范围是( B ) A x> – 2 B x< – 2 C x>2 D x<2 D – 4 ,0,4

?

3、函数f(x)=x3-16x的零点为(
A (0,0),(4,0) B 0,4

D

)

C (– 4 ,0), (0,0),(4,0)

4、函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为( A ) 1 A (1,2) B ( – 2 ,0) C (0,1) D (0, ) 2

5、已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如 下的x, f(x)对应值表: x 1 f(x) 23 2 9 3 4 –7 11 5 –5 6 7 –12 –26 )个

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有(

A 5

B 4

C

3

D 2

归纳、小结
确定函数零点所在大致区间及零点个数的方 法、步骤: (1)作出x、f(x)的对应值表格; (2)作出y=f(x)的图象; (3)确定y=f(x)的单调性情况 (4)作出判断。

小结与思考
函数零点的定义
等价关系 函数的零点或相应方程的根的存 在性以及个数的判断

作业
成才之路:
2.4.1函数零点 P91--P92



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块儿热毛巾轻柔地为自己擦脸呢,就伸出双手哆哆嗦嗦地抓住男娃儿的手,吃力地说:“小直子,是你吗?你哥和你姐呢?”小沙弥记 着师傅的嘱咐,不敢多说什么,只轻轻地说:“你一定饿坏了吧?我喂你多喝点儿热粥吧。等喝饱了,你就安静地睡觉。放心啊,一切 都好着呢!你先歇息,有什么话,咱们以后再说。”小沙弥说着,扶着耿老爹慢慢坐起来。然后端来一碗热粥,一勺一勺地喂给耿老爹 喝。耿老爹确实饿坏了,一口气喝下去两碗,这才对小沙弥说:“我喝好了。告诉爹,你是怎么逃命的啊?你的头发怎么没了呢?你哥 和你姐呢?”聪明的小沙弥有点儿明白了,这个落难的人,是把自己当成他的儿子了!而且,他们是父子四人一起落难的!震惊的小沙 弥不敢多问,赶快扶耿老爹重新躺下来,并且给他掖一掖被子,亲切地说:“你太累了,需要好好歇息。我先把灯熄了吧。我就睡在你 的旁边,有什么事情你就叫我。我也很累了,咱们睡觉吧!”小沙弥说着,一口吹灭了灯,躺在耿老爹身旁装睡。听耿老爹又念叨了一 句:“唉,怎么没有看见你哥和你姐呢?”一会儿,听到耿老爹呼吸均匀地睡着了,小沙弥轻轻地下炕,直奔师傅屋里去了。老和尚还 没有歇息,正微微眯缝着眼睛在铺上打坐呢。小沙弥进屋来没敢大声说话,只是垂手站在一边。老和尚听见动静微睁双眼,看到是机灵 的小徒弟进来了。他心下明白,小家伙这个时候还来,肯定是有重要事情要和他说,就问:“徒儿,可是落难的施主醒过来了?”小沙 弥说:“师傅,他醒过来了,我已经喂他吃了两碗热粥,此时睡着了。他把我认作自己的儿子了,睡着之前一直喊我小直子,问我是怎 么逃命的,头发怎么没有了;还说怎么没有看见我的哥哥和姐姐。”老和尚双手合十说:“阿弥陀佛!不幸的人啊,看来是父子四人同 时落难的。你回去一定要好生照顾。他刚刚活过来,意识尚未完全清醒呢。如果认你为儿,你不必否认。等他的身体逐渐恢复了,我再 给他慢慢疏导吧。”小沙弥听从师傅嘱咐,马上返回厨房的火炕上陪耿老爹睡觉去了。从此之后,耿老爹就在小寺庙里住了下来。这个 寺庙实在是太小了,除了前院正中供奉有大肚弥勒佛的香火房还算说得过去之外,前、后院加起来也就还有十几间极普通的木制板房了。 而且,这个寺庙里的僧人也就只有前面提到的师徒四人。不过,这个寺庙虽然很小,僧人也只有老少四人,但出家人慈悲为怀的慈善和 仁爱之心却是一点儿也不少的。尽管日日三餐都是粗茶淡饭,但师徒四人亲亲热热和和气气地生活在一起。因此,与其说这是一个寺庙, 倒不如说这里就是一个普普通通的人家。而且,师徒四人都用特别友善的心,非常耐心地对待身体逐渐恢复,但意识一直糊涂不清的耿 老爹。尤其是那个极其机


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