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福建省莆田市2013届高三数学毕业班教学质量检查试题(2013莆田3月质检)文 新人教A版



2013 年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷 数学(文科)
本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷满分 150 分.考试时间 120 分 钟. 参考公式: 样本数据 x1,x2, ?,xn 的标准差 锥体体积公式

s=

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )

2 ? ? n?

V= Sh
其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

1 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

V=Sh
其中 S 为底面面积,h 为高 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

S ? 4?R2 , V ?
其中 R 为球的半径

4 3 ?R 3

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. i 是虚数单位, 2 ? i 等于( ) A.1 B.3 C.2+ i D.2- i
5

2.已知集合 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 3 , ,则 A ? B 等于( A. x ?1 ? x ? 0

?

?

?
1 3

? ? B. x ?1 ? x ? 3? ?
?

?

) D. x 2 ? x ? 3 )

C. x 0 ? x ? 2

?

?

?

?

3.已知平面向量 a ? ? x, ?1? , b ? ? ?3,1? ,若 a ? b ,则实数 x 的值等于( A. ?

?

?

?

1 3

B.

C.-3

D.3

4. a ? 0 ”是“一元二次方程 x ? x ? a ? 0 有一个正根和一个负根”的( “
2



A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要

5. 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn 。若 S 3 ? A.

7 ,则 S6 等于( 2



31 2

B.

63 2

C.63

D.

127 2


6. 若某几何体的正视图、 侧视图、 俯视图完全相同, 则该几何体的正视图不可能的是 ... (

1

7.依据小区管理条例,小林同学编制了求其小区每个住户每月应缴纳卫生费 的程序框图,并编写了相应的程序。已知小要家共有 6 口人(即 n =6) ,则他 家每个月应缴纳的卫生费(单位:元)是( ) A.3.6 B.5 C.7.2 D.8.6 8.任意画一个正方形,再将这个正方体各边的中点相连得到第二个正方形, 依此类推,这样一共画了 3 个正方形,如图所示。若向图形中随机投一点, 则所投点落在第三个正方形的概率是( ) A.

2 4

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

? 2 x ? y ? 0, ? 9.若实数 x 和 y 满足 ? x ? y ? 3, 则 z ? y ? x 的取值范围是( ? y ? 3, ?
A. ?1,3? B. ? ?3,1? C. ? ,3? 2



?3 ?

? ?

D. ?1, ? 2

? 3? ? ?

10.已知两圆的圆心均在直线 x ? y ? c ? 0 上,且两圆相交于 A?1,3? , B ? m, ?1? 两点,则 c 的值是( A.-4 ) B.0 C.8 D.2

11.已知 a 、 b 为正实数,若函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? ab ? 1是奇函数,则 f (2) 的最小值是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 12.已知 a 、 b 、? 是实数,函数 f ( x) ? a sin ? x ? b cos ? x 满足“图象关于点 ? 称,且在 x ? ( ) A. a ? 0 B. b ? 0 C. T ?

?
6

?? ? ,0?对 ?3 ?

处 f ( x ) 取最小值” 。若函数 f ( x ) 的周期为 T,则以下结论一定成立的是 ..

2 ? 3

D. ? ? 9

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.某校高三年级 8 个班级参加“喜迎十八大”合唱比赛,得分情况如茎叶图所示,则这组 数据的中位数是 。 14.若 sin ? ?
2

3 ,则 cos 2? ? 2



15.已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 , x ? 0, ? x ? 1, x ? 0,

若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围是



16.已知 P 是椭圆 E 上异于长轴端点的一点, F 、 F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点, M 是 1

? PF1F2 的 内 切 圆 的 圆 心 。 若 S? M
是 。

P F 1

? S ?

M P F ? 2

?2 S

1

, F则 椭 圆 的 离 心 率 M F 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 s n , S3 ? 6a1 且对 n ? N ,点 (n, an) 恒在直线 f(x)=2x+K 上,其中 K 为常数。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 Tn ?
?

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ,求 T20 的值。 s1 s2 s3 sn

18. (本小题满分 12 分) 某校高三文科共有 100 名学生,在一次数学考试中,每道填空题的考前预估难度 pi ' 及考后实 测难度 Pi 的数据如下表(填空第 i 题的难度计算公式为 Pi ? 参加测试的总人数) : 题号 考前预估难度值 xi 考后实测难度值 Pi 1 0.9 0.8

Ri ,其中 Ri 为答对该题的人数, N 为 N
2 0.8 0.8 3 0.6 0.7 4 0.6 0.4

( 1 ) 定 义 描 述 填 空 题 难 度 预 估 值 与 实 测 值 偏 离 程 度 的 统 计 量 为

S* ?

2 2 2 1? ' ' ' * ? 1 ?? p1 ? P ? ? ? p2 ? P2 ? ? ? ? ? pn ? Pn ? ? ,若 S ? 0.01 ,则称填空题的难度预估 ? n?

是合理的,否则为不合理。请你判断该次测试中填空题的难度预估是否合理?并说明理由; (2)按学生解答填空第 4 题“对”“错”的比例抽取出 5 名学生。若从已抽取的 5 名学生 、 中随机选出 2 名作进一步分析, 求被选出的 2 名学生中, 恰有 1 名答对填空题第 4 题的概率。 19. (本小题满分 12 分) 设 ? ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 。已知 a ? 1, b ? 2 ,且 CA ? CB ? ?1。 (1)求 ? ABC 的面积 s ; (2)求 sin A 的值。 20. (本小题满分 12 分) 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,P 为棱 CD 上的一点,且三棱锥 A- CP D1 的体积为

??? ??? ? ?

2 。 3

(1)求 CP 的长;
3

(2)请直接写出正方体的棱上满足 C1M∥平面 APD1 的所有点 M 的位置,并任选其中的一点予以证 .. 明。 21. (本小题满分 12 分) 已知动圆 A 经过点 B(1,0),且和直线 x ? 1 ? 0 相切. (1)求圆心 A 的轨迹 E 方程; (2)设点 P ( x0 , y0 ) 为曲线 E 上的任意一点,点 M 的坐标为 ( x0 ? 2,0) ,过 点 M 作直线 PB 的垂线, 垂足为 N, x0 变化时, 当 线段 PN 的长度是否为定值? 若是,请写出这个定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由。

22. (本小题满分 14 分)

1 ? ln x . x (1)求函数 f ( x)在x ? 1 处的切线斜率; (2)若 a 为实数,函数 f ( x)在区间(a, a ? 1) 上的极值,求 a 的取值范围; (3)试问是否存在 k 、 b ? N ,使得 ex ? kx ? b ? f ( x) 恒成立?若存在,请写出 k 、 b 的
已知函数 f ( x) ? 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由。

4

5

6

7

8

9

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