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抽象函数单调性的判断及其应用



抽象函数单调性的判断及其应用 2015/9/20
1.已知函数 f ( x) 是定义域为(-1,1)的减函数,且 f ( x) ? ? f (? x) ,

4.函数 f ( x) 对任意的 a, b ? R ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 1,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 (1)求证: f ( x)

是 R 上的增函数(2)若 f (4) ? 5 ,解不等式 f (3m2 ? m ? 2) ? 3 。

f (a ? 3) ? f (9 ? a2 ) ? 0 ,求 a 的取值范围。

2.设 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调增函数,满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (3) ? 1 (1)求 f(1 (2)当 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 时 x 的取值范围. )

x? y 5.设 f ( x) 为(-1,+1)上的函数,对 ?x, y ? (?1,1) 都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( ), 1 ? xy

当 0 ? x ? 1 时 f ( x) ? 0 , 求证:(1) f (? x) ? ? f ( x) ; (2) f ( x) 为(-1,1)上的减函数。

3. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对 m 、 n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f ( x ) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。

1 6. 已知定义在区间 (0,??) 上的函数 f(x)满足 f ? 且当 x ? 1 时,f ( x) ? 0 ?x ? ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ? 2?
2 (1)求 f (1) 的值;(2)判断 f ( x) 的单调性;(3)若 f (3) ? ?1 ,解不等式. f ( x ? 8x) ? ?2

?x ?

1

7.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-3.
(1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

2

9. 已知函数 f ( x) 满足:对任意 x, y ? R, 都有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2 成立,且

x ? 0 时, f ( x) ? 2, (1)求 f (0) 的值,并证明:当 x ? 0 时,1 ? f ( x) ? 2; (2)判断 f ( x) 的单调

( - ?, 0) 性并加以证明; (3)若 g ( x) ? f ( x) ? k 在 上递减,求实数 k 的取值范围

, 1] 上的奇函数 f ( x) ,对任意 m、n ? [?1, 1] ,且 m ? n ? 0 时,恒有 10.定义在 [?1
8.设函数 f ( x) 是实数集 R 上的增函数,令 F ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x), 求证: F ( x ) 在 R 上是增函数; (2)若 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0, 求证: x1 ? x2 ? 2.

f ( m) ? f ( n) ? 0; m?n 1 1 (1)比较 f ( ) 与 f ( ) 大小; 2 3

, 1] 上的单调性,并用定义证明; (2)判断函数 f ( x) 在 [?1
(3) 若 a ? 8 x ? 1 ? 0 对满足不等式 f ( x ? ) ? f ( ? 2 x) ? 0 的任意 x 恒成立, 求 a 的取值范围。

1 2

1 4

.

2



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