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陕西省长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学(五校)2013届高三第三次模拟考试数学(理)试题


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高 2013 届第三次模拟考试 数学 (理 )试题 数学(
命题学校:师大附中 审题学校:西安中学

第 Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)
1.若集合 A = {x |

x ≤ 0} , B = {x | x 2 < 2 x} ,则 A ∩ B = 【 x ?1
B. {x | 0 ≤ x < 1}

】. D. {x | 0 ≤ x ≤ 1}

A. {x | 0 < x < 1}

C. {x | 0 < x ≤ 1} 】. D. 1 + i 】.

2.若复数 z 满足: z + 1 = ( z ? 1)i ,则复数 z 的共轭复数 z = 【 A. ?i B. i C. 1 ? i

3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【 A. 80 B. 40 C.

80 40 D. 3 3 4.若 ?ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sinC = 5 :11:13,则 ?ABC【
A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 5.函数 f ( x ) = lg | sin x | 是【 】. B.一定是直角三角形

】 .

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 开始 B.最小正周期为 2 π 的奇函数 D.最小正周期为 2 π 的偶函数 】.

A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 6.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为【 A. 26 B. 35 C. 40

S=0,i =1
T=3i-1 S=S+T

D. 57 】.

7.若数列 {an }满足 a1 = 15 ,且 3an +1 = 3an ? 2 ,则使 a k ? ak +1 < 0 的 k 值为【 A. 22 B. 21 C. 24 D. 23

i= i+1
否 i>5? 是

8.“ a = 1 ”是“直线 l1 : ax + 2 y ? 1 = 0 与 l2 : x + ( a + 1) y + 4 = 0 平行”的【 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

】.

输出 S 结束

第 1 页 共 4 页

9.设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? = 1 ( a > 0, b > 0) 的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点 P ,满足 a2 b2
】.

PF2 = F1 F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【
A.

4 3

B.

5 3

C.

5 4

D.

41 4

10.一个赛跑机器人有如下特性: (1)步长可以人为地设置成 0.1 米, 0.2 米, 0.3 米,…, 1.8 米或 1.9 米; (2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成; (3)当设置的步长为 a 米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔 a 秒. 则这个机器人跑 50 米(允许超出 50 米)所需的最少时间是【 A. 48.6 秒 B. 47 .6 秒 】. D. 47 秒

C. 48 秒

第Ⅱ卷 (共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.在 (4 x ? 2? x ) 6 的展开式中,常数项为 .

12.若向量 a = (cos θ , sin θ ) , b = ( 3, ?1) ,则 | 2 a ? b | 的最大值为

?

?

? ?

.

13.若实数 x, y 满足 ?1 < x + y < 4 ,且 2 < x ? y < 3 ,则 p = 2 x ? 3 y 的取值范围是________. 14.若曲线 y = x 在点 ( m, m ) 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18 ,则 m = ________. 15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分. 不等式选讲 )若实数 a, b, c 满足 a 2 + b 2 + c 2 = 4 ,则 3 a + 4 b + 5 c 的最大值为_________. A.( A.(不等式选讲 不等式选讲) B.( 几何证明选讲 )以 Rt ?ABC 的直角边 AB 为直径的圆 O 交 AC 边于点 E ,点 D 在 BC 上,且 DE 与圆 O B.(几何证明选讲 几何证明选讲) 相切.若 ∠A = 56° ,则 ∠BDE = _________. 坐标系与参数方程 )在极坐标系中,曲线 ρ = 4 cos(θ ? C.( C.(坐标系与参数方程 坐标系与参数方程) 离为_________.
? 1 2 ? 1 2

π π ) 与直线 ρ sin( θ + ) = 1的两个交点之间的距 3 6

第 2 页 共 4 页

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
16.(本题 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 a . ① sin 2 13° + cos 2 17° ? sin 13° cos 17° ; ② sin2 15° + cos2 15° ? sin15° cos15° ; ③ sin 18° + cos 12° ? sin 18° cos 12° ; ④ sin (?18°) + cos 48 ° ? sin( ?18°) cos 48° ; ⑤ sin ( ?25°) + cos 55° ? sin( ?25°) cos 55° . (1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 a ; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
2 2 2 2 2 2

17.(本题 12 分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中, AD = AA1 = 1, AB = 2, 点 E 在棱 AB 上. (1)求异面直线 D1 E 与 A1 D 所成的角; (2)若二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 45 ° ,求点 B 到面 D1 EC 的距离.

18.(本题 12 分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题,按照题目要 求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过.已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题 能正确完成, 2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响. (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望; (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.

1 3

第 3 页 共 4 页

19.(本题 12 分)在数列 {an } 中, a1 =

2 2an ,且对任意的 n ∈ N * 都有 an +1 = . 3 an + 1

(1)求证: {

1 ? 1}是等比数列; an

(2)若对任意的 n ∈ N * 都有 an +1 < pan ,求实数 p 的取值范围.

20.(本题 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 6 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 1的直线交 2 a b 3

椭圆 C 于 A, B 两点, N 为弦 AB 的中点, O 为坐标原点. (1)求直线 ON 的斜率 k ON ; (2)求证:对于椭圆 C 上的任意一点 M ,都存在 θ ∈ [0,2π ) ,使得 OM = cos θ OA + sin θ OB 成立.

21.(本题 14 分)设函数 f ( x ) = x 2 + a ln( x + 1) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 < x2 . (1)求实数 a 的取值范围; (2)讨论函数

f (x) 的单调性;

(3)若对任意的 x ∈ ( x1 ,+∞ ) ,都有 f ( x ) > m 成立,求实数 m 的取值范围.

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