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2.1.2 指数函数及其性质



2.1.2 指数函数及其性质 (二)

复习 1.指数函数概念 一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是 自变量,函数的定义域是R 2.指数函数的图象和性质(见下表)

a>1 图 象

0<a<1

性 质

(1)定义域:R (2)值域

(0,+∞) (3)过点(0,1),即x=0时,y=1 (4)在R上是增函数 在R上是减函数

题型一:利用指数函数的单调性比较大小

2.5 3?0.2 ?0.1 0.1 ?0.2 0.2 ? 0.1 2.5 3 ? ? 1 1.7 ,1.7 ; 2 0.8 , 0.8 ; ?0.8 , 0.8 ? ;? 7 ; ?? 2?

例3 比较下列各题中两个值的大小:

3

3

1.6

3?1.8 ?4 1.7

1.6 0.3 1.6

, , 2.3 0.9

1.6 3.1 1.6

? 4 ?1.7 ;

0.3 0.3

, 0.9

3.1 3.1

;

?2? 2 ? ? ,1.3 , ? ?y=1.7 在R上是增函 ?,5 1.3 由于底数1.7﹥1,所以指数函数 ??1.5 ? 3 ? ?﹤1.73. 3 ? ? 数. 因为2.5﹤3, 所以1.72.5
(2)0.8 1.7
0.3 -0.1

1 3 x 12.5 1 解(1)1.7 , 1.7 可看作函数 y=1.7 的两个函数值, 3 3?0.2 3 0.7 x 0.7 ?0.2 0.7

<
0

0.8

-0.2

( 3 )由指数函数的性质知 ﹥1.7 =1 ; 0.9
0.3 3.1

﹤0.9 =1

0

所以1.7

﹥ 0.9

3.1

练习:
1.比较下列各组数的大小:

> (1)2.6 ,2.6
< (2)0.8
? 0.1 1.3

?1

?2.1 0 .2 2.4

,1.25

化成同底再比较

(3)(a ? 1) , (a ? 1) (a ? 1, 且 a ? 2)
< (4)2.1 ,0.2
1 3

讨论a
a>2,<;1<a<2,>

? 0.1

? 0.3
1 2

4 2 3 3 (5)( ) , (? ) , ( ) 3 3 4

插入中间值0,1 1 1 2 3 3 2 4 3 (? ) ? 0 ? ( ) ? 1 ? ( ) 3 4 3

变式:
1.比较下列各组数的大小:

>

(1)0.8 ,0.6
3.4

1.3

1.3

< (2)2.1 ,3.1

3.4

底数不同,指 数相同,可以 用作商法比较 大小

探究:比较a、b、c、d的大小?
0<c<d<1<a<b.

试用图像比较大小: (2)2.13.4 ,3.13.4 (1)0.81.3 ,0.61.3

[总结] 比较幂的大小的常用方法:
(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较 ,可以利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较, 先变同底,若不能变为同底;则应通过中间值 (通常为0或1)来比较. (3)对于指数相同,底数不同的幂的大小比较, 可以用图像法或者比商法.

题型二 利用指数函数的单调性解方程和不等式 探究: 已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :

2m ? 2n
0.2m ? 0.2n

a ? a (a ? 0且a ? 1)
m n

例4: 设 y1 ? a 值时,有

3 x ?1

, y2 ? a ?2 x ,其中a>0,a≠1.确定x为何

(1)y1=y2 (2) y1>y2
分析:利用指数函数的单调性解方程,解不等式。

变式练习:解不等式

1 3? 2 x 1 3 x ?7 ( ) ?( ) 2 2

练习:
1.市学案p38 5, 6,10

2.(a2+a+2)-5x>(a2+a+2) x+7, 求x范围
7 x ?6

3.(2012·湘潭高一检测)解方程 4 ? 2
x

x2 ?1

解: ? 4 x

?2 ?2
2x

x2 ?1

.

? 2 x ? x2 ? 1
解方程得x=1

解指数不等式问题方法总结:
(1) 形如 ax > ay 的不等式,借助 y = ax 的单调性求解, 如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情 况讨论;
(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式, 再借助y=ax的单调性求解

题型三 恒过定点问题 例题 函数 (0,1) y ? a x (a ? 0, a ? 1) 恒过定点—————— ;

函数
函数 函数

(0,0) , y ? a x ?1(a ? 0, a ? 1) 恒过定点——————
(-1,1) , y ? a x?1 (a ? 0, a ? 1) 恒过定点—————— (-1,3) 。 y ? a x?1 ? 2(a ? 0, a ? 1) 恒过定点——————
2 x ?1

函数 y ? 2a

? 3(a ? 0, a ? 1)

1 ( 2 ,5) 。 恒过定点——————

练习:
? 市学案p38 7 p40 3

变式:
2 x ?b y ? a ? 1(a ? 0, 且a ? 1, b ? R) 的图像恒过 函数

-2 定点(1,2),则b的值为———————

小结
指数函数的性质的应用: 1.比较大小 2.解不等式,方程 3.恒过定点问题 思想方法: 分类讨论,数形结合,转化与化归

题型四 求指数函数的定义域和值域 如果y是u的函数,而u是x的函数,即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么 y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫做中 间变量。 y = f ( u )叫做外层函数, u = g ( x )叫做内层函数。显 然u=g(x)的值域应在y=f(u)的定义域内。 例题:求下列函数的定义域和值域

(1) y ? 2

1 x?4

1 x ( 2) y ? 1 ? ( ) 2 (3) y ? 4 x ? 2 x ?1 ? 1

变式练习:
? 已知-1≤x≤2,求函数 的值域.
[-24,12]

f ( x) ? 3 ? 2 ? 3

x ?1

?9

x

求复合函数的值域:
(1)由内层到外层,逐层求解。 (2)注意结合指数函数的单调性和定义域。 (3)用换元法时,注意新元的取值范围。



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