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安徽省黄山市2015届高考数学三模试卷(理科)



安徽省黄山市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为() A.﹣4 B. C. 4
x

D.

2. (5 分)已知集合 M={x|y=lg(1﹣x)},集合 N={y|y=2 ,

x∈R},则 M∩N=() A.{x|x<1} B.{x|x>1} C.{x|0<x<1} D.? 3. (5 分)已知(1+ax) (1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a=() A.﹣4 B . ﹣3 C . ﹣2 D.﹣1 4. (5 分)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系 中取相同的单位长度,已知直线 l 参数方程为 ρ=4sinθ,则直线 l 被曲线 C 截得的弦长为() A. B. C.
* 5 2

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为

D.

5. (5 分)数列{an}满足 a1=1,an+1=r?an+r(n∈N ,r∈R 且 r≠0) ,则“r=1”是“数列{an}成等差 数列”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是()

A.

B.

C. 4

D.﹣1

7. (5 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为﹣1 的直线,该直线与双

曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C.若 A. B.

= C.

,则双曲线的离心率是() D.

8. (5 分)已知函数 有且仅有 3 个实 数根 x1、x2、x3,则 x1 +x2 +x3 =() A.5 B. C. 3 D.
2 2 2

9. (5 分)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

确定,若 M(x,y)

为 D 上的动点,点 A 的坐标为(1,﹣1) ,且 z= A.7 B. 5 C. 4

的最小值为﹣1,则实数 a=() D.3

10. (5 分)对于定义在区间 M 上的函数 f(x) ,若满足对?x1,x2∈M 且 x1<x2 时,都有 f(x1) ≤f(x2) ,则称函数 f(x)为区间 M 上的“非减函数”,若 f(x)为区间上的“非减函数”,且 f (0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1;又当 x∈时,f(x)≤2x﹣1 恒成立.有下列命题:①?x∈,f (x)≥0;②当 x1,x2∈且 x1≠x2 时,f(x1)≠f(x2) ;③f( )+f( =2;④当 x∈时,f(f(x) )≤f(x) . 其中正确命题有() A.②③ B.①②③ )+f( )+f( )

C.①②④

D.①③④

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)在区间上随机取一个数 x,使得|x|﹣|x﹣1|≥1 成立的概率为. 12. (5 分)一个总体中有 100 个个体,随机编号为 0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如 果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 小组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字 相同.若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是 . 13. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形,则该几何体的体积为.

14. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x) ,g(x)满足 (x) , + = ,若有穷数列{
?

=a ,f′(x)g(x)<f(x)g′ ,则 n=.

x

}(n∈N )的前 n 项和等于

15. (5 分) 已知△ ABC 中, AB 边上的中线|CM|=2, 若动点 P 满足 给出下列命题:①对?θ∈R,?λ∈R,使得 使 = ( + =λ ;②当 θ∈(﹣ + )?

=sin θ ,

2

+cos θ (θ∈R) ,

2

)时,存在唯一的 θ, |=2,

) ;③动点 P 在运动的过程中, ( | +|
2

的取值范围为;④若|

动点 P 在运动的过程中,| 为.

| +|

2

| 的最小值为 .以上命题中,其中正确命题的序号

2

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx) ,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及单调增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 f( + π)= (cosA﹣ sinA)cosB=0,a=2 ,求△ ABC 的面积. ,cosC+

17. (12 分)某高校自主招生考试依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核.规定只有前 一轮考核通过才能进入下一轮的考核,否则将被淘汰;三轮考核都通过才算通过该校的自主 招生考试.学生甲参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为 , , ,各轮考核通 过与否相互独立.学生乙参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为 , , ,且各 轮考核通过与否相互独立,甲乙两人通过该校的自主招生考试与否互不影响. (Ⅰ)求甲乙恰有一人通过该高校自主招生考试的概率; (Ⅱ)甲所在中学为鼓励学生参加自主招生考试,每通过一轮分别奖励学生 100 元,200 元, 300 元,记学生甲获得奖励的金额为 X,求 X 的分布列及数学期望. 18. (12 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an =Sn+Sn﹣1(n≥2) ,a1=1.
2

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= 成立. 19.(13 分)如图 1,在 Rt△ ACB 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=2,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置. (Ⅰ)如图 2,当 A1C⊥CD 时,求证:A1C⊥平面 BCDE; (Ⅱ)如图 3,设平面 A1CD 与平面 A1BE 所成锐二面角为 θ,当 tanθ= A1BE 的距离. 时,求点 C 到平面 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对任意 n∈N ,都有 Tn<
?



20. (13 分)如图,已知椭圆 (Ⅰ)求该椭圆的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点(

, ) .

(Ⅱ)若 A,B,C 为椭圆上的三点(A,B 不在坐标轴上) ,满足

=

+

,直线 OA,

OB 分别交直线 l:x=3 于 M,N 两点,设直线 OA,OB 的斜率为 k1,k2.证明:k1?k2 为定值, 并求线段 MN 长度的最小值.

21. (13 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)求证: ( ) +( ) +…+(
n n

(x>﹣1) .

) +( ) <

n

n

(n∈N )

?

安徽省黄山市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)若复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为() A.﹣4 B. C. 4 D.

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由题意可得 z= + i,由此可得 z 的虚部. 解答: 解:∵复数 z 满足(3﹣4i)z=|4+3i|,∴z= 故 z 的虚部等于 , 故选:D. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础 题. 2. (5 分)已知集合 M={x|y=lg(1﹣x)},集合 N={y|y=2 ,x∈R},则 M∩N=() A.{x|x<1} B.{x|x>1} C.{x|0<x<1} D.? 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 中 x 的范围确定出 M,求出 N 中 y 的范围确定出 N,找出 M 与 N 的交集即 可. 解答: 解:由 M 中 y=lg(1﹣x) ,得到 1﹣x>0,即 x<1, ∴M={x|x<1}, x 由 N 中 y=2 >0,得到 N={y|y>0}, 则 M∩N={x|0<x<1}, 故选:C. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. (5 分)已知(1+ax) (1+x) 的展开式中 x 的系数为 5,则 a=() A.﹣4 B . ﹣3 C . ﹣2 D.﹣1 考点: 二项式系数的性质. 专题: 概率与统计.
5 2 x

=

,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为

=

=

= + i,

分析: 由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中 x 的系数为 a 的值. 解答: 解:已知(1+ax) (1+x) =(1+ax) (1+ 展开式中 x 的系数为
2 5

2

+a?

=5,由此解得

x+

x+

2

x+

3

x+

4

x)

5

+a?

=5,解得 a=﹣1,

故选:D. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系 数,属于中档题. 4. (5 分)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系 中取相同的单位长度,已知直线 l 参数方程为 ρ=4sinθ,则直线 l 被曲线 C 截得的弦长为() A. B. C. D. (t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 把直线 l 的参数方程、曲线 C 的极坐标方程都化为普通方程,利用圆心到直线 l 的距 离 d 与半径 r 求出弦长|AB|的值. 解答: 解:把直线 l 的参数方程 x+y﹣3=0, 把曲线 C 的极坐标方程 ρ=4sinθ 变形为 2 ρ =4ρsinθ, 2 2 化为普通方程是 x +y =4y, 2 2 即 x +(y﹣2) =4, 它表示圆心为(0,2) ,半径 r=2 的圆; 则圆心到直线 l 的距离为 d= = , (t 为参数)化为普通方程是

所以,直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 |AB|=2 =2 = .

故选:B. 点评: 本题考查了直线的参数方程与圆的极坐标方程的应用问题,解题时可以化为普通方 程进行解答,是基础题目.

5. (5 分)数列{an}满足 a1=1,an+1=r?an+r(n∈N ,r∈R 且 r≠0) ,则“r=1”是“数列{an}成等差 数列”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 阅读型. 分析: 把 r=1 代入给出的递推式,直接判断出数列{an}是等差数列,再由给出的递推式,当 r≠1 时,配方后得到 ,说明数列{ }是等比数列,求出

*

其通项公式后可得 an,由 an 看出,当 r= 时数列{an}为等差数列,从而说明“r=1”是“数列{an} 成等差数列”的不必要条件. * 解答: 解:当 r=1 时,等式 an+1=r?an+r 化为 an+1=an+1,即 an+1﹣an=1(n∈N ) . 所以,数列{an}是首项 a1=1,公差为 1 的等差数列; “r=1”是“数列{an}成等差数列”的充分条件; 当 r 不等于 1 时, 由 ,得: ,

所以,数列{ 所以,

}是首项为 , .

,公比为 r 的等比数列

当 r= 时,an=1.{an}是首项为 1,公差为 0 的等差数列. 因此,“r=1”不是“数列{an}成等差数列”的必要条件. 综上可知,“r=1”是“数列{an}成等差数列”的充分但不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查了必要条件、充分条件及充要条件,解答的关键是判断必要性,也是该题 的难点,考查了由递推式求数列的通项公式,对于 an+1=pan+q 型的递推式,一般都可转化成 一个新的等比数列.此题是中档题. 6. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是()

A.

B.

C. 4

D.﹣1

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算变量 S 的值并输出. 解答: 解:程序运行过程中,各变量的值如下表示: 是否继续循环 S i 循环前/4 1 第一圈 是﹣1 2 第二圈 第三圈 是 是 3 4

第四圈 是4 5 第五圈 否 故最后输出的 S 值为 4. 故选 C. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型.

7. (5 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为﹣1 的直线,该直线与双

曲线的两条渐近线的交点分别为 B、C.若 A. B.

= C.

,则双曲线的离心率是() D.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 分别表示出直线 l 和两个渐近线的交点,进而表示出
2 2 2



,进而根据

=



得 a 和 b 的关系,进而根据 c ﹣a =b ,求得 a 和 c 的关系,则离心率可得. 解答: 解:直线 l:y=﹣x+a 与渐近线 l1:bx﹣ay=0 交于 B( l 与渐近线 l2:bx+ay=0 交于 C( , ) ,A(a,0) , , ) ,



=(﹣



) ,

=(

,﹣

) ,∵

=




2

=
2 2

,b=2a,

∴c ﹣a =4a ,

∴e =

2

=5,∴e=



故选 C. 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.要求学生有较高地转化数学思想的运 用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用. 8. (5 分)已知函数 有且仅有 3 个实 数根 x1、x2、x3,则 x1 +x2 +x3 =() A.5 B. C. 3 D.
2 2 2

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据函数 f(x)的对称性可知 =k 有解时总会有 2 个根,进而根据方程有且仅
2 2 2

有 3 个实数根可知必含有 1 这个根,进而根据 f(x)=1 解得 x,代入 x1 +x2 +x3 答案可得. 解答: 解:∵方程有 3 个实数根, 所以必含有 1 这个根 令 =1, =k 有解时总会有 2 个根,

解得 x=2 或 x=0 所以 x1 +x2 +x3 ═0 +1 +2 =5. 故选 A 点评: 本题主要考查了函数与方程的综合运用.利用了函数图象的对称性和方程根的分布, 考查了学生分析问题的能力.
2 2 2 2 2 2

9. (5 分)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组

确定,若 M(x,y)

为 D 上的动点,点 A 的坐标为(1,﹣1) ,且 z= A.7 B. 5 C. 4

的最小值为﹣1,则实数 a=() D.3

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用向量数量积的定义将目标函数进行化简,结合 z 的几何意义进行求解即可.

解答: 解:∵且

的最小值为﹣1,

∴x﹣y 的最小值为﹣1, 设 z=x﹣y, 作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=x﹣y,得 y=x﹣z 表示,斜率为 1 纵截距为﹣z 的一组平行直线, ∵x﹣y 的最小值为﹣1, ∴作出直线 x﹣y=﹣1, 则直线 x﹣y =﹣1 与 y=2x﹣1 相交于 A,此时 A 为一个边界点, 由 ,解得 ,即 A(2,3) ,

此时 A 也在直线 x+y=a 上, 则 a=2+3=5,即直线为 x+y=5, 平移直线 y=x﹣z,当直线 y=x﹣z 经过点 A 时,直线 y=x﹣z 的截距最大,此时 z 最小,此时 zmin=2﹣3=﹣1, 满足条件. 故 a=5, 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用, 利用 z 的几何意义以及向量数量积将目标函数进 行化简是解决本题的关键 . ,注意利用数形结合来解决. 10. (5 分)对于定义在区间 M 上的函数 f(x) ,若满足对?x1,x2∈M 且 x1<x2 时,都有 f(x1) ≤f(x2) ,则称函数 f(x)为区间 M 上的“非减函数”,若 f(x)为区间上的“非减函数”,且 f (0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1;又当 x∈时,f(x)≤2x﹣1 恒成立.有下列命题:①?x∈,f (x)≥0;②当 x1,x2∈且 x1≠x2 时,f(x1)≠f(x2) ;③f( )+f( =2;④当 x∈时,f(f(x) )≤f(x) . 其中正确命题有() A.②③ B.①②③ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. )+f( )+f( )

C.①②④

D.①③④

分析: 对于①,由 f(0)=0,然后直接利用“非减函数”的定义进行判断; 对于②,由 x∈时,f(x)≤2x﹣1 恒成立得到 f( )≤ ,在等式 f(x)+f(l﹣x)=l 中,取 x= 得到 f( )= ,而 > ,从而说明 f( )≥ .利用两边夹的思想得到 f( )= .同理 得到 f( )= .结合新定义即可得到结论; 对于③,结合②的结论及等式 f(x)+f(l﹣x)=l 变形即可得到; 对于④,当 x∈时,判断 f(x)与 x 的大小关系即可.正确. 解答: 解:对于①,因为 f(0)=0,所以对?x∈,根据“非减函数”的定义知 f(x)≥0.所 以①正确; 对于②,因为当 x∈时,f(x)≤2x﹣1 恒成立, ∴f( )≤ , 又 f(x)+f(l﹣x)=l,所以 f( )= , 由而 > ,由“非减函数”的定义可知,所以 f( )≥ . 所以 f( )= . 同理有 f( )= . 当 x∈时,由“非减函数”的定义可知,f( )≤f(x)≤f( ) ,所以 f(x)= .所以②不正确; 由②中,当 x∈时,f(x)= .可得: 所以③正确;f( 故 f( )+f( )=f( )= ,由 f(x)+f(1﹣x)=1 得:f( )+f( )=1,

)+f(

)+f( )=2,故③正确;

对于④,当 x∈时,x≥2x﹣1,因为函数 f(x)为区间 D 上的“非减函数”, 所以 f(x)≥f(2x﹣1) , 所以 f(f(x) )≤f(2x﹣1)≤f(x) .所以④正确. 故正确命题有:①③④. 故选:D 点评: 本题考查了命题的真假判断与运用,考查了抽象函数的性质,解答的关键是正确理 解新定义,考查了学生的抽象思维能力,是中档题. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)在区间上随机取一个数 x,使得|x|﹣|x﹣1|≥1 成立的概率为 .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计.

分析: 由题意,本题符合几何概型,分别求出已知区间的长度,以及满足不等式的区间长 度,利用长度比得到所求. 解答: 解:区间的长度为 4, 不等式|x|﹣|x﹣1|≥1 等价于 ①, ②,

③, 解①得 x≥1;解②得?;解③得?, 所以不等式的解集为:{x|x≥1}, 所以在区间上随机取一个数 x,使得|x|﹣|x﹣1|≥1 成立的概率为: ; 故答案为: . 点评: 本题主要考查了几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型 12. (5 分)一个总体中有 100 个个体,随机编号为 0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如 果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 小组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字 相同.若 m=6,则在第 7 组中抽取的号码是 63. 考点: 系统抽样方法. 专题: 压轴题. 分析: 此问题总体中个体的个数较多,因此采用系统抽样.按题目中要求的规则抽取即可, 在第 k 小组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同,由 m=6,k=7 得到要抽数字的个 位数. 解答: 解:∵m=6,k=7,m+k=13, ∴在第 7 小组中抽取的号码是 63. 故答案为:63. 点评: 当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样.要从容量为 N 的总体中抽 取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽 取一个个体,得到所需要的样本. 13. (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形,则该几何体的体积为 .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图,可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体,分 别求出体积后,相减可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体, 棱柱和棱锥的底面均为侧视图, 故底面面积 S= ×4×4=8, 棱柱的高为 8,故体积为 64, 棱锥的高为 4,故体积为: 故组合体的体积 V=64﹣ 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 14. (5 分)已知定义在 R 上的函数 f(x) ,g(x)满足 (x) , + = ,若有穷数列{
?

, = ,

=a ,f′(x)g(x)<f(x)g′ ,则 n=6.

x

}(n∈N )的前 n 项和等于

考点: 数列的求和. 专题: 导数的综合应用;等差数列与等比数列. 分析: 由 列出方程求出 a 的值,根据求导法则求出 ,

结合条件判断出导数的符号,即可确定函数的单调性,由指数函数的单调性确定 a 的值,代入 由条件和等比数列的前 n 项和公式求出 n 的值. 解答: 解:因为 所以 a+ =a ,且
2 x



,化简得 2a ﹣5a+2=0,解得 a= 或 2,

因为 f′(x)g(x)<f(x)g′(x) ,

所以

=

<0,



在定义域上单调递减,故 a= ,
?

所以

=

,则有穷数列{
?

}(n∈N )是以 为首项、公比的等比数列,

因为有穷数列{

}(n∈N )的前 n 项和等于



所以

,解得 n=6,

故答案为:6. 点评: 本题考查了等比数列的定义、前 n 项和公式,以及函数的导数与函数单调性关系, 属于中档题.
2 2

15. (5 分) 已知△ ABC 中, AB 边上的中线|CM|=2, 若动点 P 满足 给出下列命题:①对?θ∈R,?λ∈R,使得 使 = ( + =λ ;②当 θ∈(﹣ + )?

=sin θ ,

+cos θ (θ∈R) ,

)时,存在唯一的 θ, |=2,

) ;③动点 P 在运动的过程中, ( | +|
2

的取值范围为;④若|

动点 P 在运动的过程中,| 为①③.

| +|

2

| 的最小值为 .以上命题中,其中正确命题的序号

2

考点: 命题的真假判断与应用;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用;简易逻辑. 分析: 由给出的等式结合共线向量基本定理可得 C、P、M 共线,由此判断①正确; 由给出的向量等式可知 P 为△ ABC 的重心,求出 有两个,判断②错误; 由 式求得( 由已知求出| +
2

,结合 θ 范围可得满足条件的 θ

,得( )? | +|
2

+

)?

=

=2|

||

|cosπ=﹣2|

||

|,然后利用基本不等

的取值范围判断③正确; | +| | 的最小值说明④错误. =sin θ
2 2

解答: 解:∵动点 P 满足

+cos θ

2

(θ∈R) ,且 sin θ+cos θ=1,又∵cos θ∈, =λ 正确,命题①正确;

2

2

2

∴P 在线段 CM 上,则对?θ∈R,?λ∈R,使得

∵CM 为 AB 边上的中线,若 = ∵θ∈(﹣ , ) ,∴

= ( ,∴

+

) ,则 P 为△ ABC 的重心,此时 ,

,则命题②错误;

由判断①的过程知,P、M、C 三点共线,即点 P 在 CM 上, 而 ∵| | || |+| |≤ ,故( + )? = =2| || |cosπ=﹣2| || |,

|=CM=2,由基本不等式可得: . ,当 P 与 M 或 C 重合时( (0≤λ≤1) , + )? 最大为 0,命题③正确;

∴﹣2 设 则| = | +|
2

| +|

2

| =

2

=4λ +1+4λ +1+4(λ﹣1) =12λ ﹣8λ+6. 当 时,| | +|
2

2

2

2

2

| +|

2

| 有最小值为

2

,故命题④错误.

∴正确的命题是①③. 故答案为:①③. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三 角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识,属于中档题. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx) ,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及单调增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 f( + π)= (cosA﹣ sinA)cosB=0,a=2 ,求△ ABC 的面积. ,cosC+

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)= +1,利用正弦函数的周期性和单调性即可得解; sin(2x﹣ )

(Ⅱ)已知等式根据三角函数中的恒等变换应用化简可得 tanB= 又化简 f( )=

,结合 B∈(0,π)可求 B,

,可得△ ABC 为正三角形,结合 a 及三角形面积公式即可得解.

解答: 本小题满分为 12 分 解: (Ⅰ)∵f(x)=2sinx(sinx+cosx)=2sin x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x= +1, ∴函数 f(x)的最小正周期为 π…3 分 由 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2k (k∈Z)可得:kπ kπ+ (k∈ Z) ,
2

sin(2x﹣



∴函数 f(x)的单调增区间为: (k∈Z)…6 分 (Ⅱ)在△ ABC 中,cosC=﹣cos(A+B) ,及 cosC+(cosA﹣ ﹣ sinAcosB=0,而 sinA≠0, ∴ta nB= 又∵f( ,∵B∈(0,π) ,∴B= )= sin(A+ . , =2 …12 分 . cosA+1= ,

sinA)cosB=0,可得:sinAsinB

)+1=

∴cosA= ,∴A=

∴△ABC 为正三角形,又 a=2 ∴△ABC 的面积 S=

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象和性质,三角形面积 公式的应用,属于基本知识的考查. 17. (12 分)某高校自主招生考试依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核.规定只有前 一轮考核通过才能进入下一轮的考核,否则将被淘汰;三轮考核都通过才算通过该校的自主 招生考试.学生甲参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为 , , ,各轮考核通 过与否相互独立.学生乙参加该校自主招生考试三轮考试通过的概率分别为 , , ,且各 轮考核通过与否相互独立,甲乙两人通过该校的自主招生考试与否互不影响. (Ⅰ)求甲乙恰有一人通过该高校自主招生考试的概率; (Ⅱ)甲所在中学为鼓励学生参加自主招生考试,每通过一轮分别奖励学生 100 元,200 元, 300 元,记学生甲获得奖励的金额为 X,求 X 的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)根据所给的概率,利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果. (Ⅱ)根据学生甲得到教育基金的金额为 X,X 的次数的取值是 0 元,100 元,300 元,600 元,根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列,最后做出分布列和期望即可 解答: 解: (Ⅰ)设甲通过该校自荐材料审核、笔试、面试三轮分别为事件 A1,A2,A3; 通过高校自主招生考试为事件 A,乙通过该校自荐材料审核、笔试、面试三轮分别为事件 B1,

B2,B3;通过高校自主招生考试为事件 B,则事件 A1,A2,A3 相互独立,事件 B1,B2,B3; 相互独立,事件 A,B 相互独立. P(A)=P(A1,A2,A3)=P(A1)P(A 2)P(A3)= P(B)=P(B1B2B3)=P(B1)P(B2)P(B3)= 设甲乙恰有一人通过该校自主招生考生为事件 C,则 C=A =P(A )=P(A)P( )+P( )= ,事件 与 A 互斥,P(C)

(Ⅱ)随机变量 X 的取值为 0,100,300,600 P (X=0) = , P (X=100) = X P EX= 点评: 考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指,两事件发生的概率互 不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件,遇到求用至少来表述的事件的 概率时,往往先求它的对立事件的概率. 18. (12 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an =Sn+Sn﹣1(n≥2) ,a1=1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= 成立. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)an =Sn+Sn﹣1(n≥2) ,当 n≥3 时,
2 2

, P (X=300) = 100 300

, P (X=600) = 600

0

,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,证明:对任意 n∈N ,都有 Tn<

?



=Sn﹣1+Sn﹣2,两式相减可得:an﹣an﹣1=1

(n≥3) .当 n=2 时,也成立,即 an﹣an﹣1=1(n≥2) ,利用等差数列的通项公式即可得出. (II)bn= =
2

,利用“裂项求和”、“放缩法”即可得出.

解答: (I)解:∵an =Sn+Sn﹣1(n≥2) ,当 n≥3 时, ∴ =Sn﹣Sn﹣2=an+an﹣1,

=Sn﹣1+Sn﹣2,

∵an>0,∴an﹣an﹣1=1(n≥3) . 又 =S2+S1=a2+2a1,a1=1,a2>0,解得 a2=2,∴a2﹣a1=1,

∴an﹣an﹣1=1(n≥2) .

∴数列{an}为等差数列,公差为 1, ∴an=1+(n﹣1)=n. (II)证明:bn= = = ,

∴Tn=

+…+

+

=



=



∴对任意 n∈N ,都有 Tn<

?

恒成立.

点评: 题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式、递推式的应用、“放缩法”,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 19. (13 分)如图 1,在 Rt△ ACB 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=2,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置. (Ⅰ)如图 2,当 A1C⊥CD 时,求证:A1C⊥平面 BCDE; (Ⅱ)如图 3,设平面 A1CD 与平面 A1BE 所成锐二面角为 θ,当 tanθ= A1BE 的距离. 时,求点 C 到平面

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)先证明 BC⊥A1C,DE⊥A1C,A1C⊥CD,即可证明 A1C⊥平面 BCDE. (Ⅱ)延长 CD,BE 交于点 F,则平面 A1CD∩平面 A1BE=A1F,过 D 作 DQ⊥A1F,垂足为 Q, 连接 EQ,证明∠DQE 为二面角 C﹣A1F﹣B 的平面角,A1D⊥CD,建立如图所示的坐标系, 求出平面 A1BE 的法向量,即可求出点 C 到平面 A1BE 的距离. 解答: (Ⅰ)证明:∵∠C=90°,DE∥BC, ∴BC⊥CD,BC⊥A1D,CD∩A1D=D,

∴BC⊥平面 A1CD, ∴BC⊥A1C,DE⊥A1C, ∵A1C⊥CD,CD∩BC=C,CD∩DE=D,DE∥BC, ∴A1C⊥平面 BCDE. (Ⅱ)解:延长 CD,BE 交于点 F,则平面 A1CD∩平面 A1BE=A1F,过 D 作 DQ⊥A1F,垂足 为 Q,连接 EQ, ∵BC⊥平面 A1CD,DE∥BC, ∴DE⊥平面 A1CD, ∴EQ⊥A1F, ∴∠DQE 为二面角 C﹣A1F﹣B 的平面角,即 tanθ=tan∠DQE= ,

由图 1,在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,且 DE∥BC,DE=2, ∴AD=4,C D=2, 图 3 中,DF=A1D=4,∴DQ= =2 ,

∴A1Q=QF=2 , ∴∠A1DF=90°, ∴A1D⊥CD, ∵A1D⊥DE,DC⊥DE, 建立如图所示的坐标系,则 D(0,0,0) ,C(2,0,0) ,B(2,3,0) ,E(0,2,0) ,A1 (0,0,4) ∴ =(2,3,﹣4) , =(﹣2,﹣1,0) ,

设平面 A1BE 的法向量为 =(x,y,z) ,则



取 =(﹣1,2,1) , ∵ =(0,3,0) , = .

∴点 C 到平面 A1BE 的距离为

点评: 本题主要考查直线与平面垂直的判定,考查二面角的平面角,考查点 C 到平面 A1BE 的距离,知识综合强.

20. (13 分)如图,已知椭圆 (Ⅰ)求该椭圆的方程;

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点(

, ) .

(Ⅱ)若 A,B,C 为椭圆上的三点(A,B 不在坐标轴上) ,满足

=

+

,直线 OA,

OB 分别交直线 l:x=3 于 M,N 两点,设直线 OA,OB 的斜率为 k1,k2.证明:k1?k2 为定值, 并求线段 MN 长度的最小值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (I)由题意可得:

,解得即可得出椭圆的标准方程.

(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 得 =



=1.由于满足

=

+

,可

.代入椭圆的方程化简可得:x1x2+4y1y2=0,即可证明 x,令 x=3,解得 M, ,利用基本不等式的性质即可得出.

k1k2 为定值.设 OA:y=k1x,OB:y=﹣ N.|MN|= =

解答: (I)解:由题意可得:

,解得 a=2,b=1,c=



∴椭圆的标准方程为:



(II)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则



=1,①.

∵满足

=

+

,∴

=



代入椭圆的方程可得:



化为

+

+

=1,

由①可得:x1x2+4y1y2=0, ∴k1k2=﹣ 为定值. 设 OA:y=k1x,OB:y=﹣ x,令 x=3,解得 M(3,3k1) ,N .

∴|MN|=

=

≥ 3×

=3,当且仅当

时取等

号, ∴|MN|的最小值为 3. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系、向量坐标运算、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

21. (13 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求函数 f(x)的最小值; (Ⅱ)求证: ( ) +( ) +…+(
n n

(x>﹣1) .

) +( ) <

n

n

(n∈N )

?

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)求出 f(x)的导数,求得增区间和减区间,即可得到最小值 f(0)=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 则 ﹣1≥ln , 即 k﹣n≥nln =ln ( ) . (当且仅当 n=k 取得等号) ,运用累加法,结合等比数列的求和公式 和不等式的性质,即可得证. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)= (x>﹣1)的导数为 f′(x)= ,
n

≥1,即 e ≥x+1,即有 x≥ln(x+1) ,当且仅当 x=0 取得等号,令 1+x= ,

x

由 f′(x)>0 可得 x>0,由由 f′(x)<0 可得﹣1 <x<0, 即有 f(x)在(﹣1,0)递 减,在(0,+∞)递增, 则 x=0 处 f(x)取得极小值,也为最小值,且为 f(0)=1;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得

≥1,即 e ≥x+1,即有 x≥ln(x+1) ,

x

当且仅当 x=0 取得等号,令 1+x= ,则 ﹣1≥ln , 即 k﹣n≥nln =ln( ) . (当且仅当 n=k 取得等号) , 将 k 从 1 到 n 取值,可得 1﹣n≥ln( ) .2﹣n≥ln( ) …, (n﹣1)﹣n≥ln( 则有( ) ≤e
n n 1﹣n n n n

) ,n﹣n≥ln( ) .
n 2﹣n

n

n

, ( ) ≤e
n

,…, (
n

) ≤e
n

n

(n﹣1)﹣n

, ( ) ≤e

n

n﹣n



即有( ) +( ) +…+(

) + ( ) ≤e

1﹣n

+e

2﹣n

+…+e

(n﹣1)﹣n

+e

n﹣n

=

=



(n∈N ) .

?

点评: 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,同时考查不等式的证明,注意运 用函数的最值和不等式的性质及等比数列的求和公式,属于中档题.



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