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解答题专项训练-极坐标与参数方程



百色祈福高级中学数学组-2015 年 3 月

解答题专项训练
选修 4—4:坐标系与参数方程 一、参数方程与普通方程的互化 1、(2014 年课标卷Ⅰ)已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小 值.
o

2、(2009 年课标全国卷) 已知曲线 C 1 : ? ( ? 为参数) 。

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (t 为参数) , C 2 :? ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?

?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t

(t 为参数)距离的最小值。

? x ? cos ? 3、 (2011 年辽宁卷)在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) , ? y ? sin ? ? x ? a cos ? 曲线 C2 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , ? 为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴 ? y ? b sin ?
为极轴的极坐标系中,射线 l:θ= ? 与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个交点间的 距离为 2,当 ? =

?
2

时,这两个交点重合.

(I)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =

?
4

时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? = ?

?
4

时,l 与 C1,C2 的交点

为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

1

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二、极坐标方程与普通方程的互化 4、(模拟题)在平面直角坐标系 x O y 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? cos? , (1)求曲线 C 的直角坐标方程;

? 2 t, ?x ? 2 ? ? 2 (t 为参数) (2)若直线 l 的参数方程为 ? ,直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点, 2 ?y ? t ? ? 2
求|AB|的值。

三、极坐标方程与参数方程的互化 5、(2014 年课标卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,半圆 C 的极坐标方程为ρ =2cosθ ,θ ∈[0, (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的 参数方程,确定 D 的坐标. π ]. 2

2

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四、直线与圆相交 6、(模拟题)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 过点 P(0,

1 ? ),且倾斜角为 150 ,以坐标 2

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 0 (? 为参数, ? ? 0) (1)写出直线 l 的参数方程和圆 C 的直角坐标方程。 (2)直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,求 |PA|?|PB| 的值。

7、在平面直角坐标系 x O y 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲

? 3 x ? ?2 ? t, ? ? 2 (t 为参数),直线 l 与曲线 线 C 的参数方程为 ? ? 4cos ? ,直线 l 的方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2
C 的公共点为 T (1)求点 T 的极坐标 (2)过点 T 作直线 l ? , l ? 被曲线 C 截得的线段长为 2,求直线 l ? 的极坐标方程。

五、直线与圆相离 8、(模拟题)在平面直角坐标系 x O y 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系。 已知点 M 的极坐标为 (4 2,

?

? ? x ? 1 ? 2 cos ? , ), 曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) 4 ? ? y ? 2 sin ?

(1)求直线 OM 的直角坐标方程; (2)求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值。 (3)求曲线上的点到直线 x ? y ? 5 ? 0 的距离的最大最小值。

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六、圆与圆相交 9、(2013 年课标卷Ⅰ)已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为 ? y ? 5 ? 5sin t

极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

10、(2007 年课标全国卷)⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? 。 (Ⅰ)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程。

11、 (2012 年辽宁卷) 在直角坐标系 x O y 中, 圆 C1 :x ? y ? 4 , 圆 C2 :( x ? 2) ? y ? 4 。
2 2 2 2

(Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求出 C1与C2 的公共弦的参数方程。

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七、直线与椭圆、抛物线相交

? ?x ? 2 ? ? ? 12、(模拟题)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 的参数方程为 ? y ? 1? ? ?

2 t 2 , 2 (t 为参数) t 2

在极坐标系(与直角坐标系 x O y 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为 极轴)中,曲线 C 的方程为 ? ?
2

12 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 与直线 l 交于 A、B 两点,若点 P 的坐标为(2,1) ,求 PA ? PB

八、直线与椭圆、抛物线相离 13、 (模拟题)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,曲线 C 的参数方 程为 ?

? ? x ? 3 cos ? , (? 为参数) , ? ? y ? sin ?

(1)已知在极坐标(与直角坐标系 x O y 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴 正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4,

? ) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2

(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值,并求出此时 Q 点的坐 标。

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九、图像变换

? x ? cos ? 14 、 (2008 年 课 标 全 国 卷 ) 已 知 曲 线 C1 : ? (? 为参数) , 曲 线 C2 : ? y ? sin ?
? ?x ? ? ? ?y ? ? ? 2 t? 2 2 (t为参数) 。 2 t 2

(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2) 若把 C1, C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半, 分别得到曲线 C1 ' ,C2 ' 。 写出 C1 ' ,

C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理
由。

15、 (2014 年辽宁卷) 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的 2 倍,
2 2

得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐 标建立极坐标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

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十、求轨迹方程 16、(2013 年课标卷Ⅱ)已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos t , (t 为参数)上,对应参数分 ? y ? 2sin t

别为 t=α 与 t=2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

17、 (2011 年课标全国卷) 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? (? ? y ? 2 ? 2sin ?

为参数)M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

?
3

与 C1 的异于极点的交

18、(2010 年课标全国卷) 已知直线 C1 ? 数) , (Ⅰ)当 ? =

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参 ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹 的参数方程,并指出它是什么曲线。

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十一、求点的直角坐标或极坐标 19、(2012 年课标全国卷)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为 ?y ? 3sin?

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

20、(2010 年辽宁卷)已知 P 为半圆 C: ?

? x ? cos ? , ( ? 为参数,0 ? ? ? ? )上的点,点 A y ? sin ? ?

的坐标为 (1,0) , O 为坐标原点, 点 M 在射线 OP 上, 线段 OM 与 C 的弧 AP 的长度均为 (1)以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标。 (2)求直线 AM 的参数方程。

? 。 3

21、 (2013 年辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sin θ, ? cos ? ? ? (1)求 C1 与 C2 交点的极坐标;

? ?

π? ? =2 2 . 4?

? x ? t 3 ? a, ? (2)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点. 已知直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 (t ? y ? t ?1 ? 2
∈R 为参数),求 a,b 的值.

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