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2013版高考数学(人教A版·数学文)全程复习方略配套课件:7.2 空间几何体的表面积与体积



第二节 空间几何体的表面积与体积

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三年22考

高考指数:★★★★

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.(不要求 记忆公式)

1.从近几年的高考来看,本节内容成为高考的一个热点,主要考 查:(1)常见几何体的侧面积、表面积与体积;(2)结合

三视图求 空间几何体或简单组合体的表面积或体积. 2.从考查形式上看,多以选择题、填空题的形式出现,有时也以 解答题的形式出现,难度不大,属容易题.

3.本部分内容的难点是与球有关的组合体问题.

1.空间几何体的侧面积和表面积 (1)简单几何体的侧面展开图的形状
名称 侧面展开图形状 侧面展开图

圆柱

矩形
r

l

c

圆锥

扇形 l

c r

c'
圆台 扇环 r'

l

c

r

直棱柱

矩形

h c

侧面展开

正n棱锥

n个全等的 等腰三角形

h' h'

c

正n棱台

n个全等的

等腰梯形
h'

侧面展开

c' h' c

(2)多面体的侧面积和表面积
因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是侧面 展开图的面积,表面积是侧面积与底面积的和.

(3)旋转体的侧面积和表面积
①若圆柱的底面半径为r,母线长为l,则 2π rl 2π r2+2π rl S侧=_____,S表=____________=__________. 2π r(r+l) ②若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则

π rl π r2+π rl π r(r+l) S侧=_____,S表=__________=_________.
③若圆台的上下底面半径分别为r′,r,则S侧= π (r′+r)l π (r′2+r2+r′l+rl) __________,S表=__________________. 4π R2 ④若球的半径为R,则它的表面积S=______.

【即时应用】 (1)思考:四棱柱、四棱锥、四棱台是由多少个平面图形围成 的多面体,它们的展开图是什么? 提示:四棱柱是由6个平面图形围成的多面体,它的展开图是4 个平行四边形及两个全等的四边形;四棱锥是由5个平面图形 围成的多面体,它的展开图是4个共顶点的三角形及一个四边 形;四棱台是由6个平面图形围成的多面体,它的展开图是4个

梯形及两个相似的四边形.

(2)棱长为2的正四面体的表面积为___________.
【解析】正四面体的表面积为 4 ? ( 3 ? 22 ) ? 4 3. 4 答案:4 3

(3)若某几何体的三视图(单位:cm)如图 所示,则此几何体的侧面积=______cm2. 【解析】由三视图可知该几何体是圆锥,

其底面半径为3,母线长l=5,
1 ×2π×3×5 2 =15π (cm2).

∴S侧=

答案:15π

2.几何体的体积公式
几何体名称 棱(圆)柱 棱(圆)锥 体积 Sh V=______,(S为底面面积,h为高)
1 Sh 3 V=______,(S为底面面积,h为高) 1 (S? ? S?S ? S)h V=_________________, 3

棱(圆)台

(S′,S为上、下底面面积,h为高) 球
4 3 ?R 3 V=______,(R为球半径)

【即时应用】 (1)已知正方体外接球的体积是 32 ?, 那么正方体的棱长为____. 3 (2)如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是____.

【解析】(1)设正方体的棱长为a,外接球的半径为R, 则 2R ? 3a,? R ? 3 a, 由题意知 2
4 3 32 V球 ? ?R ? ?, 3 3 ∴R=2, 3 a ? 2,? a ? 4 3 . ? 2 3

(2)由三视图知该几何体为组合体,由一个正四棱锥与一个正 方体叠加构成,其中正方体的棱长为3,正四棱锥的高为1,底

面正方形的边长为3,
∴V=V正方体+V正四棱锥= 33 ? 1 ? 9 ?1 ? 30. 3 答案:(1) 4 3 (2)30
3

几何体的展开与折叠
【方法点睛】1.求几何体表面上两点间的最短距离的方法 常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面 上两点间的最短距离. 2.解决折叠问题的技巧 解决折叠问题时,要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图 形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发 生了变化,哪些没有发生变化.

【提醒】对折叠问题中的前后两个图形,在折线同侧的元素的 位置关系和数量关系不发生变化;在折线异侧的元素的位置关 系和数量关系发生变化.

【例1】(1)(2012·南京模拟)如图,已知

正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm,
高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着正三 棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线 的长为________cm. (2)如图,已知一个多面体的平面展开图由

一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三
角形组成,则该多面体的体积是_______.

【解题指南】(1)将正三棱柱的侧面展开转化为平面问题来解 决;(2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥,用相关公式可求 得体积.

【规范解答】(1)将正三棱柱沿棱AA1两次展开,得到如图所示 的矩形,可知最短路线长为矩形的对角线长,从而所求最短路 线的长为 52 ? 122 ? 13? cm ?.

答案:13

(2)由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为1,侧棱长为1,
斜高为
3 ,连接顶点和底面中心即为高,可得高为 2 ,所以体 2 2

积为V ? 1 ?1?1? 2 ? 2 .
3 2 6

答案: 2
6

【反思·感悟】1.求几何体表面上两点间的最短距离问题的特 点是:图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或 旋转体的侧面上,解题时需将图中的某些平面旋转到同一平面 上,或者将曲面展开为平面,使问题得到解决. 2.折叠问题是立体几何中常见的题型,几何体的展开与平面图 形的折叠,体现了空间图形与平面图形的转化,是解决立体几

何问题时常用的方法.

几何体的表面积 【方法点睛】1.几何体表面积的求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和;旋转体的表面积等 于侧面面积与底面面积的和. (2)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体,则可直接利

用公式进行求解;
(3)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进

行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,
得到几何体的直观图,然后根据条件求解.

2.旋转体侧面积的求法 计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧 面展开化为平面图形来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展 开图的形状及平面图形面积的求法. 【提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别,对于组合体的 表面积还应注意重合部分的处理.

【例2】(1)(2011·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,该

四棱锥的表面积是(

)

(A)32

(B) 16 ? 16 2

(C)48

(D) 16 ? 32 2

(2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
_________.

【解题指南】(1)由三视图得到几何体的形状,然后根据图中
数据及面积公式计算表面积即可.

(2)先将三视图还原为实物图,并画出直观图,然后将三视图
中的条件转化到直观图中求解.

【规范解答】(1)选B.画出该几何体的直观图如图所示.可得
斜高为 22 ? 22 ? 2 2, 表面积为 4 ? ( 1 ? 4 ? 2 2) ? 42 ? 16 ? 16 2. 2

(2)由三视图知,该几何体由上、下两个长方体组合而成.下面 长方体的长、宽、高分别为8,10,2;上面长方体的长、宽、 高分别为6,2,8,如图,

∴S表=2×10×8+2×(8+10)×2+2×(2+6)×8=360.

答案:360

【反思·感悟】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面 积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面 圆的面积之和. 2.注意对面积公式的讨论都是利用展开图进行的,解题中要注

意将空间图形转化为平面图形这一方法的运用.

几何体的体积 【方法点睛】1.求几何体体积的思路 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台 体,则可直接利用公式进行求解; (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用 转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几

何体的直观图,然后根据条件求解.

2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为

【提醒】在立体几何的计算题中,要有必要的推理.

【例3】(1)(2011·新课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面, 且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底
3 则这两个圆锥中,体积较小者的 , 16 高与体积较大者的高的比值为___________.

面面积是这个球面面积的

(2)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个
底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,

高为4的等腰三角形.
①求该几何体的体积V; ②求该几何体的侧面积S.

【解题指南】(1)画出组合体的截面图,利用直角三角形中的 边角关系求圆锥底面圆的圆心与球心的距离即可. (2)根据三视图可得到几何体的直观图,结合相应数据及公式 求解即可.

【规范解答】(1)如图,设球的半径为R,圆锥底面圆的半径为 r,则依题意得 ?r 2 ? 3 ? 4?R 2 , 16 即 r ? cos?O?CO ? 3 , R 2 1 ∴∠O′CO=30°,∴OO′= R, 2 1 ∴AO′=R- 1 R,BO′=R+ R, 2 2
1 R AO? 2 1 ? ? ? . BO? 3 R 3 2

1 答案: 3

(2)由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底
面的射影是矩形中心的四棱锥P-ABCD. ① V ? ? (8 ? 6) ? 4 ? 64. ②该四棱锥有两个侧面PAD、PBC是全等的等腰三角形,且BC边 上的高为 h1 ? 42 ? ( 8 ) 2 ? 4 2, 另两个侧面PAB、PCD也是全等的
2
1 3

等腰三角形,AB边上的高为 h 2 ? 42 ? ( 6 ) 2 ? 5,
2

因此 S ? 2 ? ( 1 ? 6 ? 4 2+ 1 ? 8 ? 5) ? 40+24 2.
2 2

【反思·感悟】1.求几何体的体积关键是确定几何体的形状及

相关数据,利用公式求解.
2.求与球有关的组合体的体积时,常遇到的困难是弄不清几何 体中元素与球半径的关系,这往往会导致解题错误.

【易错误区】求球的组合体体积时的易错点
【典例】(2011·辽宁高考)已知球的直径SC=4,A、B是该球球 面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S-ABC的体积 为(
(A) 3 3

)
(B) 2 3 3 (C) 4 3 3 (D) 5 3 3

【解题指南】根据所给条件画出图形,将三棱锥S-ABC分为上下 两部分,结合三棱锥的体积公式求解.

【规范解答】选C.如图,由题意可知,在三棱锥S-ABC中,△SAC
和△SBC都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4,SA=SB=AC= BC= 2 2. 取SC的中点D,易得SC⊥平面ABD.故所求棱 锥S-ABC的体积等于以△ABD为底的两个小三 棱锥的体积的和,其高的和即为球的直径SC, 故VS-ABC= 1 ? 4 ? 3 ? 4 3 . 3 3

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下误区警示和备考建议: 在解答本题时容易出错的主要原因有: 误 区 (1)不能合理地画出图形、不能将所给条件转化到三

棱锥中;
(2)不能将三棱锥的体积转化为两个三棱锥的体积之 和来处理.




由于近几年的高考加强了对几何体体积、面积的考 查,在备考中要注意: 备 考 (1)加强对常见几何体的有关计算的训练,熟练掌握 常见几何体的面积及体积的求法;




(2)对于一些复杂的几何体,要善于将其转化为规则
的几何体进行求解; (3)要重视对计算能力的训练与培养,以适应高考的 需要.

1.(2011·湖南高考)如图是某几何体的三视图,则该几何体的 体积为( )

9 (A) ? ? 12 2

9 (B) ? ? 18 2

(C)9? ? 42

(D)36? ? 18

【解析】选B.由三视图可以得到几何体的上面是一个半径为 3 2 的球,下面是一个底面边长为3高为2的正四棱柱,故其体积为
4 3 9 V ? ? ?? ( )3 ? 32 ? 2 ? ? ? 18. 3 2 2

2.(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示,则该 几何体的表面积为( )

? A ? 48    ? 32 ? 8 ?B

17     ? 48 ? 8 17     ? 80 ?C ?D

【解析】选C.由三视图可知:该几何体为一四棱柱,其底为 一等腰梯形:S底=2×
4?2 ×4=24,侧面积为:S侧= 2

(4+2+ 2 17 )×4=24+ 8 17,
∴S表=S底+S侧=48+ 8 17.

3.(2012·保定模拟)若等腰直角三角形的直角边长为3,则以 一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是( (A)9π (B)12π (C)6π (D)3π )

【解析】选A.由题意知所得几何体为圆锥,且底面圆半径为 3,高为3,故 V ? 1 ?(?? 2 )? ? 9?. 3 3 3

4.(2011·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位:m), 则该几何体的体积为_________m3.

【解析】由三视图可知,该几何体由上下两部分组成,其中下 面是一个长、宽、高分别为2、1、1的长方体,上面是一个长、 宽、高分别为1、1、2的长方体,所以所求的体积是: V=2×1×1+1×1×2=4. 答案:4

5.(2011·福建高考)三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底

面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC的体积等于_____.
【解析】由题意得, VP?ABC ? 1 ? ? ABC ?PA ? 1 ? 3 ? 22 ? 3 ? 3. S 3 3 4 答案: 3



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