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【优化方案】2014届高考数学8.4 直线与圆锥曲线的位置关系 课时闯关(含答案解析)



一、选择题 x2 y2 1.(2013· 福州模拟)已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A, 16 9 B 两点.在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:选 A.根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16 -10=6. 2.(2011· 高考大纲全国卷)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB=( ) 4 3 A. B. 5 5 3 4 C.- D.- 5 5 ?y=2x-4, ?x=1 ?x=4, ? ? ? 解析:选 D.法一:由? 2 得? 或? ? ? ? ?y =4x, ?y=-2 ?y=4. 令 B(1,-2),A(4,4),又 F(1,0),∴由两点间距离公式得|BF|=2,|AF|=5,|AB|=3 5. |BF|2+|AF|2-|AB|2 4+25-45 4 ∴cos∠AFB= = =- . 2|BF|· |AF| 5 2×2×5 法二:由法一得 A(4,4),B(1,-2),F(1,0), → → ∴FA=(3,4),FB=(0,-2), → → ∴|FA|= 32+42=5,|FB|=2. →→ FA· FB 3×0+4×?-2? 4 ∴cos∠AFB= = =- . 5 → |·→ | 5×2 |FA |FB

y2 3.已知曲线 C1 的方程为 x2- =1(x≥0,y≥0),圆 C2 的方程为(x-3)2+y2=1,斜率 8 为 k(k>0)的直线 l 与圆 C2 相切,切点为 A,直线 l 与曲线 C1 相交于点 B,|AB|= 3,则直线 AB 的斜率为( ) 3 1 A. B. 3 2 C.1 D. 3 2 ?a2-b =1 ? 8 解析:选 A.设 B(a,b),则由题意可得? ,

? ??a-3?2+b2=3+1

?a=1 ? 解得? .则直线 AB 的方程为 y=k(x-1), ? ?b=0 |3k-k| 3 3 故 2=1,∴k= 3 或 k=- 3 (舍去). 1+k 4.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3

C.

3+1 2

D.

5+1 2

x2 y2 解析:选 D.设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方 a b b b b b 程为 y= x,而 kBF=- ,∴ · )=-1,整理得 b2=ac. (- a c a c ∴c2-a2-ac=0,两边同除以 a2,得 e2-e-1=0, 1+ 5 1- 5 解得 e= 或 e= (舍去),故选 D. 2 2 5.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 3 6 4 5 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 6 3 5 4 0+15 解析:选 B.∵kAB= =1,∴直线 AB 的方程为 y=x-3. 3+12 由于双曲线的焦点为 F(3,0),∴c=3,c2=9. x2 y2 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 2 x2 ?x-3? 把 y=x-3 代入双曲线方程,则 2- =1. 2 a b 2 2 2 2 2 2 2 整理,得(b -a )x +6a x-9a -a b =0. 6a2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 2=2×(-12), a -b 2 2 2 2 2 2 ∴a =-4a +4b ,∴5a =4b .又 a +b2=9, x2 y2 2 2 ∴a =4,b =5.∴双曲线 E 的方程为 - =1. 4 5 二、填空题 1 x2 y2 6.(2011· 高考江西卷)若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点?1,2?作圆 x2+y2=1 的 ? ? a b 切线, 切点分别为 A, 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, B, 则椭圆方程是________. 解析:由题意可得切点 A(1,0). 1 n- 2 m 3 4 切点 B(m,n)满足 m-1=- n ,解得 B?5,5?. ? ?

? ? ?m +n =1,
2 2

∴过切点 A,B 的直线方程为 2x+y-2=0. 令 y=0 得 x=1,即 c=1;令 x=0 得 y=2,即 b=2. x2 y2 ∴a2=b2+c2=5,∴椭圆方程为 + =1. 5 4 x2 y2 答案: + =1 5 4 1 7.(2013· 广西梧州高三检测)设点 F 为抛物线 y=- x2 的焦点,与抛物线相切于点 P(- 4 4,-4)的直线 l 与 x 轴的交点为 Q,则∠PQF 的值是________.

1 解析:∵y′=- x, 2 ∴kPQ=y′|x=-4=2, ∴直线 PQ 的方程为 y+4=2(x+4). 令 y=0,得 x=-2,∴点 Q(-2,0). 1 又∵焦点 F(0,-1),∴kFQ=- , 2 π ∴kPQ·FQ=-1,∴∠PQF= . k 2 π 答案: 2 8.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D, → → 且BF=2FD,则 C 的离心率为________.

解析:法一:如图,设椭圆 C 的焦点在 x 轴上, B(0,b),F(c,0),D(xD,yD), → → 则BF=(c,-b),FD=(xD-c,yD), → → ∵BF=2FD, 3c xD= , ?c=2?xD-c?, 2 ? ∴? ∴ b ? ?-b=2yD, yD=- . 2 3c b ? ?2 ?- ?2 2 2 1 3 ∴ 2 + 2 =1,即 e2= ,∴ e= . a b 3 3 法二:设椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 如图,B(0,b),F(c,0),D(xD,yD), 则|BF|= b2+c2=a.作 DD1⊥y 轴于点 D1, |OF| |BF| 2 → → 则由BF=2 FD,得 = = , |DD1| |BD| 3 3 3 ∴|DD1|= |OF|= c, 2 2 3c 即 xD= .由椭圆的第二定义 2 a2 3c 3c2 得|FD|=e( - )=a- . c 2 2a 3c2 又由|BF|=2|FD|,得 a=2a- , a 2 c 1 1 3 整理得 2= ,即 e2= .∴e= . a 3 3 3 3 答案: 3

? ? ?

三、解答题 9. 已知抛物线 C 的方程为 y2=4x,其焦点为 F,准线为 l,过 F 作直线 m 交抛物线 C 于 M,N 两点.求 S△OMN 的最小值.

解:由题意知 F(1,0),l:x=-1, 设 m:x=ay+1,M(x1,y1),N(x2,y2) ?x=ay+1 ? 则? 2 ?y2-4ay-4=0, ? ?y =4x
? ?y1+y2=4a 由根与系数的关系得? . ?y1y2=-4 ? 1 1 S△OMN= |OF||y1-y2|= ?y1+y2?2-4y1y2 2 2 1 = · 16a2+16=2 a2+1≥2(a=0 时取得等号). 2 所以 S△OMN 的最小值为 2.

10.(2012· 高考重庆卷)如图所示,设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A, 左、右焦点分别为 F1、F2,线段 OF1、OF2 的中点分别为 B1、B2,且△AB1B2 是面积为 4 的 直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程; (2)过 B1 作直线交椭圆于 P、Q 两点,使 PB2⊥QB2,求△PB2Q 的面积. x2 y2 解:(1)设所求椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 右焦点为 F2(c,0). 因为△AB1B2 是直角三角形且|AB1|=|AB2|, c 故∠B1AB2 为直角,从而|OA|=|OB2|,得 b= . 2 结合 c2=a2-b2 得 4b2=a2-b2,故 a2=5b2,c2=4b2, c 2 所以离心率 e= = 5.在 Rt△AB1B2 中,OA⊥B1B2, a 5 1 故S = · B |· |B |OA| △AB1B2 2 1 2 c =|OB2|· |OA|= · 2, b=b 2 由题设条件 S =4 得 b2=4,从而 a2=5b2=20. △AB1B2 x2 y2 因此所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4 (2)由(1)知 B1(-2,0),B2(2,0).由题意知,直线 PQ 的倾斜角不为 0,故可设直线 PQ 的 方程为 x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0. (*) 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 y1,y2 是上面方程的两根, -16 4m 因此 y1+y2= 2 ,y1·2= 2 . y m +5 m +5

→ → 又B2P=(x1-2,y1),B2Q=(x2-2,y2), → → 所以B2P· 2Q=(x1-2)(x2-2)+y1y2 B =(my1-4)(my2-4)+y1y2 =(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16 -16?m2+1? 16m2 16m2-64 = - 2 +16=- 2 , 2 m +5 m +5 m +5 → → 由 PB2⊥QB2,知B2P· 2Q=0,即 16m2-64=0, B 解得 m=± 2. 当 m=2 时,方程(*)化为 9y2-8y-16=0, 4+4 10 4-4 10 8 故 y1= ,y2= ,|y1-y2|= 10, 9 9 9 1 16 △PB2Q 的面积 S= |B1B2|· 1-y2|= |y 10. 2 9 16 当 m=-2 时,同理可得(或由对称性可得)△PB2Q 的面积 S= 10, 9 16 综上所述,△PB2Q 的面积为 10. 9 11.(探究选做)(2012· 高考上海卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2 =1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线, 求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的 三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到 直线 MN 的距离是定值. x2 2 解:(1)双曲线 C1: -y2=1,左顶点 A?- ,0?,渐近线方程:y=± 2x. 1 ? 2 ? 2 不妨取过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为 2 y= 2?x+ ?,即 y= 2x+1. 2? ? 2 x=- , y=- 2x, 4 ? 解方程组? 得 1 ?y= 2x+1, y= . 2 1 2 所以所求三角形的面积为 S= |OA||y|= . 2 8 (2)证明:设直线 PQ 的方程是 y=x+b.因直线 PQ 与已知圆相切,故
? ?y=x+b, 由? 2 2 得 x2-2bx-b2-1=0. ?2x -y =1, ? ?x1+x2=2b, ? 设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则? 2 ? ?x1x2=-1-b . 又 y1y2=(x1+b)(x2+b),所以 → → OP· =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2 OQ =2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0. 故 OP⊥OQ. (3)证明:当直线 ON 垂直于 x 轴时,

? ? ?

|b| =1,即 b2=2. 2

2 3 ,则 O 到直线 MN 的距离为 . 2 3 当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 2 设直线 ON 的方程为 y=kx?显然|k|> ?, 2? ? 1 则直线 OM 的方程为 y=- x. k |ON|=1,|OM|=
?y=kx, ? 由? 2 2 得 ? ?4x +y =1,

?x =4+k , ? k ?y =4+k ,
2

1

2

2

2

1+k2 所以|ON|2= . 4+k2

2

1+k2 .设 O 到直线 MN 的距离为 d, 2k2-1 因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2, 3k2+3 1 1 1 3 所以 2= =3,即 d= . 2+ 2= 2 d |OM| |ON| 3 k +1 综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 同理|OM|2=



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