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专题 13:导数在研究函数中的应用 3 学一学
生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是: 优化问题 建立数学模型 用导数解决数学问题 优化问题答案

温馨提醒:在求实际问题中的最大值和最小值时,一般是先找出自变量、因变量,建立函数 关系式,并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初 等函数,它在自己的定义域内必然可导) ,并且按常理分析,此函数在这一开区间内应该有 最大 (小) 值 (如果定义域是闭区间, 那么只要函数在此闭区间上连续, 它就一定有最大 (小) . 记住这个定理很有好处) ,然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可 以断定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用 上较为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处 的值进行比较等步骤. 练一练 1.利用导数解决生活中的优化问题时: (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还要注意确定出函数关系式中 自变量的定义区间. (2)一定要注意求得结果的实际意义,不符合实际的值应舍去. (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值 点. 例 1..某银行准备新设一种定期存款业务,经预测:存款量与存款利率的平方成正比,比例 系数为 k(k>0),贷款的利率为 4.8%,且银行吸收的存款能全部放贷出去,试确定当存款利 率定为多少时,银行可获取最大收益?

2.不等式恒成立问题的求解方法 (1)由不等式恒成立求解参数的取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值,即要使

a≥g(x)恒成立,只需 a≥g(x)max,要使 a≤g(x)恒成立,只需 a≤g(x)min.另外,当参数不宜
进行分离时,还可直接求最值建立关于参数的不等式求解,例如,要使不等式 f(x)≥0 恒成 立,可求得 f(x)的最小值 h(a),令 h(a)≥0 即可求出 a 的取值范围. (2)参数范围必须依靠不等式才能求出,求解参数范围的关键就是找到这样的不等式.

例 2.已知函数 f(x)=e +ax, (1)设曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与直线 x+(e-1)y=1 垂直,求 a 的值; (2)若对于任意实数 x≥0,f(x)>0 恒成立,试确定实数 a 的取值范围

x



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