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合肥一中2013-2014期中考试数学试卷



合肥一中 2013-2014 学年高一上学期期中考试数学试卷 时长:120 分钟 分值:150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,请将所选答案填在括号内)
x 1.已知集合 M={x|x<3} ,N={x| 2 ? 2 } ,则 M∩N= ( )

A. ?

B. {x|0<x<3



C. {x|1<x<3}

D. {x|2<x<3}

?3 x ( x ? 0) f ( x) ? ? ?log2 x( x ? 0) 2. 已知函数
1 B. 27
2

1 f [ f ( )] 8 的值为( ,那么
1 D. 27 ?

)

A.

27

C. ? 27

3.若函数 f ( x) ? x ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??, 4] 内递减,那么实数 a 的取值范围为( A. a ? ?3
2



B.

a ? ?3

C. a ? 5

D. a ? 3

4. 若 f ? x ? ? x ? a ,则下列判断正确的是( A. f ?



? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?

B. f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?

C. f ?

D. f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?


5. 若方程 ln( x ? 1) ? A. ? 1
1

2 的根在区间 (k , k ? 1)(k ? Z ) 上,则 k 的值为( x B.1 C. ? 1 或 2 D. ? 1 或 1
2 1

2 1 1 6.设 a ? ( ) 3 , b ? ( ) 3 , c ? ( ) 3 , 则 a, b, c 的大小关系是( 3 3 3
A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. c ? a ? b 7.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 ?0,2? ,则函数 g ( x ) ? A. ?0,4? B. ?0,1? ? ?1,4? C. ?0,1?



D. b ? c ? a

f (2 x) 的定义域是( x ?1



D. ?0,1?

8.已知 A.2 9.若

max?a, b? ?
B.1

?

a , a ?b 2 ?2 b,a?b ,则 max x , x 在 (??,0) ? (0,??) 上最小值为(

?

?



C. ?1

D.0

a ? b ? c ,则函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? c)
)
1

( x ? a) 两个零点分别位于区间(

A. ( a, b) 和 (b, c ) 内 C. (b, c ) 和 (c, ??) 内

B. ( ??, a ) 和 ( a, b) 内 D. ( ??, a) 和 (c, ??) 内

( x ?1) 3 ? 2014 ( x ?1) ? ?1 10.已知 x, y 为实数,且满足 ( y ?1)3 ? 2014 ( y ?1) ?1 ,则 x ?

?

y ?(



B.1 C. ?1 D.0 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分,答案填在横线上) A.2 11.方程 3x log2 ( x ? 1) ? 1的根的个数为__________个. 12. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数。当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 . 13.已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x , 则函数 f ( x) 的解析式为________________.

? x2 ? 4 x ? 6 , x? 0 14. 设 函 数 f ( x) ? ? , 若 互 不 相 同 的 三 个 实 数 x1,x2,x3 满 足 f ( x ,则 ? f (x 1 )? f ( x 2 ) 3 ) ? 6 ? log 2 (1 ? x),x ? 0
x1 ? x2 ? x3的取值范围是
.

15.已知 lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y ) ,则 log8

x 的值为________________. y

三、解答题: (本大题 75 分,16—19 题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. (本题满分 12 分)
2 3 1 ? ? ? 1 1 ?2 2 ?1 3 2 2 (1)已知 a ? , b ? 3 ,求 [a b(ab ) (a ) ] 的值; 2 2

(2)计算

2 lg 8 ? lg 2 5 ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 的值. 3
ax2 ? bx ? 1 (a ? 0) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) 有最小值 2 2 ,求 f ( x) 的表 x?c

17.(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 达式. 18. (本题满分 12 分)

合肥一中高一年级某班共有学生 51 人,据统计原每人每年用于购买饮料的平均支出是 a 元,若该班全体学生改饮 某品牌的桶装纯净水,经测算和市场 调查,其年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其它 费用 228 元,其中,纯净水的销售价 x (元/桶)与年购买总量 y (桶)之间满足如图所示关系.
2

(1)求 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 a ? 120时,若该班每年需要纯净水 380 桶,请你根据提供的信息比较,该班全体学生改饮桶装纯净水的 年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用,哪一种更少?说明你的理由; (3)当 a 至少为多少时,该班学生集体改饮 桶装纯净水的年总费用一定不会超过该班全体学生购买饮料的年总费 用? 19.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ⑴ 求 f ( x) 的定义域。 ⑵ 判断函数 f ( x) 的单调性并证明。 ⑶ 解关于 x 的不等式 f ? x( x ? )? ? 2 ? 2 ?

1 1? x ? lg x?2 1? x

?

1 ?

1

2 20.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? (2 ? lg a) x ? lg b, f (?1) ? ?2 当 x ? R 时, f ( x) ? 2 x 恒成立.

⑴ 求实数 a , b 的值. ⑵ 当函数 f ( x) 的定义域为 ?t , t ? 1?(t ? 0) 时,求函数 f(x)的最小值 g(t).[来 21.(本题满分 14 分) 若函数 f ( x) 满足下列条件: 在定义域内存在 x 0 , 使得 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立 , 则称函数 f ( x) 具有性质 M ; 反之,若 x0 不存在,则称函数 f ( x) 不具有性质 M . (1)证明:函数 f ( x) ? 2 具有性质 M ,并求出对应的 x0 的值;
x

(2)已知函数 h( x) ? lg

a 具有性质 M ,求 a 的取值范围; x ?1
2
2

(3)试探究形如:① y ? kx ? b(k ? 0) ,② y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,③ y ?

k (k ? 0) ,④ yy? ?a axx (a ? 0且a ? 1) , x

⑤ y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的函数,指出哪些函数一定具有性质 M ?并说明理由
3



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