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高二选修4-5-证明不等式的基本方法-课件



一、比较法 (1)作差比较法 3 3 2 2 例1 已知a, b都是实数 , 且a ? b, 求证a ? b ? a b ? ab
证明: (a ? b ) ? (a b ? ab ) ? (a ? a b) ? (ab ? b )
3 3 2 2 3 2 2 3

? a (a ? b) ? b (a ? b) ? (a ? b )(a

? b)

2

2

2

2

? (a ? b)(a ? b) ? a, b ? 0,? a ? b ? 0 又 ? a ? b ? ( a ? b)2 ? 0 2 3 3 2 2 故(a ? b)(a ? b) ? 0即(a ? b ) ? (a b ? ab ) ? 0

2

? a ? b ? a b ? ab

3

3

2

2

a 例2 如 果 用 akg白 糖 制 出 bkg糖 溶 液 ,则 其 浓 度 为 , b 若 在 上 述 溶 液 中 再 添 mkg 加 白 糖, 此 时 溶 液 的 浓 度 a?m 增加到 , 将 这 个 事 实 抽 象 为 数问 学 题, 并 给 出 证 明 . b?m 解 : 可 以 把 上 述 事 实 抽 象如 成下 不 等 式 问 题 :

a?m a 已 知a , b, m都 是 正 数 , 并a ? b且, 则 ? b?m b

解 : 可 以 把 上 述 事 实 抽 象如 成下 不 等 式 问 题 : a?m a 已 知a , b, m都 是 正 数 , 并a ? b且, 则 ? b?m b 下面给出证明
a ? m a m( b ? a ) ? ? b ? m b b(b ? m )

? b ? a ? b ? a ? 0, 又 ? a, b, m都是正数 , ? m(b ? a ) ? 0, b(b ? m ) ? 0
m( b ? a ) a?m a a?m a ? ?0 即 ? ? 0? ? b(b ? m ) b?m b b?m b

(2)作商比较法
例3 已知a , b是正数, 求证a a bb ? a bba , 当且仅当a ? b时, 等号成立.
?a? 证明 : b a ? a b ?? ? ?b? a b 根 据 要 证 的 不 等 式 的点 特(交 换a , b的 位 置 ,不等式不变 ) a b
a ?b b?a a b a?b

a ?a? 不妨设 a ? b ? 0, 则 ? 1, a ? b ? 0,? ? ? b ?b? 当且仅当 a ? b时, 等 号 成 立 .

a ?b

?1

? a a bb ? a bba ,当且仅当 a ? b时, 等号成立 .

变式引申: 求证 : 若a , b, c ? R?

a ? b? c , 则a a bbc c ? (abc) 3

补充例题: 已知a ? 2, 求证: loga (a ? 1) ? log(a ?1) a

课堂练习 : 课本P 23第1题, 第2题.
补充练习: 若a , b, m , n都是正实数, 且m ? n ? 1, 试证明 ma ? nb ? m a ? n b

补充练习:
1.已 知a , b, c , d都 是 正 数 , 且bc ? ad , a a ? c a ? 2c c 则 , , , 中最大的是 (D ) b b ? d b ? 2d d a a?c a ? 2c c A. B. C. D. b b?d b ? 2d d

2.若q ? 0, 且q ? 1, m , n ? N ? , 则1 ? q m ? n与q m ? q n 的大小关系是 ( A ) A.1 ? qm ? n ? q m ? q n C .1 ? q
m?n

B.1 ? q m ? n ? q m ? q n D.不 能 确 定

?q

m

?q

n

?an ?和等差数列?bn ?中, a1 ? b1 ? 0, 3.在等比数列
a3 ? b3 ? 0, a1 ? a3 , 则a5与b5的大小关系为( A ) A.a 5 ? b 5
A.a 2 ? b2

B.a5 ? b 5
B.a ? b

C,a5 ? b 5
C .2ab D.2 ab

D.不能确定

4.设0 ? a ? b ? 1, 则a ? b,2 ab , a 2 ? b2 ,2ab中最大的值是( B )

5.设P ? a 2b 2 ? 5, Q ? 2ab ? a 2 ? 4a , 若P ? Q , 则实数a , b
ab ? 1或ab ? ?2 满足的条件为________
a?b 1 6.若0 ? a ? b ? 1, P ? log1 , Q ? (log1 a ? log1 b ), 2 2
2 2 2

Q>P>M M ? log1 (a ? b), 则P , Q , M的大小关系是__________
2

二、综合法与分析法 (1)综合法
在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性 质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明 的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、 性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.

用综合法证明不等式的逻辑关系
A ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? B (已知)(逐步推演不等式成立的 必要条件)(结论)

例1 已知a , b, c ? 0, 且不全相等, 求证a (b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc

证明: ? b ? c ? 2bc, a ? 0,? a(b ? c ) ? 2abc ? c 2 ? a 2 ? 2ac, b ? 0,? b(c 2 ? a 2 ) ? 2abc 2 2 2 2 ? a ? b ? 2ab, c ? 0,? c(a ? b ) ? 2abc
由于a , b, c不全相等, 所以上述三个式子中至 少有一个不 取等号, 把它们相加得 a(b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc

2

2

2

2

例2 已知a1 , a 2 ,?, an ? R ? , 且a1a 2 ?an ? 1, 求证(1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? 2n
证明 : ? a1 ? R? ,? 1 ? a1 ? 2 a1 , 同理1 ? a2 ? 2 a2 ,? ,1 ? an ? 2 an ? a1 , a2 ,? , an ? R? ,由不等式的性质, 得 (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ? 2
n

a1a2 ? an ? 2

n.

? ai ? 1时,1 ? ai ? 2 ai 取等号, 所以原式在a1 ? a2 ? ? ? an ? 1时取等号.

利用综合法证明不等式 时, 应注意对已证 不等式的使用, 常用的不等式有 : (1)a 2 ? 0; ( 2) a ? 0; ( 3)a 2 ? b 2 ? 2ab; 它的变形形式又有 a ?b ?a?b? (a ? b ) ? 4ab; ?? ? 2 ? 2 ? a?b ( 4) ? ab; 它的变形形式又有 2 a b a b ? ? 2( ab ? 0); ? ? ?2( ab ? 0) b a b a
2 2 2 2

(2)分析法
从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至 所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公 理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立, 这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和 证明方法.

用分析法证明不等式的逻辑关系 B ? B1 ? B2 ? ? ? Bn ? A 结 (步步寻求不等式 已 论 成立的充分条件) 知

用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真, 只需证明命题B1为真,从而有…… 只需证明命题B2为真,从而有…… ……

只需证明命题A为真.
而已知A为真,故B必真.

例3 求证 2 ? 7 ? 3 ? 6
证明 : ? 2 ? 7和 3 ? 6都是正数, 所以要证 2 ? 7 ? 3 ? 6 , 只需证( 2 ? 7 )2 ? ( 3 ? 6 )2 , 展开得9 ? 2 14 ? 9 ? 2 18 , 只需证 14 ? 18 , 只需证14 ? 18,? 14 ? 18成立, 所以 2 ? 7 ? 3 ? 6成立.

a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2a 2 例4 已知a, b, c ? 0, 求证 ? abc a?b?c

分 析: 要 证 的 不 等 式 可 化 为 a b ? b c ? c a ? abc(a ? b ? c ) 观察上式 ,左 边 各 项 是 两 个 字 母平 的方 之 积 , 右边各项涉及三个字, 母 可以考虑用 x 2 ( y 2 ? z 2 ) ? 2 x 2 yz
2 2 2 2 2 2

a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2a 2 例4 已知a, b, c ? 0, 求证 ? abc a?b?c
证明 : ? b 2 ? c 2 ? 2bc, a 2 ? 0,? a 2 (b 2 ? c 2 ) ? 2a 2bc ? c 2 ? a 2 ? 2ac, b 2 ? 0,? b 2 (c 2 ? a 2 ) ? 2b 2ac ? a ? b ? 2ab, c ? 0,? c (a ? b ) ? 2c ab ? 2(a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2a 2 ) ? 2a 2bc ? 2b 2ac ? 2c 2ab ? a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2a 2 ? abc(a ? b ? c ) 1 又a , b, c ? 0,? a ? b ? c ? 0,? ? 0, a?b?c a 2b 2 ? b 2c 2 ? c 2a 2 故 ? abc a?b?c
2 2 2 2 2 2 2

三、反证法与放缩法
(1)反证法 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明.

例1 已 知x , y ? 0, 且x ? y ? 2, 1? x 1? y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1? x 1? y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x

1? x 1? y 即 ? 2, 且 ? 2, y x ? x , y ? 0,? 1 ? x ? 2 y , 1 ? y ? 2 x , ? 2 ? x ? y ? 2( x ? y ) ? x ? y ? 2, 这与已知条件x ? y ? 2矛盾. 1? x 1? y ? 与 中至少有一个小于2 y x

例2 已知a, b, c为实数 , a ? b ? c ? 0, ab ? bc ? ca ? 0, abc ? 0, 求证: a ? 0, b ? 0, c ? 0.
证明 : 假设a , b, c不全是正数, 即其中至少有一个不是 正数, 不妨先设a ? 0, 下面分a ? 0和a ? 0两种情况讨论. (1)如果a ? 0, 则abc ? 0, 与abc ? 0矛盾,? a ? 0不可能. ( 2)如果a ? 0, 那么由abc ? 0可得bc ? 0, 又a ? b ? c ? 0, ? b ? c ? ? a ? 0, 于是ab ? bc ? ca ? a (b ? c ) ? bc ? 0, 这和已知ab ? bc ? ca ? 0相矛盾. ? a ? 0也不可能. 综上所述a ? 0, 同理可证b ? 0, c ? 0, 所以原命题成立.

反证法主要适用于以下两种情形
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.

(2)放缩法

证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或 缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确 或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达 到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有 较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、 缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较 强的一种证法.

例3 已 知a , b, c, d ? R? , 求 证 a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?d ?b d ?a?c
证明 : ? a , b, c , d ? 0, a a a ? ? ? a?b?c?d a?b?d a ? b b b b ? ? a?b?c?d b?c?a a ? b c c c ? ? a?b?c?d c?d ?b c?d d d d ? ? a?b?c?d d ?a?c c? d

把以上四个不等式相加 得 a?b?c?d a b c d ? ? ? ? a?b?c?d a?b?d b?c?a c?b?d d ?a?c a?b c?d ? ? . 即 a?b c?d a b c d 1? ? ? ? ?2 a?b?d b?c?a c?b?a d ?a?c

a?b a b 例4 已知a , b是实数, 求证 ? ? . 1? a ? b 1? a 1? b

证明 : ? 0 ? a ? b ? a ? b a?b a?b 1 1 ? ? 1? ? 1? ? 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b 1? a ? b a b a b ? ? ? ? . 1? a ? b 1? a ? b 1? a 1? b

补充例题: 1.已 知?ABC的 三 边 长 是 a , b, c , 且m为 正 数 , a b c 求 证: ? ? a?m b?m c?m

x m 证明 : 设函数f ( x ) ? ? 1? ( x ? 0, m ? 0), x?m x?m 易知f ( x )在( 0,??)上是增函数.

a b a b ? ? ? a?m b?m a?b?m a?b?m a?b ? ? f (a ? b) a?b?m c 又a ? b ? c ,? f (a ? b ) ? f ( c ) ? c?m a b c ? ? ? a?m b?m c?m ? f (a ) ? f (b) ?

2.已 知 实 数 x , y , z不 全 为 零 , 求 证: 3 x ? xy ? y ? y ? yz ? z ? z ? zx ? x ? ( x ? y ? z ) 2 y 2 3 2 y 2 2 2 证明: x ? xy ? y ? ( x ? ) ? y ? ( x ? ) 2 4 2
2 2 2 2 2 2

y y ? x? ? x? 2 2 z x 2 2 2 2 同理可得 y ? yz ? z ? y ? , z ? zx ? x ? z ? 2 2
所以三式相加得 x 2 ? xy ? y 2 ? y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? x 2 ?

由于x , y , z不全为零, 故上述三式中至少有一 式取不到等号,

y z x 3 ( x ? ) ? ( y ? ) ? (z ? ) ? ( x ? y ? z) 2 2 2 2

放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小, 寻找一个 中间量, 如将A放大成C , 即A ? C , 后证C ? B .常用的 放缩技巧有 : (1)舍掉(或加进)一些项; ( 2)在分式中放大或缩小分 子或分母; ( 3)应用基本不等式进行放 缩 .如 1 2 3 1 2 ① (a ? ) ? ? (a ? ) ; 2 4 2 1 1 1 1 1 2 ② 2? , 2 ? , ? , k ( k ? 1) k k ( k ? 1) k k ? k ?1 k 1 2 ? (以上k ? 2且k ? N ? ) k k ? k ?1



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