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《反证法》参考教案2-PDF



2.2.2 反证法
教学目的:搞清函数的反证法,了解反证法是间接证明的一种方法,理解反证法 的思考过程,会用反证法证明数学问题. 教学重点:反证法的解题思想 教学难点:反证法的解题步骤. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转 2 枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原 因:偶次) 2. 提出问题: 平面几何中, 我们知道这样一个命题: “过在同

一直线上的三点 A、 B、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题? 3. 给出证法:先假设可以作一个⊙O 过 A、B、C 三点,
A

则 O 在 AB 的中垂线 l 上,O 又在 BC 的中垂线 m 上,
C

O

D

P B

即 O 是 l 与 m 的交点。 但 ∵A、B、C 共线,∴l∥m(矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆. 二、讲授新课: 1. 教学反证法概念及步骤: ① 练习:仿照以上方法,证明:如果 a>b>0,那么 a ? b ② 提出反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立. 证明基本步骤: 假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立 应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定 义、公理、定理、事实矛盾等). 方法实质: 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命 题与其逆否命题同真假, 通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题 真实.

1/4

注:结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题: ① 出示例 1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛盾? 与教材不同的证法:反设 AB、CD 被 P 平分,∵P 不是圆心,连结 OP, 则由垂径定理:OP?AB,OP?CD,则过 P 有两条直线与 OP 垂直(矛盾) ,∴不 被 P 平分. ② 出示例 2:求证 3 是无理数. 表示为 m / n ) 证:假设 3 是有理数,则不妨设 3 ? m / n (m,n 为互质正整数) , 从而: (m / n)2 ? 3 , m2 ? 3n2 ,可见 m 是 3 的倍数. 设 m=3p(p 是正整数) ,则 3n2 ? m2 ? 9 p 2 ,可见 n 也是 3 的倍数. 这样,m, n 就不是互质的正整数(矛盾). ∴ 3 ? m / n 不可能,∴ 3 是无理数. ③ 练习:如果 a ? 1 为无理数,求证 a 是无理数. 提示:假设 a 为有理数,则 a 可表示为 p / q ( p, q 为整数) ,即 a ? p / q . 由 a ? 1 ? ( p ? q) / q ,则 a ? 1 也是有理数,这与已知矛盾. 3.数学运用 一.用反证法证明否定性命题 例1 已知三个正数 a , b, c 成等比数列,但不成等差数列,求证: a , b , c 不 ∴ a 是无理数. ( 同上分析 → 板演证明,提示:有理数可

成等差数列. 证明:假设 a , b , c 成等差数列, 则 a ? c ? 2 b , 即 a ? c ? 2 ac ? 4b , 而 b 2 ? ac ,即 b ? ac ,

?

?

a? c

?

2

? 0 ,即 a ? c .

从而 a ? b ? c ,与 a , b, c 不成等差数列矛盾,故 a , b , c 不成等差数列. 点评:结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题的反面比较具体, 适用反证法.(2)反证法属于“间接解题的方法”书写格式易错之处是“假设”易错
2/4

写成“设”. 二、用反证法证明唯一性问题 例2 一点 A 和平面 ? .

求证:经过点 A 只能有一条直线和平面 ? 垂直. 证明:根据点 A 和平面 ? 的位置关系,分两种情况证明. (1)如图(1) ,点 A 在平面 ? 内,假设经过点 A 至少有平面 ? 的两条垂线 AB、 AC,那么 AB、AC 是两条相交直线,它们确定一个平面 ? ,平面 ? 和平面 ? 相 交于经过点 A 的一条直线 a . 因为 AB ? 平面 ? , AC ? 平面 ? , a ? ? ,所以 AB ? a, AC ? a ,在平面 ? 内经 过点 A 有两条直线都和直线 a 垂直,这与平面几何中经过直线 上一点只能有已 知直线的一条垂线相矛盾.

?

B

C

?

A

a

(2)如图(2) ,点 A 在平面 ? 外,假设经过点 A 至少有平面 ? 的两条垂线 AB 和 AC(B、C 为垂足) ,那么 AB、AC 是两条相交直线,它们确定一个平面 ? , 平面 ? 和平面 ? 相交于直线 BC,因为 AB ? 平面 ? , AC ? 平面 ? , AC ? a ,
BC ? ? ,所以 AB ? BC , AC ? BC .

在平面 ? 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂直, 这与平面几何中经过直线外一点 只能有已知直线的一条垂线相矛盾.综上,经过一点 A 只能有平面 ? 的一条垂线.

?

A C B

?

a
3/4

三、用反证法证明“至多”或“至少”类问题. 例3
2 已知 P 1, P 1 , q1 , q2 ? R ,且 P 1 p2 ? 2(q1 ? q2 ) ,求证:方程 x ? p1 x ? q1 ? 0 和

x 2 ? p2 x ? q2 ? 0 中,至少有一个方程有实根

证明:假设两个一元二次方程都没有实根,那么它们的判别式都小于零,即
??1 ? p12 ? 4q1 ? 0 ? p12 ? 4q1 2 ?? 2 ,? p2 ? p12 ? 4(q1 ? q2 ) ,把 P ? 1 p2 ? 2(q1 ? q2 ) 代入上 2 ? ? p ? 4 q ? 0 p ? 4 q ? 2 2 ? 2 2
2 式,得 p2 ? p12 ? 2 p1 p2 ? 0 ,即 ( p1 ? p2 )2 ? 0 。这与“任何实数的平方为非负数”相

矛盾,所以假设不成立。故这两个方程中,至少有一个方程有实根. 点评;对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时,常用反证 法. 常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表: 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有 n 个 至多有 n ? 1 个 至多有 n 个 至少有 n ? 1

总结归纳:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而 说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围(“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、 “任何”、“唯一”等特征的问题) 课后练习:设 a , b, c 均为实数,且 a ? x 2 ? 2 y ? 求证: a , b, c 中至少有一个大于零.

?
2

, b ? y2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6



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