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专题【14】《概率与统计》ppt课件


专题14

概率与统计

概率与统计
要点回扣

易错警示

查缺补漏

要点回扣

1.随机抽样方法

简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽
样过程中每个个体被抽取的机会相等,且是不放回 抽样.

3

[问题1]

某社区现有480个住户,其中中等收入家庭

200 户、低收入家庭 160 户,其他为高收入家庭 .在建 设幸福社区的某次分层抽样调查中,高收入家庭被 抽取了6户,则该社区本次抽取的总户数为________. 24

6 480-200-160 解析 由抽样比例可知 = ,则 x=24. 480 x

2.对于统计图表问题,求解时,最重要的就是认真
观察图表,从中提取有用信息和数据 . 对于频率分

布直方图,应注意的是图中的每一个小矩形的面积
是数据落在该区间上的频率 . 茎叶图没有原始数据

信息的损失,但数据很大或有多组数据时,茎叶图
就不那么直观、清晰了.

[ 问题 2]

从某校高三年级随机抽取一个班,对该班

50 名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,
其结果的频率分布直方图如图所示 . 若某高校 A 专业

对视力的要求在 0.9 以上,则该班学生中能报 A 专业
的人数为________. 20

3.众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做

这组数据的众数.
众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横

坐标.
中位数:将一组数据按大小依次排列,把处在最中

间位置的一个数据 (或最中间两个数据的平均数 )叫
做这组数据的中位数.

中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的
直线与横轴交点的横坐标. 平均数:样本数据的算术平均数,即 ?+xn). 以小距形底边中点的横坐标之和.

平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘

1 x= n

(x1+x2+

平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘
以小距形底边中点的横坐标之和.

标准差的平方就是方差,方差的计算

1 2 2 (1)基本公式 s = [(x1- x ) + (x2- x ) + ? + (xn - n
2

x ) ].

2

1 2 2 2 2 (2)简化计算公式①s = [(x1+x2+?+xn)- n x ], 或 n
2

1 2 2 2 2 写成 s = (x1+x2+?+xn)- x , 即方差等于原数据 n
2

平方和的平均数减去平均数的平方.
[问题3] 已知一个样本中的数据为0.12,0.15,0.13,

0.15 , 0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14 ,则该样本的众
数、中位数分别是____________. 0.15、0.145

4.变量间的相关关系 假设我们有如下一组数据:(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn). 回归方程y=bx+a,
? n n ? ? x - x ?? y - y ? x y - n x y ? ? i i i i ? = i=1 ?^ i 1 ?b= = , n n 其中? 2 2 2 ? x - x ? x - n x ? ? i ? i i=1 i=1 ? ? ^ ^ ?a ? = y -b x .
^ ^ ^

( x, y) [问题 4] 回归直线方程y=bx+a必经过点________.

^

^

^

5.独立性检验的基本方法

一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值
分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表如表:

y1

y2

总计

x1
x2

a
c

b
d b+ d

a+ b
c+ d a + b+ c+ d

总计 a+c

n?ad-bc? 根据观测数据计算由公式k= ?a+b??a+ c??b+d??c+d?

2

所给出的检验随机变量K2的观测值k,并且k的值越大, 说明“X与Y有关系”成立的可能性越大,可以利用数 据来确定“X与Y有关系”的可信程度.

[问题5]

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别

有关,对该班50名学生进行了问卷调查,得到了如

下的2×2列联表:

喜爱打篮球 不喜爱打篮球 男生 女生 20 10 5 15

合计 25 25

合计

30

20

50

则至少有________ 99.5% 的把握认为喜爱打篮球与性别有
关.(请用百分数表示)

n ? ad - bc ? 2 附: K = ?a+b??c+ d??a+ c??b+d?
P(K2>k0 ) k0 0.10 0.05 0.025 2.70 3.84 0.01 0 6.63 0.005 0.001

2

6

1

5.024

5

7.879 10.828

6.互斥事件有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B)

(1)公式适合范围:事件A与B互斥.
(2)P( )=1-P(A).

A
[问题 6] 抛掷一枚骰子,观察掷出的点数,设事件 A 为 1 出现奇数点,事件 B 为出现 2 点,已知 P(A)= ,P(B) 2 2 1 3 = ,则出现奇数点或 2 点的概率之和为________. 6

7.古典概型
P(A)= m (其中,n为一次试验中可能出现的结果总

数,m为事件 A在试验中包含的基本事件个数) n
[问题7] 若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2次,

1 则出现向上的点数之和为4的概率为________.

12

8.几何概型 一般地,在几何区域 D 内随机地取一点,记事件“该点在 其内部一个区域 d 内”为事件 A,则事件 A 发生的概率为 P(A)= .此处 D 的度量不为 0,其中“度量”的意 D的度量 义依 D 确定,当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时, 相应的度量分别为长度、面积和体积等. d的度量

即 P(A)=
[ 问题 8]

构成事件A的区域长度?面积和体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积和体积?
在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 O
)

为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 内随机 取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为(

π A. 12

π B.1- 12

π C. 6

π D.1- 6

解析 记“点P到点O的距离大于1”为A,

1 4 3 2 - × π×1 2 3 π P(A)= = 1- . 3 2 12
3

答案 B

9.解排列、组合问题的依据是:分类相加,分步相乘, 有序排列,无序组合. 解排列、组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不相 邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法; 定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配分步法; 综合问题先选后排法;至多至少问题间接法.

(1)排列数公式
m An =n(n- 1)(n-2)?[n- (m-1)]= *

n! ,其中 m, ?n- m?!

n∈N , m≤n.当 m= n 规定 0!=1.

n 时,An=n· (n- 1)· ??· 2· 1= n! ,

(2)组合数公式
m n?n-1??n-2??[n-?m- 1?] n ! A n m Cn = m= = . Am m! m!?n-m?!

(3)组合数性质
m n- m m m- 1 m Cn =Cn , Cn + Cn =Cn+ 1, 规定 0 Cn= 1, 其中

m, n∈N ,

*

m≤ n .

[ 问题9]

(1) 将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共

有________ 种. 5

(2)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出 3台,其
中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法

3

共有________种.
70

10.二项式定理 (1)定理: (a+b)
n 0 n 1 n- 1 r n- r r =Cna +Cna b+?+Cna b +?

n- 1 n- 1 n n +Cn ab +Cnb

(n∈N ).
r Cn

*

通项(展开式的第

r n- r r r+1 项):Tr+1=Cna b ,其中

(r=0,1,?,n)叫做二项式系数.

(2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中,与首末两端 “等距离 ”的两 项的二项式系数相等,即
0 n 1 n- 1 2 n- 2 r n- r Cn= Cn, Cn=Cn ,Cn=Cn ,?,Cn=Cn .

②二项式系数的和等于 2 (组合数公式),即
0 1 2 n n Cn+ Cn+ Cn+?+Cn=2 .

n

③二项式展开式中,偶数项的二项式系数和等于奇 数项的二项式系数和,即
4 n- 1 + Cn+ ?=2 . 1 3 5 0 2 Cn+ Cn+Cn+?=Cn+ Cn

特别提醒:二项式系数最大项与展开式系数最大项

是两个不同的概念,在求法上也有很大的差别,往
往因为概念不清导致出错.

[问题 10]

? ? 设?x- ?

2 ??6 3 ? 的展开式中 x 的系数为 A,二 x?
4∶ 1
3 ? 6 ? r 2 ?r r r rx 2 , ? =C6(-1) 2 x?

项式系数为 B,则 A∶B=________.
解析
? r 6-r r? Tr+1=C6x (-1) ? ?

3 6- r=3,r=2, 2 2 系数 A=60,二项式系数 B=C6=15,
所以 A∶B=4∶1.

11.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别:
(1)在P(A|B)中,事件A,B发生有时间上的差异,B 先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生. (2)样本空间不同,在P(A|B)中,事件 B成为样本空 间 ; 在 P(AB) 中 , 样 本 空 间 仍 为 Ω , 因 而 有 P(A|B)≥P(AB).

[问题 11] 设 A、B 为两个事件,若事件 A 和 B 同 3 时发生的概率为 , 在事件 A 发生的条件下, 事件 B 10 3 1 5 发生的概率为 ,则事件 A 发生的概率为________. 2

12.求分布列,要检验概率的和是否为 1,如果不是,

要重新检查修正 . 还要注意识别独立重复试验和二
项分布,然后用公式.

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)=
k k n- k Cnp · (1- p) .

[问题12]

若随机变量ξ的分布列如下表,则E(ξ)的

20 值为________.
9
ξ 0 1 2 P 2x 3 4 5

7x 2x 3x x x 1 解析 根据概率之和为 1,求出 x= , 18 20 则 E(ξ)=0×2x+1×3x+?+5x=40x= . 9

3

13.一般地,如果对于任意实数 a<b,随机变量 X 满足
b P(a<X≤b)=?aφμ, σ(x)dx,则称

X 的分布为正态分布 .正

态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ, σ ).如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 X~ N(μ, σ ).满足正态分布的三个基本概率的值是:
2 2

①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4;

③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.

[问题13] A.0.6

已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2), )

且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于( B.0.4 C.0.3 D.0.2

解析 ∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ>4)=0.2, 由题意知图象的对称轴为直线x=2, P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,

∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6.
∴P(0<ξ<2)= 1 P(0<ξ<4)=0.3.

2

易错警示

? 易错点1 ? 易错点2 ? 易错点3

统计图表识图不准致误 在几何概型中“测度”确定不准致误 分不清是排列还是组合致误

? 易错点4

均匀分组与非均匀分组混淆致误

易错点1 统计图表识图不准致误

例1

如图所示是某公司 (共有员工300人)2012年员

工年薪情况的频率分布直方图,由此可知,员工中

年薪在1.4万元~1.6万元之间的大约有________人.

错解

由 频 率 分 布 直 方 图 , 员 工 中 年 薪 在 1.4 万

元~1.6万元之间的频率为

1-(0.02+0.08+0.10+0.10+0.08)=0.62.
∴估计年薪在1.4万元~1.6万元之间约有 300×0.62=186(人).

找准失分点

本题主要混淆频率分布直方图与条形图纵轴的意义,

频率 ”, 组距 每个小矩形的面积才表示落在该区间上的频率,由
频率分布直方图中,纵轴 ( 矩形高 ) 表示“ 于概念不清,识图不准导致计算错误.

正解

由所给图形可知,员工中年薪在 1.4 万元~

1.6万元之间的频率为1-(0.02+0.08+0.08+0.10+
0.10)×2=0.24.

所以员工中年薪在 1.4 万元~ 1.6 万元之间的共有
300×0.24=72(人). 答案 72

易错点2 在几何概型中“测度”确定不准致误

例2

如图所示,在等腰Rt△ABC中,

过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条 射线CM,与线段AB交于点M,求AM< AC的概率.

错解

记AM<AC为事件E,设CA=CB=a,

因为△ABC是直角三角形,

所以,AB= 2a,

在AB上取一点D,使AD=AC=a, 那么对线段AD上的任意一点M都有AM<AD, 即AM<AC,

AD a 2 因此 AM<AC 的概率为 P(E)= = = . AB 2a 2

找准失分点

据题意,过直角顶点 C 在∠ACB 内部作一条射线

CM,射线CM在∠ACB内部均匀分布,但是点M在
AB上的分布不是均匀的.

正解

在AB上取一点D,使AD=AC,

π 因为 AD=AC=a,∠A= , 4
3π 所以∠ACD=∠ADC= , 8 3π ∠ACD 8 3 则 P(E)= = = . ∠ACB π 4 2

易错点3 分不清是排列还是组合致误

例3

如图所示,A,B,C,D是海上的

四个小岛,要建三座桥,将这四个岛连

接起来,不同的建桥方案共有多少种?

错解

对于有一个中心的结构形式有 4 ,

A4

对于四个岛依次相连的形式有 4,

A4

∴共有2 4=48(种).

A4

找准失分点

没有分清是排列还是组合.

正解 由题意可能有两种结构,如图:
第一种: ,第二种:

对于第一种结构,连接方式只需考虑中心位置的情 况,共有 2 2 对于第二种结构,有 C4A2种方法.
∴总共有
1 2 2 C4+C4A2=16(种).

1 C4种方法.

易错点4 均匀分组与非均匀分组混淆致误

例4

4个不同的小球放入编号为 1、 2、 3、 4的4个

盒中,则恰有1个空盒的放法共有________种.(用数 字作答)

错解

288

找准失分点
2 1 1 3 没有考虑均匀分组:C4C2C1· A4= 288.

正解

把4个球分成3组,每组至少1个,
2 1 1 C4C2C1 3 组,有 2 种. A2

即分的小球个数分别为 2,1,1 的

最后将三组球放入 4 个盒中的 3 个,有分配方法数
3 A4种,
2 1 1 C4C2C1 3 因此,放法共有 2 ×A4=144(种). A2

答案

144

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

1. 在 某 次 测 量 中 得 到 的 A 样 本 数 据 如 下 :
82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B样本数据恰好是 A

样本数据每个都加2后所得数据,则A,B两样本的
下列数字特征对应相同的是( )

A.众数
C.中位数

B.平均数
D.标准差

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

解析

对样本中每个数据都加上一个非零常数时不

改变样本的方差和标准差,众数、中位数、平均数
都发生改变.

答案 D

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

2.(2014· 湖北)根据如下样本数据

x 3

4

5


6

7


8


y 4.0 2.5 0.5 ^ ^ ^ 0.5 2.0 得到的线性回归方程为y=bx+a,则 (
A.a>0,b>0 C.a<0,b>0
^ ^ ^ ^

3.0 )

B.a>0,b<0 D.a<0,b<0
^ ^

^

^

查缺补漏
解析 作出散点图如右:

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

观察图象可知,回归直线y=bx+a 的斜率b <0,
^

^

^

^

当 x=0 时,y=a >0.
故a>0,b<0.
答案 B
^ ^

^

^

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

? ?x≤0, ? 3.(2014· 湖北 )由不等式组 ?y≥0, ? ? ?y- x-2≤0

确定的平面区域

? ?x+ y≤1, 记为 Ω1,不等式组? 确定的平面区域为 Ω2,在 ? ?x+ y≥-2

Ω1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω2 内的概率为( 1 1 3 7 A. B. C. D. 8 4 4 8

)

查缺补漏
解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

如图,平面区域Ω1就是三角形区

域OAB,平面区域Ω2与平面区域Ω1的重 叠部分就是区域OACD,

1 3 易知 C(- , ),故由几何概型的概率公式, 2 2 1 2 - S四边形OACD 4 7 得所求概率 P= = =. 2 8 S△OAB
答案 D

查缺补漏

1

2

3

4

5

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7

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9 10

4.(2014· 湖南)( 1 x-2y)5的展开式中x2y3的系数是( A ) A.-20

2 -5 B.

C.5

D.20

1 5 r 1 5-r 解析 ( x-2y) 展开式的通项公式为 Tr+1=C5( x) 2 2
r 1 5-r r 5- r r · (-2y) =C5· () · (-2) · x · y. r

2

312 3 当 r=3 时,C5( ) · (-2) =-20.

2

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

5. 如图,矩形ABCD中,点E为边CD上任 意一点,若在矩形ABCD内部随机取一个 点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于( )

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

2 D. 3

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

解析 这是一道几何概型的概率问题,
点Q取自△ABE内部的概率为

1 · | AB |· | AD | S△ABE 2 1 = = . |AD| 2 S矩形ABCD |AB|·
故选C. 答案 C

查缺补漏

1

2

3

4

5

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7

8

9 10

6.(2014· 福建)如图,在边长为e(e为自然对数的底数

) 的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分
的概率为________.

查缺补漏
解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

由题意知,所给图中两阴影部分面积相等,
x x 1 1 ? S=2? (e-e )dx=2(ex-e )|0 ?0

故阴影部分面积为

=2[e-e-(0-1)]=2.
又该正方形面积为e2, 故由几何概型的概率公式可得所求概率为

2 答案 2 e

2. 2 e

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

7.(2014· 江西)10件产品中有7件正品,3件次品,从

1 是 中任取4件,则恰好取到1件次品的概率
________.

2

解析 从 10 件产品中取 4 件,共有
取到 1 件次品的取法为
1 3 C3C7种,

4 C10种取法,

由古典概型概率计算公式得

1 3 C3C7 3×35 1 P= 4 = =. C10 210 2

查缺补漏

1

2

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4

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9 10

8. 如图所示,图 2 中实线围成的部分是长方体 ( 图 1) 的平面
展开图,其中四边形 ABCD是边长为 1 的正方形 . 若向虚线 围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开 图内的概率是 ,则此长方体的体积是________.

1 4

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

解析 设长方体的高为h,由几何概型的概率计算公式可知,

质点落在长方体的平面展开图内的概率

2+4h 1 P= =, ?2h+2??2h+1? 4
解得h=3或h=- 1 (舍去),

2
故长方体的体积为1×1×3=3.

答案 3

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

9.已知某人投篮的命中率为 3,则此人投篮4次,至

4 少命中3次的概率是________.

解析 该人投篮4次,命中3次的概率为
?3 ? ? ? 27 3 ? 3? ?3? P1=C4? ? ?1- ?= ; 4? 64 ?4 ? ?

?3? 4? ?4 81 该人投篮 4 次, 命中 4 次的概率为 P2=C4? ? = , 256 ?4?

查缺补漏

1

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3

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6

7

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9 10

27 81 189 故至少命中 3 次的概率是 P= + = . 64 256 256
189 答案 256

查缺补漏

1

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3

4

5

6

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8

9 10

10.某路段检查站监控录像显

示,在某时段内,有1 000辆
汽车通过该站,现在随机抽

取其中的200辆汽车进行车速
分析,分析的结果表示为如图所示的频率分布直方图,

则估计在这一时段内通过该站的汽车中车速不小于90
km/h的约有________辆.(注:分析时车速均取整数)

查缺补漏
解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

由图可知,车速大于等于90 km/h的车辆未

标出频率,而小于90 km/h的都标出了,故考虑对 立事件. 由题图知车速小于90 km/h的汽车总数的频率之和 为(0.01+0.02+0.04)×10=0.7, 所以车速不小于90 km/h的汽车总数的频率之和为 1-0.7=0.3.

查缺补漏

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

因此在这一时段内通过该站的车速不小于 90 km/h 的汽车有1 000×0.3=300(辆). 答案 300


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