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【大高考】(五年高考)2016届高考数学复习 第九章 第六节 直线与圆锥曲线的位置关系 文(全国通用)



第六节

直线与圆锥曲线的位置关系

考点 直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2015·四川,10)设直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,与圆(x-5) +y =r (r >0)相切于点 M, 且 M 为线段 AB 的中点, 若这样的直线 l 恰有 4 条, 则 r 的取值范围是( A.(1,3) B.(1,4) C.(2,

3) D.(2,4) )
2 2 2 2

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 则?
?y1=4x1, ? ? ?y2=4x2,
2 2

相减得(y1+y2)(y1-y2)=

4(x1-x2), 当 l 的斜率不存在时,符合条件的直线 l 必有两条; 当 l 的斜率存在时,x1≠x2,则有 即 y0·k=2, 由 CM⊥AB 得 k· ∴x0=3, 即 M 必在直线 x=3 上,将 x=3 代入 y =4x,得 y =12,有-2 3<y0<2 3, ∵点 M 在圆上,∴(x0-5) +y0=r ,r =y0+4<12+4=16, 又 y0+4>4,∴4<r <16,∴2<r<4,故选 D.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

y1+y2 y1-y2 · =2, 2 x1-x2

y0-0 =-1,y0k=5-x0,2=5-x0, x0-5

答案 D 1 2 x 2 2.(2013·山东,11)抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点与双曲线 C2: -y =1 的右焦点的 2p 3 连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于( )
2

1

A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3 3 x, 3

解析 设抛物线焦点 A?0, ?,双曲线右焦点为 B(2,0),双曲线渐近线方程为 y=± 2

? ?

p?

?

1 ? ?y= x2, 2 p 直线 AB 方程为 px+4y-2p=0,由? ? ?px+4y-2p=0, 得 M 点横坐标为 xM -p + p +16p = , 4 1 又 y′= x,
2 4 2

p

1 3 ∴ xM= ,又 p>0, p 3 -p+ p +16 3 ∴ = , 4 3 4 3 4 3 2 即 p +16= +p,平方可解得 p= . 3 3 答案 D 3. (2012·浙江, 8)如图, 中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,
2

M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与
椭圆的离心率的比值是( A.3 B.2 C. 3 D. 2 )

解析 设椭圆长半轴的长为 a(a>0),则双曲线实半轴的长为 ,由于双曲线与椭圆共焦点, 2 2c

a

c 2c c e1 a 设焦距为 2c,所以双曲线的离心率 e1= = ,椭圆的离心率 e2= ,所以 = =2,故选 a a a e2
2 B. 答案 B 4.(2015·天津,19)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的上顶点为 B, 左焦点为 F,离心率为 (1)求直线 BF 的斜率; (2)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B), 过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q(Q 异 于点 B),直线 PQ 与 y 轴交于点 M,|PM|=λ |MQ|. ①求 λ 的值;

c a

x2 y2 a b

5 . 5

2

7 5 ②若|PM|sin∠BQP= ,求椭圆的方程. 9 解 (1)设 F(-c, 0). 由已知离心率 =

c a

5 2 2 2 及 a =b +c , 可得 a= 5c, b=2c, 又因为 B(0, 5

b),F(-c,0), b-0 2c 故直线 BF 的斜率 k= = =2. 0-(-c) c
(2)设点 P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM).

x2 y2 ①由(1)可得椭圆的方程为 2+ 2=1,直线 BF 的方程为 y=2x+2c.将直线方程与椭圆方 5c 4c
5c 2 程联立,消去 y,整理得 3x +5cx=0,解得 xP=- . 3 1 2 因为 BQ⊥BP,所以直线 BQ 的方程为 y=- x+2c,与椭圆方程联立,消去 y,整理得 21x 2 40c -40cx=0,解得 xQ= . 21 |PM| 又因为 λ = ,及 xM=0, |MQ| |xM-xP| |xP| 7 可得 λ = = = . |xQ-xM| |xQ| 8 |PM| 7 ②由①有 = , |MQ| 8 |PM| 7 7 所以 = = , |PM|+|MQ| 7+8 15 15 即|PQ|= |PM|. 7 7 5 又因为|PM|sin∠BQP= , 9 所以|BP|=|PQ|sin∠BQP 15 5 5 = |PM|sin∠BQP= . 7 3 4 又因为 yP=2xP+2c=- c, 3 所以|BP|=

?0+5c? +?2c+4c? =5 5c, ? ? 3? 3? 3 ? ? ? ?

2

2

5 5 5 5 因此 c= ,得 c=1. 3 3 所以,椭圆方程为 + =1. 5 4 5.(2015·北京,20)已知椭圆 C:x +3y =3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的直线与椭 圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M.
3
2 2

x2 y2

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由. 解 (1)椭圆 C 的标准方程为 +y =1, 3 所以 a= 3,b=1,c= 2. 所以椭圆 C 的离心率 e= =

x2

2

c a

6 . 3

(2)因为 AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴,所以可设 A(1,y1),B(1,-y1), 直线 AE 的方程为 y-1=(1-y1)(x-2), 令 x=3,得 M(3,2-y1), 2-y1+y1 所以直线 BM 的斜率 kBM= =1. 3-1 (3)直线 BM 与直线 DE 平行,证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)可知 kBM=1. 又因为直线 DE 的斜率 kDE= 当直线 AB 的斜率存在时, 设其方程为 y=k(x-1)(k≠1), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 AE 的方程为 y-1= 令 x=3,得点 M?3,
2 2

1-0 =1,所以 BM∥DE, 2-1

y1-1 (x-2). x1-2

? ?

y1+x1-3? , x1-2 ? ?

? ?x +3y =3, 2 2 2 2 由? 得(1+3k )x -6k x+3k -3=0, ?y=k(x-1), ?

6k 3k -3 所以 x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+3k 1+3k

2

2

y1+x1-3 -y2 x1-2 直线 BM 的斜率 kBM= , 3-x2
因为 kBM-1=

k(x1-1)+x1-3-k(x2-1)(x1-2)-(3-x2)(x1-2) (3-x2)(x1-2)
(k-1)[-x1x2+2(x1+x2)-3] = (3-x2)(x1-2)

4



3 12k ?-3k + ? (k-1)? 2 + 2-3? 1+3k ? 1+3k ? (3-x2)(x1-2)

2

2

=0,

所以 kBM=1=kDE.所以 BM∥DE, 综上可知,直线 BM 与直线 DE 平行. 6.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + 2=1(a>b>0)的离心率为 为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C, 若 PC=2AB,求直线 AB 的方程. 解 (1)由题意,得 =

x2 a2

y2 b

2 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离 2

c a

2 a 且 c+ =3, 2 c

2

解得 a= 2,c=1,则 b=1, 所以椭圆的标准方程为 +y =1. 2 (2)当 AB⊥x 轴时,AB= 2, 又 CP=3,不合题意. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 将 AB 的方程代入椭圆方程, 得(1+2k )x -4k x+2(k -1)=0, 2k ± 2(1+k ) 则 x1,2= , 2 1+2k
2 2 2 2 2 2

x2

2

C 的坐标为?

? 2k 2, -k 2?,且 ? ?1+2k 1+2k ?
2

2

AB= (x2-x1)2+(y2-y1)2
2 2(1+k ) 2 2 = (1+k )(x2-x1) = . 2 1+2k 若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k≠0,故直线 PC 的方程为 2k ? 1? y+ 2?, 2=- ?x- 1+2k k? 1+2k ?

k

2

则 P 点的坐标为?-2,

? ?

5k +2 ? , k(1+2k2)? ?

2

5

2(3k +1) 1+k 从而 PC= . 2 |k|(1+2k ) 因为 PC=2AB, 2(3k +1) 1+k 4 2(1+k ) 所以 = , 2 2 |k|(1+2k ) 1+2k 解得 k=±1. 此时直线 AB 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 7.(2015·湖北,22)一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,
2 2 2

2

2

MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系.
(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 设动直线 l 与两定直线 l1:x-2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点,试探究:△OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该 最小值;若不存在,说明理由.

解 (1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4, 当 M,N 在 x 轴上时,等号成立; 同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2, 当 D,O 重合,即 MN⊥x 轴时,等号成立. 所以椭圆 C 的中心为原点 O,长半轴长为 4,短半轴长为 2,其方程为 + =1. 16 4 (2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x=4 或 x=-4,都 1 有 S△OPQ= ×4×4=8. 2 ②当直线 l 的斜率存在时, 1? ? 设直线 l:y=kx+m?k≠± ?, 2? ?

x2

y2

6

由?

?y=kx+m, ?
2 2

? ?x +4y =16,

消去 y,可得(1+4k ) x +8kmx+4m -16=0.

2 2 2

2

因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 所以 Δ =64k m -4(1+4k )(4m -16)=0, 即 m =16k +4.① 又由?
? ?y=kx+m,
2 2 2 2 2 2

? 2m , m ?; 可得 P? ? ?1-2k 1-2k? ?x-2y=0, ? ? -2m , m ?. ? ?1+2k 1+2k?
|m| 1 1 2 和|PQ|= 1+k |xP-xQ|,可得 S△OPQ= |PQ|·d= 2 2 1+k
2 2

同理可得 Q?

由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d=

1 ? 2m + 2m ?=? 2m 2?.② |m||xP-xQ|= ·|m|·? ? ? ? 2 ?1-2k 1+2k? ?1-4k ?

? 2m 2?=8|4k +1|. 将①代入②得,S△OPQ=? ? ?1-4k ? |4k2-1|
2 ? 1 ?4k +1? ? 当 k > 时,S△OPQ=8? 2 ?=8?1+ 2 ?>8; 4 ?4k -1? ? 4k -1?
2 2

2

2

?4k +1 ? 2 1 当 0≤k < 时,S△OPQ=8? 2?= 4 ?1-4k ?
2 ? ? 8?-1+ 2?. 1-4k ? ? 2 2 1 2 因 0≤k < ,则 0<1-4k ≤1, 2≥2, 4 1-4k 2 ? ? 所以 S△OPQ=8?-1+ 2?≥8, 1 - 4k ? ? 当且仅当 k=0 时取等号. 所以当 k=0 时,S△OPQ 的最小值为 8. 综合①②可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值 8. 8.(2015·山东,21) 平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 为 1? 3 ? ,且点? 3, ?在椭圆 C 上. 2? 2 ?

2

x2 y2 a b

(1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 (2)设椭圆 E: 2+ 2=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A, 4a 4b B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.
|OQ| (ⅰ)求 的值; |OP|
7

(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值. 3 1 解 (1)由题意知 2+ 2=1. a 4b 又

a2-b2 3 = , a 2
2 2

解得 a =4,b =1. 所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为

x2

2

x2
16

+ =1. 4

y2

|OQ| (ⅰ)设 P(x0,y0), =λ , |OP| 由题意知 Q(-λ x0,-λ y0). 因为 +y0=1, 4 (-λ x0) (-λ y0) 又 + =1, 16 4 λ ?x0 2? 即 ? +y0?=1, 4 ?4 ? |OQ| 所以 λ =2,即 =2. |OP| (ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得(1+4k )x +8kmx+4m -16=0, 由 Δ >0,可得 m <4+16k ,① 8km 则有 x1+x2=- 2, 1+4k 4m -16 x1x2= 2 . 1+4k 4 16k +4-m 所以|x1-x2|= . 2 1+4k 因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m), 所以△OAB 的面积
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 0

2

S= |m||x1-x2|
2 16k +4-m |m| = 2 1+4k 2 (16k +4-m )m = 2 1+4k
2 2 2 2 2 2

1 2

=2

?4- m 2? m . ? 1+4k ?1+4k2 ? ?
8

2



m2
1+4k

2

=t,

将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程, 可得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0, 由 Δ ≥0,可得 m ≤1+4k .② 由①②可知 0<t≤1, 因此 S=2 (4-t)t=2 -t +4t, 故 S≤2 3, 当且仅当 t=1,即 m =1+4k 时取得最大值 2 3. 由(ⅰ)知,△ABQ 面积为 3S, 所以△ABQ 面积的最大值为 6 3. 9.(2015·湖南,20)已知抛物线 C1 :x =4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 2+ 2=1(a>b>0)的一 个焦点.C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于
2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2 x2 a b

C,D 两点,且AC与BD同向.
(1)求 C2 的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. 解 (1)由 C1:x =4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1).因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点,所以 a -b =1.① 又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x =4y,由此易知 3? 9 6 ? C1 与 C2 的公共点的坐标为?± 6, ?,所以 2+ 2=1.② 2? 4a b ? 联立①,②得 a =9,b =8. 故 C2 的方程为 + =1. 9 8 (2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). → → → → 因AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD, 从而 x3-x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4, 于是(x1+x2) -4x1x2=(x3+x4) -4x3x4.③ 设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 由?
?y=kx+1, ? ? ?x =4y
2 2 2 2 2 2 2 2 2

→ →

y2 x2

得 x -4kx-4=0.
9

2

而 x1,x2 是这个方程的两根, 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4.④

y=kx+1, ? ? 2 2 2 2 由?x y 得(9+8k )x +16kx-64=0. + =1 ? ?8 9
而 x3,x4 是这个方程的两根, 16k 64 所以 x3+x4=- 2,x3x4=- 2,⑤ 9+8k 9+8k 16 k 4×64 2 将④,⑤代入③,得 16(k +1)= 2 2+ 2, (9+8k ) 9+8k 16 ×9(k +1) 即 16(k +1)= , 2 2 (9+8k )
2 2 2 2 2

所以(9+8k ) =16×9,解得 k=± 即直线 l 的斜率为± 6 . 4

2 2

6 , 4

10. (2014·山东, 21)在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 4 10 直线 y=x 被椭圆 C 截得的线段长为 . 5 (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 a b

3 , 2

(2)过原点的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点(A,B 不是椭圆 C 的顶点).点 D 在椭圆 C 上,且

AD⊥AB,直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点.
①设直线 BD,AM 的斜率分别为 k1,k2.证明:存在常数 λ 使得 k1=λ k2,并求出 λ 的值; ②求△OMN 面积的最大值. 解 (1)由题意知

a2-b2 3 2 2 = ,可得 a =4b . a 2
2 2 2

椭圆 C 的方程可简化为 x +4y =a . 将 y=x 代入可得 x=± 因此 2× 5a , 5

2 5a 4 10 = ,可得 a=2. 5 5

因此 b=1.

10

所以椭圆 C 的方程为 +y =1. 4 (2)①设 A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2), 则 B(-x1,-y1), 因为直线 AB 的斜率 kAB= , 又 AB⊥AD,所以直线 AD 的斜率 k=- . 设直线 AD 的方程为 y=kx+m, 由题意知 k≠0,m≠0.

x2

2

y1 x1

x1 y1

y=kx+m, ? ? 2 2 2 2 由?x 可得(1+4k )x +8mkx+4m -4=0. 2 + y = 1 ? ?4
8mk 所以 x1+x2=- 2, 1+4k 因此 y1+y2=k(x1+x2)+2m= 由题意知 x1≠-x2, 所以 k1= 2m 2. 1+4k

y1+y2 1 y1 =- = . x1+x2 4k 4x1 y1 (x+x1). 4x1

所以直线 BD 的方程为 y+y1=

令 y=0,得 x=3x1,即 M(3x1,0). 可得 k2=- . 2x1

y1

1 1 所以 k1=- k2,即 λ =- . 2 2 1 因此存在常数 λ =- 使得结论成立. 2 ②直线 BD 的方程 y+y1= 3 令 x=0,得 y=- y1, 4 3 ? ? 即 N?0,- y1?.由①知 M(3x1,0), 4 ? ? 可得△OMN 的面积

y1 (x+x1), 4x1

S= ×3|x1|× |y1|= |x1||y1|.
|x1| 2 9 2 因为|x1||y1|≤ +y1=1,当且仅当 =|y1|= 时等号成立,此时 S 取得最大值 , 4 2 2 8

1 2

3 4

9 8

x2 1

11

9 所以△OMN 面积的最大值为 . 8 11.(2014·江西,20)如图,已知抛物线 C:x =4y,过点 M(0,2) 任作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线
2

AO 相交于点 D(O 为坐标原点).
(1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y=2 相交于点 N1, 与(1)中的定直线相交于点 N2,证明:|MN2| -|MN1| 为定值,并求此定值. 证明 (1)依题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代入 x =4y,得 x =4(kx+2),即 x -4kx-8 =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 x1x2=-8, 直线 AO 的方程为 y= x;BD 的方程为 x=x2. 解得交点 D 的坐标为?
2 2 2 2 2 2

y1 x1 ?x=x2,

?

y= . ? x1 ?

y1x2

注意到 x1x2=-8 及 x1=4y1, 则有 y=

y1x1x2 -8y1 = =-2, x2 4y1 1

因此 D 点在定直线 y=-2(x≠0)上. (2)依题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax +b(a≠0),代入 x =4y 得 x =4(ax+b), 即 x -4ax-4b=0, 由 Δ =0 得(4a) +16b=0,化简整理得 b=-a . 故切线 l 的方程可写为 y=ax-a . 分别令 y=2、y=-2 得 N1、N2 的坐标为
2 2 2 2 2 2

? ? ? ? N1? +a,2?,N2?- +a,-2?, ?a ? ? a ?
2 2 2 2 ?2 ? ?2 ? 2 2 2 则|MN2| -|MN1| =? -a? +4 -? +a? =8,

?a

?

?a

?

即|MN2| -|MN1| 为定值 8. 12.(2014·北京,19)已知椭圆 C:x +2y =4.
2 2

2

2

12

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点.若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最 小值. 解 (1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a =4,b =2,从而 c =a -b =2. 因此 a=2,c= 2. 故椭圆 C 的离心率 e= =
2 2 2 2 2

x2 y2

c a

2 . 2

(2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. 2y0 → → 因为 OA⊥OB,所以OA·OB=0,即 tx0+2y0=0,解得 t=- .

x0

又 x0+2y0=4, 所以|AB| =(x0-t) +(y0-2) 2y0?2 ? 2 =?x0+ ? +(y0-2)
2 2 2

2

2

?

x0 ?

4y0 2 2 =x0+y0+ 2 +4

2

x0
2

=x0+
2

2

4-x0 2(4-x0) + +4 2 x2 0

2

x0 8 2 = + 2+4(0<x0≤4). 2 x0
8 2 2 2 因为 + 2≥4(0<x0≤4),且当 x0=4 时等号成立,所以|AB| ≥8. 2 x0 故线段 AB 长度的最小值为 2 2. 13.(2013·安徽,21)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,且过点 P( 2, 3). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q(x0, y0), (x0y0≠0)为椭圆 C 上一点, 过点 Q 作 x 轴的垂线, 垂足为 E.取点 A(0, 2 2), 连接 AE.过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG.问这 样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由. 2 3 2 2 解 (1)因为焦距为 4,所以 a -b =4,又因为椭圆 C 过点 P( 2, 3),所以 2+ 2=1,故

x2 0

x2 y2 a b

a

b

x y a2=8,b2=4,从而椭圆 C 的方程为 + =1.
8 4 (2)一定有唯一的公共点,理由如下:

2

2

13

→ → 由题意,E 点坐标为(x0,0).设 D(xD,0),则AE=(x0,-2 2),AD=(xD,-2 2). → → 再由 AD⊥AE 知,AE·AD=0, 即 xDx0+8=0. 8 由于 x0y0≠0,故 xD=- .

x0

因为点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,

?8 ? 所以点 G? ,0?. ?x0 ?
故直线 QG 的斜率 kQG=

y0
8



x0- x0

x0y0 . x2 0-8
2 2

又因 Q(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 x0+2y0=8.① 从而 kQG=- . 2y0

x0

x0 8 故直线 QG 的方程为 y=- (x- ).② 2y0 x0
将②代入椭圆 C 方程,得 (x0+2y0)x -16x0x+64-16y0=0.③ 再将①代入③, 化简得 x -2x0x+x0=0. 解得 x=x0,y=y0, 即直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点.
2 2 2 2 2 2

14



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