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2014二次函数图象中的“对称性'



y

x

温故而知新
若二次函数y=ax? +bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图
象如下:
b x?? 2a (用a、b表示) ①此函数的对称轴为直线_________
C

②若函数图象与X轴相交于点A(1,0), B( 5,0),则对称轴可表示为直线 x=3 ; __

_____ ③若函数图象与X轴相交于点A(x1,0), x ? x 1 2 ? ; B( x2,0),则对称轴可表示为直线x ____ ④点A、B 关于_______ 对称; ⑤抛物线上还存在这样的一对点吗? ⑥若点(x1, n),( x1 ? x2 可表示为_______ x?

2

D

x2 , n)在抛物线上,则抛物线的对称轴

1、结论: 设A(x1,0),B (x2,0)是抛物线与x轴的两个交点,则 x1 ? x2 抛物线的对称轴为直线 x ? 2 2、推广: 设A(x1,ya),B (x2,yb)是抛物线上的两点,且ya=yb,则 x1 ? x2 抛物线的对称轴为直线 x? 2

在抛物线上,关于对称轴对称的两个点的特征

纵坐标相等

3、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是
A(x1,0),且其对称轴是x=m,则另一个交点B的坐

标可以用x1、m表示出来(注:应由A、B两点处
在对称轴的左右情况而定,在应用时要画出图象)

x1 ? x 2 ?m 2

x2=2m-x1 x2=2m-x1

4、抛物线上两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2), 若有y1=y2,则P1,P2两点是关于抛物线对称轴 对称的点,0与x1+x2关于 对称轴 对称 如图:

b ( x1 ? x 2 ) ? 0 x?? ? 2a 2

巧用“对称性”

化繁为简

抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示,该抛物线 在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是 ______ (1,0)

(一)求点的坐标(函数值)
1、如图,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点,

B的坐标为(

( 2 ? 3 ,0) 3 ,0),则点A的坐标是______

2、已知关于x的方程ax2+bx+c=3的一个根为

x1=2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线是x=2,
则抛物线的顶点坐标是(C )

A.(2,-3 )

B.(2,1)

C.(2,3)

D.(3,2)

3、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示, 那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是( B ) A.(0.5,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(3,0)

b 2a x?? ?? ? ?1 2a 2a

4、已知A(x1,2013),B(x2,2013)是二次函数 y=ax2+bx+5(a≠0)的图象上两点,则当x=x1+x2时, 二次函数的值是( D )
2 b2 2 b A. 5- B、5+ 4a a x2 ? x2 A( ,0) 2 B(x1+x2,0)

C. 2013

D. 5

点O与点B关于点A对称 b 即:0与x1+x2关于 ? 对称。 2a

A B

5、若二次函数y=ax2+c ,当 x 取x1 ,x2 (x1 ≠x2 )时,函数值相等,则当x取 x1 +x2 时,函数值为( D ) A、a+c B、a-c C、-c D、 c
b 0与x1+x2关于 ? 对称。 2a

6、抛物线y=ax? +bx+c经过点A(-2,7), B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8 的另一点坐标是(1 ____ ,-8)
对于抛物线 函数值相等,那么x取 ,自变量 取时 , + 的函数值等于 c

即x =0时函数值相等

(二)求方程的根
1、已知二次函数y=ax? +bx+c(a≠0)的顶点 坐标为(-1,-3.2)及部分图象如图,由图象 可知关于x的一元二次方程ax? +bx+c=0的两根 分别为x1=1.3,x2=_____ -3.3

2、已知抛物线 y= a(x-1)2+h(a≠0)与x 轴 交于A(x1,0)、B(3,0) 两点,则线段AB的长度 为( D ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

x1 ? 3 ? 1, x1 ? ?1 2

(三)求代数式的值(函数值) 1、抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是 直线 x=1 ,且经过点 P(3,0),则a-b+c 的值为 ( A ) A. 0 B. -1 C. 1 D. 2
若将对称轴改为直线x=2,其余条件不变, 则 a+b+c= 0 . 2、若y=ax2+5 与x轴两交点分别为(x1 ,0), (x2 ,0) ,则当x=x1 +x2时,y值为____ 5

(四)求函数解析式 1、已知抛物线y=ax? +bx+c的对称轴为直线 x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该 抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为(-1,0) _____;
1 2 5 函数解析式为 y ? ? 2 x ? 2 x ? 。 2

2、已知二次函数的图像经过A(-1,0)、 B(3,0),且函数有最小值-8,试求 二次函数解析式. y=2x2-4x-6 对称轴x=1 设解析式为y=a(x+1)(x-3) 或y=a(x-1)2-8

(五)比较函数值的大小 1、小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上, 依横坐标找到三点(-1,y1),(0.5,y2 ),(-3.5,y3) 则你认为y1,y2,y3的大小关系应为( D ) A、y1>y2>y3 B、y2>y3>y1 C、y3>y1>y2 D、y3>y2>y1 离对称轴越近 函数值越小

2、设A(-2, y1)、B(1, y2)、C(2, y3)是抛物线 y= -(x+1)2+m上的三点,则 y1、y2、y3的大小 关系为( A ) A.y1>y2>y3 B. y1>y3 >y2 C. y3>y2>y1 D. y3>y1>y2

离对称轴越近 函数值越大

离对称轴越近 函数值越小

(六)判断命题的真伪 1、如图函数 y=x2-x+m(m为常数)的图象 如图,如果x= a 时,y<0;那么x= a-1时, 函数值( C ) A. y < 0 B.0<y<m C. y > m D.y=m ∴a-1<0

1 2
m

∴y>m

a

1

2、老师出示了小黑板上的题后(如图),小华说: 过点(3,0);小彬 说:过点(4,3);小明说:a=1; 小颖说:抛物线被x轴截 得的线段长为2.你认为 四人的说法中,正确的有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 已知抛物线 y=ax2+bx+3 与x轴交于(1,0).试添加 一个条件,使它的对称 轴为直线x=2.
抛物线过(1,0),(3,0) ∴(1+3) ÷2=2.小华正确 a=1时, 0=1+b+3,b=-4 b ? ? 2 小明正确 2a 被x轴截 得的线段长为2 ∴抛物线过(1,0)、(-1,0) 或过(1,0)、(3,0) 小颖错误

抛物线过(0,3),(4,3) ∴(0+4) ÷2=2.小彬正确

“将军饮马”

问题

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:

“ 白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”

作点A关于河流的对称点A′ A′B交河流于点P 则AP+BP=A′B最短

巧用“对称性” 求距离和差最
2+bx-2与x轴交于A,B两 如图 , 抛物线 y = 0.5 x 值 点,与y轴交于C点,顶点为D,且A(-1,0).若点 M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值 最小时,求m的值.

若点N(n,0)是对称轴上的一个动点,当NA+NC 的值最小时,求n的值.

在抛物线的对称轴上是否存在点Q, 使得△ACQ周长最小?

在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P到 B、C两点距离之差最大?

感悟与反思
1、抛物线是轴对称图形,充分利用对称轴的方程 x=(x1+x2)/2,注意数形结合思想. 2、在求线段和最小或者差最大问题时,先将问题转 化为基本的几何模型,再利用轴对称性的知识来解 决问题.

祝同学们:明年中考 取得圆满成功!



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