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平面向量基本定理认知工作单



引入旧知:
如图所示,□ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点M,已知 uuu r uuu r uuu r AB ? a , AD ? b ,探究能否用 a , b 表示 MC ?

D

C

M A B

前面我们已经学习了向量共线定理, 知道了如果 j 与 i ( i ? 0 )是

共线向量 ? 有且只有一个实数 ? ,使得___
j ? ?i

uuu r uuu r (i ? 0) 。所以,在这一问题中,由 MC 与 AC 共线,因此
有___,再由向量的加法可得
uuu r 1 uuu r MC ? AC 2 uu u r uuu r AB ? AD 1 1 a? b 2 2

uuu r AC ? ___=___, uuu r 即有 MC ? ___

a?b

思考:一般地,能否用这两个已知的向量 a , b 来表 示该平面上的任意一个未知的向量呢?如果可以,那么就 可以实现用有限的两个已知向量来驾驭无数个未知的向量 这一化繁为简的目的。

情境引入:
在导弹升空过程中,导弹在升空的某一时刻的速度 v , 我们一般把它分解成竖直方向和水平方向两个分速度,如 图所示的速度,我们该如何用 i 、 j 表示呢?

运用前面学过的三角形法则,我们有___, 再根据

uuur uuu u r v ? OM ? MV

uuur 向量共线定理,我们发现 OM 与 i 共线,方向相同且长度
刚好等于我们规定的单位向量 i 的长度的___倍,因此有 6 6i

uuur uuuu r uuu r OM ? ___;而 MV = ON ,所以,我们可以得到 uuuu r MV ? ___=___,于是有 v ? __=___。

uuu r ON

4j

初步探究:
1、如果我把两个向量 i 、 j 改为如下图所示的向量 e1 、

uuur uuu u r OM ? MV
6i ? 4 j

uuu r e2 ,那么又如何用 e1 、 e2 表示向量 OV 呢?

uuu r 这里,我们仍用三角形法则,可以得到 OV ? ___,此 uuur 时 OM 仍与 e1 共线,且方向相同,但由于单位向量 e1 的长 uuur 度发生了改变,因此,此时 OM ? ___,同样地,竖直方向 uuuu r uuu r 上 MV ? ___,于是 OV ? ______=______。

uuur uuu u r OM ? MV

3e1

4e 2 uuur uuu u r OM ? MV 3e1 ? 4e2

2、现在我把向量的方向改变一下,如下图,这两个 向量分别该如何分解和表示呢?我们先看第一个图,同样 uuuu r 地,我们用三角形法则,如图分解。易得 OW ? _____,而

uuu r uuu r WU 与 e2 反向,且长度是_____倍,因此 WU ? _____。于 uuu r 是, OU ? _____=_____。

2.5e1
4

?4e2

uuur uuuu r OM ? MU 2.5e1 ? 4e2

思考:下面这个向量大家能用 e1 、 e2 来表示吗?请思 考一下。

3、经过前面的探索,我们发现,只要两个单位向量相 互垂直,不管所要表示的向量如何,我们都可以顺利地把 它用两个单位向量表示出来。 如果改变 e1 、 e2 的方向,它们现在不垂直也不共线,

uuu r 同学们还能正确分解和表示下面这个向量 OQ 吗?
我们还是可以用三角形法则,然后根据两个向量与单 位向量长度和方向的关系,把这个向量分解出来,得到 uuu r OQ ? _____。

4e1 ? 2.5e2

深入探究:
经过前面这一系列的探讨,我们发现,只要是这三个 向量共起点,不管是改变我们所要表示的向量,还是改变 单位向量的方向或者大小,我们都能够顺利地构造出一个 三角形,并且把给出的向量用两个单位向量表示出来。 那么, 对于图中给出的三个向量, 大家能不能用 e1 与 e2 来表示 a 呢?

面对一个比较难的问题,我们要学会将它转化为一个 简单的问题或者一个已经解决的问题。这一问题与前面问 题的差异是这三个向量____,我们把这几个向量移到 ____________,事实上,也是通过 O 点作两个相等的向量。 不共点 同一个起点 O 处 接下来还是利用____________,将 a 分解成两个分别与 e1 , 三角形法则

e2 共线的向量的和,如图所示,再利用_______定理,可得 a1 ? ____, a2 = ____。
即 a ? ____。

向量共线

?1e1

?2e2

?1e1 ? ?2e2

引入定理:
平面向量基本定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内两个____ 的向量,那么对于这一平面内____的向量 a ,有一对实数

?1 , ?2 ,使 a ? ___。

不共线 任一

?1e1 ? ?2e2

补充定义:
我们把不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组___。一个平面向量用一组基底 e1 ,e2 表示成的

a ? ___形式,我们称它为向量的分解,当 e1 , e2 相互垂直
时,就称为向量的___。 思考:如果 e1 , e2 共线,那么情况会怎么样?

基底

?1e1 ? ?2e2
正交分解

过点 C 分别作 e1 , e2 的_____,显然,当 e1 , e2 共线时,平

uuu r 面内与之不共线的向量 OC _____用它们线性表示。

平行线

例题探究:
对于平面上四点 A、B、C、D,选定该平面内的一组 uuu r uuu r 基 底 e1 、 e2 , 如 果 AB ? 3e1 ? 2e2 , BC ? 4e1 ? e2 ,

无法

uuu r CD ? 8e1 ? 9e2 ,那么,试判断 A,B,D 是否三点共线?
uuu r 分析:要判断 A、B、D 三点共线,只需判断两个向量 AB 和

uuu r AD _____即可。
共线

如何表示这两个向量呢?通过这节课的学习,我们知 道,我们已经在该平面上找一组基底,如上图所示的 e1 ,

uuu r uuu r uuu r e2 ,那么 AB 和 AD 就可以用这组基底线性表示。 AB 已经
uuu r 在题目中给出表示结果,那么 AD 呢?根据向量加法,我

uuu r 们不难算得 AD = _______________,将已知代入计算,可得 uuu r uuu r AD ? _______________, 于是, AD ? ______________。因
此,由向量共线定理可以判断 A、B、D 三点共线。

uuu r uuu r uuu r AD ? BC ? CD 15e1 ? 10e2 uu u r 5 AB

总结: 通过这个例题我们发现,向量是一个如此神奇 的东西,它用代数的知识就能简单且巧妙地把一个几何问 题给解决了。就像一座桥,把 ______ 和 _____ 给连接了起 来,其实,这也正是我们平常所说的“ ___________”的思 想方法啊! 代数 几何 数形结合



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