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肇庆市2017届高二上学期期末统一检测(文数)



肇庆市 2017 届高二上学期期末统一检测 数学(文科)
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔在准考证号填涂区将考号涂 黑. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应

题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答 案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)命题“ ?x ? R , sin x ? 0 ”的否定是 (A) ?x ? R , sin x ? 0 (C) ?x ? R , sin x ? 0 (B) ?x ? R , sin x ? 0 (D) ?x ? R , sin x ? 0

(2)过点 C (2, ?1) 且与直线 x ? y ? 3 ? 0 平行的直线是 (A) x ? y ? 1 ? 0
2

(B) x ? y ? 1 ? 0

(C) x ? y ? 3 ? 0

(D) x ? y ? 1 ? 0

(3)抛物线 y ? 4x 的焦点到准线的距离是 (A) 4 (B) 2 (C)

1 8
4 6 4
正视图

(D)

1 16

(4)图 1 是一个组合体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积(接触面积忽略 不计)是 (A) 32? (B) 36? (C) 40? (D) 48? (5) “ x2 ? 1 ? 0 ”是“ x ? 1 ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

4
侧视图

俯视图

图1

1

(C)充要条件 (6)直线 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 与圆 ( x ?1) 是 (A) 1 (B) 2
2

(D)既不充分也不必要条件

? ( y ? 2)2 ? 9 相交于 A、B 两点,则线段 AB 的长度

(C) 2 2

(D) 4 2

(7)某三棱锥的三视图如图 2 所示,其正视图和侧视图都直角三角形,则该三棱锥的体积 等于

1 3 2 (B) 3
(A) (C) 1

3

正视图

侧视图

1

2
俯视图

图2

(D)3 (8)如果方程 x
2

? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是
(C) (

(A) (1,+∞) ( B) (1,2)

( 9 )设命题 p : 直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 135 ? ;命题 q : 平面直角坐标系内的三点

1 ,1) 2

(D) (0,1)

A(? 1 ? , 3) B,( 1 , 1 ) C,( 2 , 2共线 ) . 则下列判断正确的是
(A) ? P 为假 (B) ? p ? ? q 为真 (C) p ? q 为真 (D) q 为真

(10)圆心在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?5), B(0, ?3) ,则圆 C 的 方程是 (A) ( x ?1) (C) ( x ?1)
2

? ( y ? 4)2 ? 2 ? ( y ? 4)2 ? 2

(B) ( x ? 1) (D) ( x ? 1)

2

? ( y ? 4)2 ? 2 ? ( y ? 4)2 ? 2

2

2

(11) ?ABC 是球的一个截面的内接三角形,其中 AB ? 18 , BC ? 24 、 AC ? 30 ,球心 到这个截面的距离为球半径的一半,则球的半径等于 (A) 10 (B) 10

3

(C) 15

(D) 15

3

(12)已知抛物线 L 的顶点在原点,对称轴为 x 轴,圆 M : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心 M 和
A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 两点均在 L 上,若 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补,则直线

AB 的斜率是
(A) ?1 (B) 1 (C) ?4 (D) 4

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (13)已知直线 l1 : 3x ? y ? 2 ? 0, l2 : x ? my ? 3 ? 0 , 若 l1 ? l2 ,则 m 的值等于 ▲ .
1 1 主视图 1 1 侧视图 1 1

x2 y 2 (14)双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ?2 2x , a b
则此双曲线的离心率等于 ▲ . ▲ .

俯视图

图3

(15)一个几何体的三视图如图 3 所示 ,其体积为

(16) m, n 是空间两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面. 下面有四个命题: ① m ? ? , n // ? , ? // ? ? m ? n ③ m ? n, ? // ? , m // ? ? n ? ? ② m ? n, ? // ? , m ? ? ? n // ? ④ m ? ? , m // n, ? // ? ? n ? ?

其中真命题的编号是 ▲ .(写出所有真命题的编号) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. (17) (本小题满分 11 分) 已知过两点 A(5, 0) 和 B ? 0, ?

? ?

5? ? 的直线 l1 与直线 l2 : x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于点 M. 2?

(Ⅰ)求以点 M 为圆心且过点 B(4, ?2) 的圆的标准方程 C; (Ⅱ)求过点 N (1,1) 且与圆 C 相切的直线方程. (18) (本小题满分 11 分) 如图 4, ABCD ? A1B1C1D1 是正方体, O 、 M 、 N 分别

P. 是 B1D1 、 AB1 、 AD1 的中点,直线 AC 1 交平面 AB 1D 1 于点
(Ⅰ)证明: MN ? 平面 CB1D1 ; (Ⅱ)证明:① A 、 P 、 O 、 C 四点共面; ② A 、 P 、 O 三点共线. (19) (本小题满分 12 分) 如图 5,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,D,E 分别为 AB, BC 的中点,点 F 在侧棱 BB1 上,且 B1D ? A1F , AC 1 1 ? A 1B 1 . (Ⅰ)若 AC ? 3, AB ? AA1 ? 4 ,

3

求三棱锥 B ? DEB1 的体积; (Ⅱ)求证:平面 B1DE ? 平面 AC 1 1F . (20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲线 4 x 2 ? 12 y 2 ? 3 的右焦点重合,A 是 抛物线上横坐标为 4,且位于 x 轴上方的点,过 A 作 AB 垂直 于 y 轴,垂足为 B. OB 的中点为 M(如图 6). (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)以点 M 为圆心,MB 为半径作圆 M. 当 K(m,0) 是 x 轴上一动点时,讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系.
M y

x

(21) (本小题满分 12 分) 如图 7 ,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,

PD ? DC ? 2 ,E 是 PC 的中点,EF ? PB 交 PB 于点 F .
(Ⅰ)求点 C 到平面 BDE 的距离 ; (Ⅱ)证明: PB ? 平面DEF .

(22) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的两个焦点坐标分别为 E (?1, 0), F (1, 0) ,离心率为 圆 C 上关于 x 轴对称的不同两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若 EM ? EN ,试求点 M 的坐标; (Ⅲ)若 A( x1 ,0), B( x2 ,0) 为 x 轴上两点,且 x1 x2 ? 2 ,试判断直线 MA, NB 的交点

2 . 设 M , N 为椭 2

???? ?

??? ?

P 是否在椭圆 C 上,并证明你的结论.

4

数学(文科)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 D 7 C 8 D 9 B 10 A 11 B 12 A

(11)解析:∵ AB ? 18 , BC ? 24 , AC ? 30 , ∴ AB2 ? BC2 ? AC2 , ?ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形. ∴ ?ABC 的外接圆的半径为 15 ,即截面圆的半径 r ? 15 , 又球心到截面的距离为 d ?

1 1 R ,∴ R 2 ? ( R ) 2 ? 15 2 ,得 R ? 10 3 .故选 B 2 2

(12)解析:依题意,可设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px ,则因为圆点 M (1, 2) 在抛物线上,所以

22 ? 2 p ?1 ? p ? 2 ,故抛物线的方程是 y 2 ? 4 x ;又因为 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互
补,所以 kMA ? ?kMB ,即

y1 ? 2 y ?2 ?? 2 . x1 ? 1 x2 ? 1

又因为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 均在抛物线上,所以 x1 ? 从而有

y12 y2 , x2 ? 2 , 4 4

y1 ? 2 y ?2 4 4 ? ? 22 ? ?? ? y1 ? y2 ? ?4 , 2 y1 y2 y1 ? 2 y2 ? 2 ?1 ?1 4 4
y1 ? y2 4 ? ? ?1 .故选 A x1 ? x2 y1 ? y2

直线 AB 的斜率 k AB ? 二、填空题 (13)3 分)

(14)3

(15)

11 6

(16) )①、④(答 1 个得 3 分,2 个得 5

(15)解析:该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,如 图所示,则其体积为:

V ?

1 1 1 11 ? 2 ? 1? 2 ? ? ? 1?1? 1 ? . 2 3 2 6

5

三、解答题 (17) (本小题满分 11 分) 解: (Ⅰ)依题意,得直线 l1 的方程为

x y ? ? 1 ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 . 5 ?5 2

(2 分)

由?

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? 1 ,解得 ? ,即点 M 的坐标为 M (1, ?2) . ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? y ? ?2
2

(4 分)

2 设圆 C 的半径为 r ,则 r ? BM

? (4 ? 1) 2 ? (?2 ? 2) 2 ? 9 .

(5 分) (6 分)

所以,圆 C 的标准方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 . (Ⅱ)设点 N (1,1) 且与圆 C 相切的直线方程的斜率为 k , 则直线方程为 kx ? y ? 1 ? k ? 0 . 由

(7 分) (9 分) (10 分)

k ? 2 ?1? k k 2 ?1

? 3 ,得 k ? 0 .

所以 y ? 1 是圆 C 的一条切线方程. 又∵点 N (1,1) 在圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 上, ∴圆 C 的切线方程只有一条,即 y ? 1 .

(11 分)

(18) (本小题满分 11 分) 证明: (Ⅰ)∵ M 、 N 分别是 AB1 、 AD1 的中点, ∴ MN ? B1D1 . (2 分)

∵ B1 D1 ? 平面 CB1D1 , MN ? ? 平面 CB1D1 , ∴ MN ? 平面 CB1D1 . (4 分)

(Ⅱ)①∵ ABCD ? A1B1C1D1 是正方体, ∴ AA1

? CC1 ,即 AA1 与 CC1 共面. (5 分)
(6 分) (7 分) (8 分)

O ?平面 AAC ∵ A1C1 ? 平面 AAC 1 1C , O ? AC 1 1 ,∴ 1 1C .
∵ AC ,∴ P ? 平面 AAC ? 平面 AAC 1 1 1C , P ? AC 1 1 1C .

A 、 P 、 O 、 C 四点共面. ∴ A 、 P 、 O 、 C ? 平面 AAC 1 1C ,即

②∵AO 是平面 AA1C1C 与平面 AB1D1 的交线,且 P 是平面 AA1C1C 与平面 AB1D1 的公共点,
6

故根据公理 3,P 在交线 AO 上. 即 A 、 P 、 O 三点共线. (19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵D,E 分别为 AB,BC 的中点,∴ DE ? AC ,

(11 分)

DE ?

1 1 3 AC ? , BD ? AB ? 2 . 2 2 2

(2 分) (3 分) (4 分)

∵ AC 1 1 ? A 1B 1 ,∴ AC ? AB, DE ? DB . ∴ S ?BDE ?

1 1 3 3 BD ? DE ? ? 2 ? ? . 2 2 2 2

ABC , BB1 ? AA1 ? 4 , ∵ ABC ? A 1B 1C1 是直三棱柱,∴ B 1 B ? 平面
∴ VB ?BDE ?
1

1 1 3 S ?BDE ? BB1 ? ? ? 4 ? 2 , 3 3 2
1

(5 分)

∵ VB? DEB ? V ,∴三棱锥 B ? DEB1 的体积为 2 . (6 分) 1 B ?BDE (Ⅱ)证明:在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1 ? 平面 A 1B 1C , ∵ A1C1 ? 平面 A1 B1C1 ,∴ AA1 ? A1C1 . (7 分)

又∵ A1C1 ? A1B1,AA1 ? 平面ABB1 A1 , A1B1 ? 平面ABB1 A1 , A1B1 ? AA1 ? A1 , ∴ A1C1 ? 平面 ABB1 A1 . ∵ B1 D ? 平面 ABB1 A1 ,∴ A1C1 ? B1 D . (8 分) (9 分)

又∵ B1D ? A1F,AC 1 1 ? 平面A 1 C1F, A 1 F ? 平面A 1 C1F, AC 1 1?A 1F ? A 1, ∴ B1D ? 平面A1 C1F . (11 分)

∵直线 B1D ? 平面B1DE ,∴ 平面B1 DE ? 平面A1C1 F . (12 分)

(20) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设双曲线 4 x ? 12 y ? 3 的右焦点坐标为 F (c, 0) ,
2 2

由 4 x ? 12 y ? 3 得
2 2

x2 y 2 3 1 ? ? 1 ,∴ c ? ? ? 1. 3 1 4 4 4 4

(2 分)



p ? 1 ,即 p ? 2 ,故抛物线的标准方程为 y 2 ? 4x . 2

(4 分)

7

(Ⅱ)∵点 A 的横坐标为 4,且位于 x 轴上方的点,∴ y ? 4 ∴点 A 的坐标是(4,4) ,由题意得 B(0,4) ,M(0,2). ∴圆 M 的圆心是点(0,2) ,半径为 2. 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4,此时直线 AK 与圆 M 相离. 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 y ? 即为 4 x ? (4 ? m) y ? 4m ? 0 . 圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离为 d ? 令 d>2,解得 m>1. ∴当 m>1 时,直线 AK 与圆 M 相离; 当 m=1 时,直线 AK 与圆 M 相切; 当 m<1 时,直线 AK 与圆 M 相交. (6 分) (5 分)

4 ( x ? m) , 4?m
(7 分)

2m ? 8 16 ? ( m ? 4) 2



(8 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分)

(21) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 CD 的中点 O,连结 EO,则 EO ? PD . ∵ PD ? 底面 ABCD , PD ? 2 , ∴ EO ? 底面 ABCD , EO ? (1 分)

1 PD ? 1 . 2

(2 分)

∵ ABCD 是正方形且 DC ? 2 ,∴ S ?BCD ? ∴ VE ? BCD ?

1 1 BC ? DC ? ? 2 ? 2 ? 2 , 2 2

1 1 2 S ?BCD ? EO ? ? 2 ? 1 ? . (3 分) 3 3 3 1 在 Rt?PDC 中, DE ? PC ? 2 . 在 Rt?BCE 中, BE ? BC 2 ? CE 2 ? 6 . 2
在 Rt?BAD 中, BD ? 2 2 . 因为 BD ? BE ? DE ,所以 BE?DE.
2 2 2

(4 分)

∴ S ?BED ?

1 1 DE ? BE ? ? 2 ? 6 ? 3 . 2 2

设点 C 到平面 BDE 的距离为 h ,则 VC ? BED ?

1 3h S?BED ? h ? . 3 3

(5 分)

∵ VC ? BED ? VE ? BCD ,即

3h 2 2 3 ? ,解得 h ? . 3 3 3
8

故点 C 到平面 BDE 的距离为

2 3 . 3

(6 分)

(Ⅱ)证明:∵PD⊥底面 ABCD 且 BC ? 底面 ABCD,∴PD⊥BC. 因为 ABCD 是正方形,所以 BC?DC. 又 PD∩DC=D,所以 BC?平面 PDC . 因为 DE ? 平面 PDC,所以 BC?DE. 因为 DE 是等腰直角三角形 PDC 斜边 PC 上的中线,所以 DE?PC. 又 PC∩BC=C,所以 DE?平面 PCB . 因为 PB ? 平面 PCB,所以 DE?PB. 又 EF?PB,且 EF∩DE=E,所以 PB?平面 DEF. (7 分) (8 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分)

(22) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 解: (Ⅰ)依题意可设椭圆 C 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
则 c ? 1,

c 2 ? ,∴ c ? 1, a ? 2 , a 2

(2 分) (3 分)

又 b2 ? a 2 ? 1 ? 1 , 因此,所求的椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(4 分)

(Ⅱ)设 M (m, n ) , N (m, ?n) ,则 EM ? (m ? 1, n) , EN ? (m ? 1, ?n) ,
2 2 因为 EM ? EN ,所以 EM ? EN ? 0 ,即 (m ? 1) ? n ? 0

???? ?

??? ?

???? ?

????

???? ? ??? ?

①.

(5 分)

[

因为点 M (m, n ) 在椭圆

x2 m2 ? y 2 ? 1上,所以 ? n2 ? 1 2 2
4 1 m?? , n?? . 3 3

②.

(6 分)

由①②解得 m ? 0, n ? ?1,

(7 分)

因此,符合条件的点有 (0,1) 、 (0, ?1) 、 ? ?

? 4 1? ? 4 1? , ?、?? ,? ? . ? 3 3? ? 3 3?
③, ④.

(8 分)

(Ⅲ)直线 MA 的方程为 y(m ? x1 ) ? n( x ? x1 ) 直线 NB 的方程为 y(m ? x2 ) ? ?n( x ? x2 )
9

(9 分)

设直线 MA 与直线 NB 交点为 P ( x0 , y0 ) ,将其坐标代人③、④并整理,得

( y0 ? n) x1 ? my0 ? nx0



( y0 ? n) x2 ? my0 ? nx0
⑦,



(10 分) (11 分)

2 2 2 ⑤与⑥相乘得 ( y0 ? n2 ) x1x2 ? m2 y0 ? n2 x0

2 2 又 x1 x2 ? 2 , m2 ? 2 ? 2n 2 ,代入⑦化简得 x0 ? 2 y0 ? 2,

因此,直线 MA 与直线 NB 的交点 P 仍在椭圆 C 上.

(12 分)

10



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