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圆的标准、一般方程 2



圆的标准方程
设点M (x,y)为圆C上任一点, 则 |MC|= r
2

( x - a ) + ( y - b) = r
2

2

2

y

M(x,y)
C x

x ? a? ? ? y ? b? ? r2 ?



O

圆心C(a,b),半径r
若圆心为O(0,0),则圆的方程为: x + y = r
2 2 2

4. 过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆
的标准方程. 解:设圆的标准方程为(x-a)?+(y-b)?=r?,根据已

知条件可得
(1-a)?+(-1-b)?=r?,①

(-1-a)?+(1-b)?=r?,②
a+b-2=0, ③ 联立①,②,③,解得a=1,b=1,r=2. 所以所求圆的标准方程为(x-1)?+(y-1)?=4.

1. 圆的方程的推导步骤: 建系设点→写条件→列方程→化简→说明 2. 圆的方程的特点: 点(a,b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径; 3. 求圆的方程的两种方法:待定系数法和直接法.

圆的一般方程.

直线方程有不同的 表示形式,那圆的 方程呢?
将圆的标准方程 展开得
2

( x - a)2 + ( y - b)2 = r 2

x2 + y 2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r 2 = 0
2

x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程

反之是否成立 ?

分析方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 所表示的轨迹

2

2

D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F ) + (y + ) = (*) 配方可得 ( x + 2 2 4
D E , - ) 为圆心, (1)当 D + E - 4F > 0 时,方程 (*) 表示以 (2 2 1 D 2 + E 2 - 4 F 为半径的圆. 2
2 2

( 2 ) 当 D + E - 4F = 0 时 , 方 程 (*) 只 有 一 个 实 数 解

2

2

x= -

D E D E ,y= ,- ) . (*) 表示一个点 (,所以方程 2 2 2 2
2 2

(3) D + E - 4F < 0 时, 当 方程 (*) 没有实数解, 所以方程 (*) 不 表示任何图形.

圆的一般方程
方程

x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F ? 0)
1 D2 ? E 2 ? 4F ,半径为 2

称为圆的一般方程.
D E (? , ? ) 圆心为 2 2

【典例训练】
1.(2012·新余高一检测)圆心为C(3,-5),且与直线x-7y+2=0 相切的圆的标准方程为___________. 2.(2012·广州高一检测)求过点A(2,-3),B(-2,-5) 且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的标准方程. 【解析】1.由题意知,圆心C(3,-5)到直线x-7y+2=0的距离等于 半径,即 r ?
3 ? 7 ? ? 5) 2 ( ? 1 ? ? 7) (
2 2

? 4 2,

所以,圆C的标准方程为(x-3)2+(y+5)2=32. 答案:(x-3)2+(y+5)2=32

2.? k AB ?

?5 ? (?3) 1 ? , ?2 ? 2 2

AB的中点为(0,-4),

所以AB的垂直平分线方程为y+4=-2x,
即2x+y+4=0.
, ?2x ? y ? 4 ? 0, ? x ? ?1 联立 ? 得? ? x ? 2y ? 3 ? 0, ? y ? ?2,

所以圆心为(-1,-2). 又圆经过点B(-2,-5),
2 2 所以,半径 r ? ( ? 2 ? 1)( ? 5 ? 2) ? 10, ?

所以,圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

【变式训练】直线x+2y+3=0将圆(x-a)2+(y+5)2=3平分,则圆
的方程为____________. 【解析】直线过圆心时将圆平分,将圆心(a,-5)代入直线方 程x+2y+3=0得,a=7.∴所求圆的方程为(x-7)2+(y+5)2=3. 答案:(x-7)2+(y+5)2=3

【典例训练】 1.若圆C与圆(x-5)2+(y+1)2=5关于点A(3,1)对称,则圆C的标 准方程为_____________. 2.已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1和直线l:x-y-1=0,求圆C关于直线l

对称的圆的标准方程.

【变式训练】若圆(x+1)2+(y-5)2=4与圆(x-3)2+(y+3)2=4关于
直线x+y-a=0对称,求实数a的值.

【解析】由题意知,两圆的圆心关于直线x+y-a=0对称,即两圆
心的中点在该直线上. 因为两圆的圆心分别为(-1,5),(3,-3),其中点坐标为 (1,1),所以有1+1-a=0,得a=2.

【典例1】已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段
长为8,求该圆的标准方程.

【规范解答】由题意设该圆的圆心为C,且与y轴相交的弦的两
个端点分别为A,B,坐标原点为O,故据条件可知|AC|=r=5, |AB|=8. 所以|AO|=4①, ………………………………………………2分 在Rt△AOC中,
OC ? AC ? AO ? 52 ? 42 ? 3. ????????????6分
2 2

所以圆心C的坐标为(3,0)或(-3,0)②,

所以所求圆的方程为(x-3)2+y2=25,
或(x+3)2+y2=25. ……………………………………………12分

典例2已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -
2),且圆心C在直线上l:x -y +1=0,求圆心为 C的圆的标准方程. y
A(1,1)

弦AB的垂直 平分线
x

O D

l

'

C

B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心C:两条直线的交点
半径CA:圆心到圆上一点

典例3 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

y
A(5,1) O C E C(2,-8)

D

x
B(7,-3)

圆心:两条弦的中垂线的交点

半径:圆心到圆上一点

例1:求过点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x2+y2-4x+ 6y-3=0相同的圆的方程.

解:将已知圆的方程化为标准方程(x-2)2+(y+3)2=16.
圆心C的坐标为 (2,-3),半径为4,故所求圆的半径为
r ?| CM |? (2 ? 1) 2 ? (?3 ? 1) 2 ? 5

所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.

求动点的轨迹方程

(1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y); (2)列出点M满足条件的集合; (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0; (4)将上述方程化简;

(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.

【典例训练】 1.若动点P(x1,y1)在曲线y=2x2+1上移动,则P与点A(0,-1)连线 的中点M的轨迹方程为_____________. 2.已知等腰△ABC的底为BC,且A(1,2),B(3,4),求另一顶点C

的轨迹方程.

2.由题意可知|AC|=|AB|,
2 2 AB ? (3 ? 1)(4 ? 2) ? 2 2. ?

∴C点轨迹是以A(1,2)为圆心,|AB|为半径的圆,即 (x-1)2+(y-2)2=8. 又A,B,C构成三角形,故C不能与B重合,即C不为(3,4) 点,且A,B,C三点不共线,即C点不能为(5,6). 综上,点C的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=8挖去(3,4),(5,6) 两点.

利用定义求轨迹方程 【典例】已知△ABC的边AB的长为2a,若BC上的中线为定 长m,求顶点C的轨迹方程.

【规范解答】以直线AB为x轴,AB的中垂线为y轴①建立坐标系, 则A(-a,0),B(a,0), …………………………………………2分

设C(x,y),BC中点D(x0,y0)……………………………4分
则 x 0 ? x ? a ,y0 ? y (1),
2 2
2 因为|AD|=m, 所以(x ? a)? y2 ? m2 (2). …………………8分 0 0

将(1)式代入(2)式整理得 (x+3a)2+y2=4m2. …………………………………………10分 因为C不能在x轴上,所以y≠0②, …………………………11分 故所求轨迹方程为(x+3a)2+y2=4m2(y≠0). ……………12分

【规范训练】(12分)已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0), B(3,0),求直角顶点C的轨迹方程. 【解题设问】 (1)解答此题还需建立坐标系吗? 不需要 _________ (2)在此题中AC,BC的斜率满足什么条件? kAC·kBC=-1 _______________

【规范答题】设顶点C(x,y), ……………………………2分
因为AC⊥BC,且A、B、C三点不共线,所以x≠3且x≠-1. …………………………………………………………………4分
又k AC ? y y ,且k BC ? , ?????????????????6分 x ?1 x ?3 y y 且k AC ?k BC ? ? ? ?1 ?????????????????8分 , x ?1 x ? 3

化简得x2+y2-2x-3=0.…………………………………………10分 所以,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且 x≠-1).………………………………………………………12分

(10分)已知直线l1过点A(-1,0),且斜率为k,直线l2过点B
(1,0),且斜率为 (1)求动点M的轨迹方程; 其中k≠0,又直线l1与l2交于点M.

(2)若过点N(

1 ,1)的直线l交动点M的轨迹于C、D两点, 2

且N为线段CD的中点,求直线l的方程.

【解析】



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