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15】第十五讲 概率与统计



第十五讲

概率与统计

一、考点演绎 在概率的学习过程中,需要认识到随机现象与概率的意义,在理解不同概念的区别的 前提下,能够运用排列组合公式来计算等可能事件的概率;在理解互斥事件与相互独立事 件的区别下,能够运用加法公式和乘法公式来解决相关问题的概率;掌握随机变量的数学 期望的概念,并能够求出随机变量的分布列,进而求出随机变量的数学期望

. 在随机抽样的学习中,掌握系统抽样和分层抽样的区别,能够在具体的问题中正确的 运用合理的抽样方法;在统计的学习过程中,理解和掌握总体的均值和方差的求法,特别 需要注意用样本去估计总体的方差的特殊要求,并能在具体的问题中运用. 二、例题精讲 Ⅰ 随机事件的概率 例 1、甲、乙两位旅行者体验城市生活,从某地铁站同时搭上同一列车,分别从前方 10 个 地铁站中随机选择一个地铁站下车,则甲、乙两人不在同一站下车的概率是 . 【解法导析】:本题考查的是等可能事件的概率,解题的关键是转化为对立事件的概率, 属于基础题.甲、乙两人不在站下车的对立事件为甲、乙两人在同一站下车,求出其概 率,即可得到结论. 【详解】:先求对立事件,即甲、乙两人在同一站下车的概率为

1 10 , ? 10 ?10 10

?甲、乙两人不在同一站下车的概率为 1 ?
故答案为:

1 9 ? , 10 10

9 . 10

?1 1 ? ?3 2 ? x 为 b ,则函数 y ? a ? b 的图像经过第三象限的概率是
(2)对任意一个非零复数 z ,定义集合 AZ ?

例 2、(1)从 ? , , 2,3? 中随机抽取一个数记为 a ,从 ??1,1, ?2, 2? 中随机抽取一个数记

?? ? ? z , n ? N ? ,设 ? 是方程 x
n ?



2

?1 ? 0
(结果

的一个根,若在 A? 中任取两个不同的数,则其和为零的概率为 P ?

用分数表示). (3)某银行有一自动取款机,在某时刻恰有 k (k ? N ) 个人正在使用或等待使用该取款

?1 k ?( ) ? p(0),(0 ? k ? 5) 机的概率为 p ( k ) ,根据统计得到 p(k ) ? ? 2 ,则在该时刻没有人正 ? , (k ? 5) ?0
在使用或等待使用该取款机的概率为( )

A.

8 ; 15

B.

4 ; 7

C.

32 ; 63

D.

16 . 31

【解法导析】:(1)本题考查等可能事件的概率计算与指数函数图像的性质和变换,关键 是指数函数图像的性质分析得到函数图像过第三象限的情况. 列举法计算基本事件数及事件发生的概率; 根据题意,分析可得 a,b 可能的情况书目,由分步计数原理可得 f ( x) ? a ? b 的情况数
x

目,由指数函数的图像函数性质分析可得 f ( x) ? a ? b 的图像经过第三象限的情况数目, 由等可能事件的概率公式,计算可得结果. (2)本题以概率的运算为载体,考查了虚数单位的定义、等可能事件的概率和复数乘方等 知识,属于基础题.
x

1

根据虚数单位的定义,得 a ? i或 ? i ,从而化简出集合 A? ? ??1,1, i, ?i? ,从中选两个数的 方法有 6 种,而满足和为零有 2 种情况,由此不难得到和为零的概率. (3)这道题考查的是等可能事件的概率问题,然后将可能出现的结果列出来,再利用概率 和为 1,这道题就可以得出正确答案.

2, 3? 中随机取出一个数记为 a,有 4 种情况; 【详解】:(1)根据题意,从集合 ? , ,
从 ?1, ?1, ?2, 2? 中随机抽取一个数记为 b,有 4 种情况,则 f ( x) ? a ? b 的情况有 4× 4=16
x

?1 1 ?3 2

? ?

种. 函数 f ( x) ? a ? b 的图像经过第三象限,有
x

1 1 a ? 3, b ? ?1; a ? 3, b ? ?2; a ? 4, b ? ?1; a ? 4.b ? ?2; a ? , b ? ?2; a ? , b ? ?2 . 3 2 6 3 共 6 种情况,则函数的图像经过第三象限的概率为 = . 16 8
(2) ? a是方程x 2 ? 1 ? 0的一个根, ? a ? i或 ? i. 化简得:集合A? ? ? ? ? ? n , n ? N ? ? ??1,1, i, ?i?. 在A?中任取连个不同的数,当取到“1和-1? 或“i或-i? , 有两种情况.
2 又 ? 从A?中四个元素任取两个的方法有C4 ? 6种.

?

?

? 和为零的概率为:P= 1 故答案为: . 3

2 1 ? . 6 3

(3)由题意知:本自动取款机每次不超过 4 人正在使用或等待使用,

? “有0,1,2,3或4人正在使用或等待使用该取款机”是必然事件, ? P(0) ? P(1) ? P(2) ? P(3) ? P(4) ? 1, 1 1 1 1 ? P(1) ? P(0), P(2) ? P(0), P(3) ? P(0), P(4) ? P(0), 2 4 8 16 1 1 1 1 ? P(0) ? P(0) ? P(0) ? P(0) ? P(0) ? 1, 2 4 8 16 16 ? P(0) ? , 31 故选D.
例 3、在袋中装有 20 个小球,其中彩球有 n 个红色,5 个蓝色、10 个黄色,其余为白球. 求:(1)如果从袋中取出 3 个都是相同颜色彩球(无白色)的概率是 13 ,且 n ? 2 ,那
114

么,袋中的红球共有几个? (2)根据(1)的结论,计算从袋中任取 3 个小球至少有一个是红球的概率. 【解法导析】:本题考查等可能事件的概率和互斥事件,分清互斥事件和对立事件之间的 关系,互斥事件是不可能同时发生的事件,对立事件是指一个不发生,另一个一定发生的 事件. (1) 由题意知本题是一个等可能事件的概率问题,试验包含的所有事件是从 20 个球中 取出 3 个球,其中,3 个球全为红色,3 个球全为蓝色,3 个球全为黄色是互斥的, 根据题意得到互斥事件的概率,从而得到结果.
2

(2) 由题意知,3 个球中至少有一个是红球的对立事件是 3 个球中没有红球,从而算出 没有红球的概率,然后用对立事件的概率公式得到结果.
3 【详解】:(1)取 3 个球的种数为: C20 ? 1140 .

设“3 个球全为红色”为事件 A,“3 个球全是蓝色”为事件 B,“3 个球全是黄色”为事件 C.
3 3 C10 120 C5 10 , . P ( C ) ? ? ? 3 3 C20 1140 C20 1140 ? A、B、C 为互斥事件, ? P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) . 13 10 120 . ? ? P( A) ? ? 114 1140 1140 ? P( A) ? 0 . 取的 3 个球中红球的个数 ? 2 . 又? n ? 2 ,故 n ? 2 .

P( B) ?

(2)记“3 个球中至少有一个是红球”为事件 D.则 D 为“3 个球中没有红球”.

?

P( D) ? 1 ? P( D) ? 1 ?

?

3 C18 27 . ? 3 C20 95

Ⅱ 古典概型 例 4、某高级中学举行高二英语演讲比赛,共有 9 人参加决赛(其中高二(2)班 2 人,其 他班级有 7 人),比赛的出场顺序按抽签方式产生,则比赛出场顺序是“高二(2)班 2 人 比赛序号不相连”的概率是 .(结果用最简分数表示) 【解法导析】:本题考查排列、组合及简单计数原理,古典概型及其概率计算公式. 求出所有出场顺序的总数,然后求出高二(2)班 2 人比赛序号不相连的数目,即可求解所 求概率. 【详解】:由题意可知所有出场顺序的总数为P 9 .
9

高二(2)班2人比赛序号不相连的数目为:P99 -P88 ? 2 ? 7 P88 . 7 P88 7 所以比赛出场顺序是 "高二 ? 2 ? 班2人比赛序号不相连"的概率是: 9 = . P9 9
例 5、袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标 号 分别为 1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (2)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜 色不同且标号之和小于 4 的概率. 【解法导析】本题考查古典概型的计算,涉及列举法的应用,解题的关键是正确列举,分 析得到事件的情况数目. (1) 由列举法可得从五张卡片中任取两张的所有情况,分析可得两张卡片的颜色不同且 标号之和小于 4 的情况数目,由古典概型公式,计算可得答案; (2) 加入一张标号为 0 的绿色卡片后,共有六张卡片,由列举法可得从中任取两张的所 有情况,分析可得两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的情况数目,由古典概型 公式,可以得到结果. 【详解】:(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1,红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于 4 的有 3 种情况,故所求的概率为 3 P? . 10

3

(2)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况 外,多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 8 种 情况,其中颜色不同且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P ? . 15 Ⅲ 随机抽样 例 6、(1)一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,若用分层抽样的方法从该队的 全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动员的人数为___________. (2)用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生按 1-160 编号, 按标号顺序平均分成 20 组(1-8 号,9-16 号,…,153-160 号).若第 16 组应抽出的号码 为 126,则第一组中用抽签方法确定的号码是( ) A、4 B 、5 C、6 D、7 【解法导析】(1)本题考查分层抽样,在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,这是解 决这种问题的依据. 根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目,得到每个个体被抽到的概率, 利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目,从而得到结果. (2)系统抽样形象地讲是等距抽样,系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况,系统抽 样属于等可能抽样. 按照此题的抽样规则我们可以得到抽出的这 20 个数成等差数列, a1 ? x, a16 ? 126, 公差d ? 8 . 【详解】:(1)田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,这支田径队共有 84 人, 用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本, 每个个体被抽到的概率是

21 1 ? . 84 4

田径队有男运动员 48 人,所以,男运动员要抽取 48 ? (2)C . 设在第一组中抽取的号码是 x( 1 ? x ? 8 ). 由题意可得分段间隔是 8.

1 =12 . 4

? 第16组抽取的号码为126, ? x ? 15 ? 8 ? 126, 解得x ? 6, ? 第一组中用抽签方法确定的号码是6.
Ⅳ 用样本估计总体 例 7、(1)某区有 200 名学生参加数学竞赛,随机抽取 10 名学生成绩如下: 40 50 60 70 80 90 成绩 1 1 2 2 1 3 人数 则总体标准差的点估计值是 (精确到 0.01) . (2)由正整数组成的一组数据 x1 、 x2 、 x3 、 x4 ,其平均数和中位数都是 2,且标准差等 于 1,则这组数据为 .(从小到大排列) 【解法导析】(1)总体方差是一组资料中各数值与其算术平均数的差的平方和的平均 数.总体标准差则是总体方差的平方根.总体标准差通过随机抽取一定量的样本并计算样 本标准差估计的,标准差是描述一组观察值离散趋势的常用指标. (2)本题考查中位数,平均数,标准差,解题的关键是利用相关公式建立方程,作出正确 判断. 【详解】:

4

(1) x? s? ?

?

40 ? 50 ? 60 ? 2 ? 70 ? 2 ? 80 ? 90 ? 3 ? 70. 10

(40 ? 70)2 ? (50 ? 70) 2 ? 2 ? (60 ? 70) 2 ? 2 ? (70 ? 70) 2 ? (80 ? 70) 2 ? 3 ? (90 ? 70) 2 10 ? 1

2800 20 7 ? ? 17.64. 9 3 x ? x2 ? x3 ? x4 x ?x (2)1、1、3、3.由 1 ? 2 , 2 3 ? 2 ,可得 x1 ? x4 ? x2 ? x3 ? 4 , 4 2
因为 x1 、 x2 、 x3 、 x4 都是正整数,所以只有 1、3 组合或 2、2 组合. 若其中有一个是 2、2 组合,不妨设 x1 ? x4 ? 2 ,则由

s?

1? 2 2 2 2 ?1. ? x1 ? 2 ? ? ? x2 ? 2 ? ? ? x3 ? 2 ? ? ? x4 ? 2 ? ? ? ? 4
2 2

可得 ? x2 ? 2 ? ? ? x3 ? 2 ? ? 4 ,此时 x2 、 x3 无解, 所以 x1 与 x4 , x2 与 x3 都是 1、3 组合, 因此这组数据为 1、1、3、3. 例 8、近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活 垃圾分为厨余垃圾、可回收物 和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况, 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 400 100 100 厨余垃圾 30 240 30 可回收物 20 20 60 其他垃圾 (1)试估 计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为

a, b, c ,其中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 .当数据 a, b, c 的方差 S 2 最大时,写出 a, b, c 2 的值(结论不要求证明),并求此时 S 的值.
1 (注:方差 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,? xn 的平均 n 数) 【解法导析】:本题考查古典概型的求解和对立事件. (1) 由题意和概率的定义易得所求概率;
(2) 设生活垃圾投放错误为事件 A,则其对立事件 A 表示生活垃圾投放正确,先求

P A .
(3)此题的难度集中在第三问,其它两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证 明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻. 【详解】:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

? ?

“ 厨余垃圾” 箱里厨余垃圾量 400 2 ? ? . 厨余垃圾总量 400 ? 100 ? 100 3 (2)设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃 圾”箱里其他垃圾量的总和除以 生活垃圾总量,即 P( A ),约为 400+240+60 =0.7 .所以 P(A)约为 1-0.7=0,3. 1000
5

(3)当 a ? 600 , b ? c ? 0 时, S 取得最大值.因为 x ?
2

1 (a ? b ? c) ? 200 , 3

所以 S2 ? [(600 ? 200)2 ? (0 ? 200)2 ? (0 ? 200) 2 ] ? 8000 . Ⅴ(理科拓展)数学期望 例 9、(1)毕业生小王参加人才招聘会,分别向 A 、 B 两个公司投递个人简历.假定小王

1 3

1 ,得到 B 公司面试的概率为 p ,且两个公司是否让其面试是独 3 1 立的.记 ? 为小王得到面试的公司个数.若 ? ? 0 时的概率 P(? ? 0) ? ,则随机变量 ? 2 的数学期望 E (? ) ? . (2)随机变量 x 的分布图如图所示,则数学期望 Ex ? . x 0 1 2 3 p a 0.1 0.3 2a
得到 A 公司面试的概率为 【解法导析】:(1)本题考查随机变量的期望与方差;由题设可知

1 1 1 P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? p) ? , 故p ? .由题设知?的可能取值为0, 1, 2, 3 2 4 分别求出 P(? ? 0),P(? ? 1),P(? ? 2) 的值,由此能求出 E? .
(2)考查离散型随机变量及其分布列;根据概率的和为 1,求的 a 的值,再根据期望公 式,即可得到结论. 【详解】:(1)由题设知:P(? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? p) ?

1 3

1 . 2

3 1 ?1 ? p ? ,? p ? . 4 4 由题设知?的可能取值为0,1,2. 1 1 1 1 1 5 P(? ? 0) ? ;P(? ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? . 2 3 4 3 4 12 1 1 1 P(? ? 2) ? ? ? . 3 4 12 1 5 1 7 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 2 12 12 12 (2)根据所给分布列,可得 0.1+0.3+2a ? a ? 1 , ? a ? 0.2, ? Ex ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.3+2 ? 0.4+3 ? 0.2=1.7.
三、易错警示 1、有 6 个房间安排 4 个旅客住,每个人可以住进任一房间,且住进各房间是等可能 的.(1)指定的 4 个房间中各有 1 人住的事件的概率为 ;(2)指定的房间有 2 人住的事件的概率为 . 【错解】:所有基本事件的个数是 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 360 . (1)指定的 4 个房间中各有 1 人住,有 P4 ? 24 ,所求的概率为:
4

24 1 ? ; 360 15

6

(2)从 4 人中选 2 人去指定的房间,共有 C 4 ? 6 ,余下 2 人没人去 5 个房间中的任意一
2

间,有 5 ? 4 ? 20 种情况,所求的概率为

6 ? 20 1 ? . 360 3

【易错点分析】:学生在解该题时,往往会错误地理解基本事件的个数,忽视基本事件可 以包含多人住一个房间的情况. 【正解】:每人可以住进任意一间房间,并且住进各房间都有 6 种等可能的方法,因此所 有可能的情况有 6 种. (1)指定的 4 个房间中各有 1 人住,有 P4 ? 24 ,所求的概率为:
4 2
4

24 1 ? ; 64 54

(2)从 4 人中选 2 人去指定的房间,共有 C 4 ? 6 ,余下 2 人没人去 5 个房间中的任意一 间,有 5 ? 25 种情况,所求的概率为
2

6 ? 25 25 . ? 64 216

四、高考预测 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每天至少有 1 名 同学参加公益活动,那么星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加的概率 为 . 【解法导析】:本题考查排列组合及简单的计数原理,先从 5 人中选出 4 名同学在周五、 周六、周日参加公益活动;然后再按要求周五两人,周六周日各一人有多少种选派方法. 【详解】:从 5 人中选派 4 名同学在周五、周六周日参加公益活动,每天至少一人参加公 益活动: 首先选出 4 人参加活动,有 C5 中情况, 再从选出的 4 人中选出 2 人参加一天的活动 C4 C3 , 然后剩下的两人参加剩下的两天的活动有 P2 中情况, 所以每天至少一人参加公益活动有: C5 C4 C3 P 2 ? 180 ;
4 2 2 2
2

4

2

1

周五有 2 人参加,周六周日有 1 人参加: 先从 5 人中选 2 人参加周五的活动,有 C5 =10 种情况, 再从剩下的 3 人中,抽取两人安排在周六,周日参加活动,有 P 3 =6 种情况, 所以:周五有 2 人参加,周六周日有 1 人共有 60 种情况; 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,那么星 期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加的概率为
2
2

60 1 = . 180 3

五、方法总结 解决概率问题,首先要判断该试验的结果是否为等可能事件,设出所求的事件为 A, 然后分别求出基本事件的个数 n 与所求的事件 A 所包含的基本事件个数 m,再利用公式

P( A) ?

m ,从而求出事件 A 的概率. n

对于古典概型求概率问题,列举法仍然是求解其概率的主要方法,而与排列、组合问 题相结合的概率问题仍然是常考的热点. 求离散型随机变量的分布列(理科),首先要明确变量的所有可能取值,和每个值所 表示的意义;然后再利用概率所学知识,求出随机变量每个取值的概率;最后按规范形式 写出分布列,并用其概率和为 1 进行检验. 六、实战演练 一、填空题

7

1、从 {1,2,3,4,5,6} 中随机抽一个数 a ,从 {1,2,3} 中随机抽一个数 b ,则 a ? b 的概率等 于 . 2、5 名学生报名参加两项社会实践活动,每个学生都要报名且只报一项,那么每项活动都 至少有两名学生报名的概率为 .(结果用最简分数表示) 3、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目,则有且仅有两人 选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示). 4、一名工人维护甲、乙两台独立的机床,若在一小时内,甲、乙机床需要维护的概率分别 为 0.9 、 0.85 ,则两台机床都不需要维护的概率为 . 5、从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量如下(单位:克):125,124,121,123, 127. 则该样本的标准差 s ? 克. 6、一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人.按男女比例用分层抽样的方 法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是 . 7.从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距 离为

8、某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为志愿者,若用随机变量 ? 表示选出的志 愿者中女生的人数,则数学期望 E? = (结果用最简分数表示). 二、选择题 9.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球 ,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.

2 的概率是___________. 2

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

10.设不等式组 ?

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 ?0 ? y ? 2
) C. B.

A.

?

标原点的距离大于 2 的概率是(

? ?2
2

?
6

4

D.

4 ?? 4

11、将 1,2,…,9 这 9 个数随机分给甲、乙、丙三人,每人三个数,则每人手中的三个 数都能构成等差数列的概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 56 70 336 420 12、小球 A 在右图所示的通道由上到下随机地滑动,最后在下底面的某个出口落出,则一 次投放小球,从“出口 3 ”落出的概率为( ) A

1 5 3 C. 16
A.

1 4 3 D. 8
B.

1

2

3

4

5

三、解答题 13 、甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获 胜或每人都已投球 3 次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为 的概率为

1 ,乙每次投篮投中 3

1 ,且各次投篮互不影响. 2

(1)求乙获胜的概率;(2)求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率.

8

14.某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽 取 6 所学校对学生进行视力调查. (I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (II)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取 结果; (2)求抽取的 2 所学校均为小学的概率.

15.假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命, 现从两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,结果统计如下:

(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率; (2)这两 种品牌产品中,某个产品已使 用了 200 小时,试估计该产品是甲品牌的概 率.

16.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为

1 和 p. 10 49 ,求 p 的值; 50

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(2)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概 率.

9

参考答案 一、填空题 1、

2 【解析】: 3 根据题意,用数组(a,b)表示抽取的情况,

则有( 1, 1)、( 1,)、( 2 1,)、( 3 2, 1)、(2,)、( 2 2,)、( 3 3, 1)、(3,)、( 2 3,)、 3 (4, 1)、(4,)、( 2 4,)、( 3 5, 1)、(5,)、( 2 5,),( 3 6, 1)、(6,)、( 2 6,), 3 共18种情况, 其中a>b的情况有(2, 1)、(3, 1)、(3,)、( 2 4, 1)、(4,)、( 2 4,)、 3 (5, 1)、(5,)、( 2 5,)、( 3 6, 1)、(6,)、( 2 6,),共 3 12种情况, 12 2 则a>b的概率P ? = . 18 3 5 5 2、 【解析】:所有的报名方法共有 2 =32 种,每项活动至少报名两个人, 8
说明报名情况是,一个项目有 3 个人报名,另一个 2 个人,只需要把学生分成两份, 然后分给两个项目即可.
3 2 C5 ?C2 ? P22 ? 20 ,所以,所求的概率为

20 5 = . 32 8

3、

2 【解析】: 3

每个同学都有三种选择:跳高与跳远;跳高与铅球;跳远与铅球; 三个同学共有3 ? 3 ? 3=27种.
2 1 1 有且仅有两人选择的项目完全相同有C3 ? C3 ? C2 ? 18种. 2 其中C3 表示3个同学中选2个同学选择的项目, 1 C3 表示从三种组合中选一个, 1 C2 表示剩下的一个同学有2种选择.

故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是

18 2 = . 27 3

4、 0.015 【解析】: ?甲、乙机床需要维护的概率分别为: 0.9, 0.85,

故甲台机床不需要维护的概率为1-0.9=01, . 乙台机床不需要维护的概率为1-0.85=015, . 则两台机床都不需要维护的概率为:01 . ? 015 . =0.015.
5、2【解析】:

由题意得:样本平均数 x ?

125 ? 124 ? 121 ? 123 ? 127 ? 124, 5 12 ? 02 ? 32 ? 12 ? 32 样本方差s 2 ? ? 4, 5 s ? 2.
?

6、12【解析】: 每个个体被抽到的概率是

28 2 = , 98 7

田径队有女运动员 42 人,
10

所以女运动员要抽取 42 ? 7、

2 =12人 . 7

2 【解析】:从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点共 5 2 有 C5 ? 10 种,

2 的必选中心点,共有 4 种可能, 2 4 2 2 故该两点间的距离为 的概率是 = . 10 5 2 4 8、 【解析】: 7 用随机变量? 表示选出的志愿者中女生的人数, ? 可取0, 1, 2. 当? =0时,表示没有选到女生;当? =1时,表示选到1个女生; 当? =2时,表示选到2个女生;
其中两点间的距离为

? P(? =0) ? P(? =2) ?

1 1 C52 10 C5 C2 10 ? , ? P ( ? =1) ? ? , 2 C7 21 C72 21

2 C2 1 ? , 2 C7 21

? E? ? 0 ?

10 10 1 4 ? 1? ? 2 ? ? . 21 21 21 7
2

二、选择题 9、B【解析】:从袋中任取两球共有 C6 =15 种情况, 选出两球为一白一黑共有: C2C3 ? 6 种情况,
1 1

所以选出一黑一百的概率为:

6 2 = . 15 5

10、D【解析】: 其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形,面积为S1 ? 4.

满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心,以2为半径的圆外部, 面积为S2 ? 4-

? ?22
4

=4-? . 4 ?? . 4

? 在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率P=

11、A【解析】:把 9 个数分给 3 人,每人 3 个数,不同的分法为: C9 C6 ? 1680 .
3 3

11

每人手中的三个数都能构成等差数列的所有可能,即: (123,468,579),(123,456,789),(135,246,789),(147,258,369),
3 (159,234,678),顺序可换,所以为 5P 3 ? 30 ,

概率为:

30 1 = . 1680 56

12、D【解析】我们把从 A 到 3 的路线图单独画出来:

?1? 分析可得,从 A 到 3 共有 6种走法 ,每一种走法的概率都是 ? ? , ?2?
1 3 ?珠子从出口3 出来的概率是6 ? ( )4 ? . 2 8
三、解答题 13、【解析】设

4

1 1 Ak , Bk 分别表示甲、乙的第k次投篮,则p(Ak )= , p(Bk )= (k ? 1, 2,3) , 3 2
(1)记“乙获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率 计算公式知 p(C ) ? p( A1 B1 ) ? p( A1 B1 A2 B2 ) ? p( A1 B1 A2 B2 A3 B3 )

? p( A1 ) p( B1 ) ? p( A1 ) p( B1 ) p( A2 ) p( B2 ) ? p ( A1 ) p (B1 ) p ( A2 ) p (B2 ) p ( A3 ) p (B3 ) 2 1 2 1 2 1 13 ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ( )3 ? . 3 2 3 2 3 2 27
(2)记“投篮结束时乙只投了 2 个球”为事件 D,则由互斥事件有一个发生的概率与相互 独立事件同时发生的概率计算公式知 p( D) ? p( A1 B1 A2 B2 ) ? p ( A1 B1 A2 B2 A3 )

? p( A1 ) p( B1 ) P( A2 ) P( B2 ) ? p( A1 ) p( B1 ) P( A2 ) P( B2 ) p( A3 ) 2 1 2 1 1 4 ? ( )2 ( )2 ? ( )2 ( ) 2 ? . 3 2 3 2 3 27
14、【解析】:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为

21 ?6 ? 3, 21 ? 14 ? 7

14 7 ?6 ? 2 , ?6 ?1 . 21 ? 14 ? 7 21 ? 14 ? 7
(2)①在抽取到的 6 年学校中,3 所小学分别记为 A1 , A2 , A3 ,2 所中学分别记为

? A1 , A2 ? , ? A1 , A3? , ? A1 , A4 ? , ? A1 , A5 ? , ? A1 , A6 ? , ? A2 , A3? , ? A2 , A4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A5 ? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? ,共 15 种.

A4 , A5 ,大学记为 A6 ,则抽取 2 所学校的所有可能结果为

12

②从 6 年学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B )的所有可能结果为

? A1 , A2 ? , ? A1 , A3? , ? A2 , A3? ,共 3 种,所以 P( B) ?
15、【解析】:

3 1 ? . 15 5

(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为 用频率估计概率,

5+20 1 = , 100 4

1 ?甲品牌产品小于200小时的概率为 . 4 (2)根据抽样结果,寿命大于200小时的产品有75+70=145个. 其中甲品牌产品是75个, 75 15 所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是: = . 145 29 15 用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率是 . 29
16、【解析】:(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那么

1 ? P(C ) ? 1 ?

1 49 1 p ? .解得p ? . 10 50 5 1 1 1 972 243 . ? (1 ? )2 ? (1 ? )3 ? ? 10 10 10 1000 250

(2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件
2 D,那么 P( D) ? C3

13



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