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陕西省西安地区八校2015届高三下学期联考(三)数学理试题



陕西省西安地区八校联考 2015 届高三下学期联考(三)

数学(理)试题 A
【试卷综述】本试卷注重基础知识、基本技能的考查,符合高考命题的意图和宗旨。注重基 础知识的考查。注重能力考查,要注重综合性,又兼顾到全面,更注意突出重点.试题减少 了运算量、加大了思维量,降低了试题的入口难度,突出对归纳和探究能力的考查。 【题文】第

>I 卷(选择题共 60 分)

【题文】一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 2 【题文】1.设集合 A={0,2,a},B={2,a }.若 A∪B={0,2,4,16},则实数 a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【知识点】并集及其运算.A1 【答案】 【解析】D 解析:根据题意,集合 A={0,2,a},B={2,a }, 且 A∪B={0,2,4,16},则有 a=4,故选:D. 【思路点拨】根据题意,由 A 与 B 及 A∪B,易得 a =16,分情况求得 A、B,验证 A∪B,即可 得到答案. 【题文】2.已知复数 在夏平面上对应的点位于
2 2

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【知识点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.L4 【答案】 【解析】D 四象限,故选 D. 解析:z1z2=(2+i) (1﹣i)=3﹣i,该复数对应点为(3,﹣1) ,位于第

【思路点拨】先对 z1z2 进行化简,从而可得其对应的点,进而得到答案. 【题文】3.已知数列 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.A2 【答案】 【解析】A 解析:若 an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列,则 an+12=anan+2 成立, 的

当 an=an+1=an+2=0 时,满足 an+12=anan+2 成立,但 an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列不成立, ‘ 故 an,an+1,an+2(n∈N+)成等比数列是“an+12=anan+2”的充分不必要条件,故选:A 【思路点拨】根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题文】4.对于任意向量 a、b、c,下列命题中正确的是

【知识点】平面向量数量积的运算.F3 【答案】 【解析】D 解析: ∵| ? |=| || |?|cosθ|≤| || |,∴A 不正确,

∵根据向量加法平行四边形法则,∴| + |=| |+| |,当向量不共线时,等号不成立,B 不一定 正确; ∵( ? ) 是向量,其方向与向量 共线, ( ? )是向量,其方向与向量 共线, ∵ , 方向不一定相同,∴C 错误; ∵ =| | cos0°=| | =| | |,∴D 正确,故选:D.
2

【思路点拨】本题考查向量的数量积运算公式及向量运算的几何意义,有关向量的式子代表 的含义,理解仔细,认真 【题文】5.执行如图所示的程序框图,会输出一列数,则这个数列的第 3 项是 A.870 B.30 C.6 D.3

【知识点】程序框图.L1 【答案】 【解析】B 解析:当 N=1 时,A=3,故数列的第 1 项为 3,N=2,满足继续循环的 条件, A=3×2=6; 当 N=2 时, A=6, 故数列的第 2 项为 6, N=3, 满足继续循环的条件, A=6×5=30; 当 N=3 时,A=30,故数列的第 3 项为 30,故选:B. 【思路点拨】根据已知的框图,可知程序的功能是利用循环计算数列 an 的各项值,并输出, 模拟程序的运行结果,可得答案. 【题文】 6. 设 (5x﹣ ) 的展开式的各项系数之和为 M, 二项式系数之和为 N, 若 M﹣N=240,
n

则 n 的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 【知识点】二项式系数的性质.J3

【答案】 【解析】A 解析:各项系数之和为 M=4 ,二项式系数之和为 N=2 ,M﹣N=240=4 n ﹣2 ,解得 n=4.故选:A.
n n n n

n

n

n

【思路点拨】由于各项系数之和为 M=4 ,二项式系数之和为 N=2 ,M﹣N=240=4 ﹣2 ,解方 程求得 n 的值. 【题文】7.一几何体的三视图如图所示,若主视图和左视图都是等腰直角三角形,直角边长 为 1,则该几何体外接球的表面积为

【知识点】球的体积和表面积.G8 【答案】 【解析】B 解析:由主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,得 到这是一个四棱锥,底面是一个边长是 1 的正方形,一条侧棱 AE 与底面垂直,可将此四棱锥 放到一个棱长为 1 的正方体内,可知,此正方体与所研究的四棱锥有共同的外接球, ∴四棱锥的外接球即是边长为 1 的正方体的外接球,外接球的直径是 AC 根据直角三角形的勾股定理知 AC= = ,

∴外接球的面积是 4×π×(

) =3π,故选:B.

2

【思路点拨】根据三视图判断几何体为四棱锥,利用四棱锥补全正方体,即四棱锥的外接球 即是边长为 1 的正方体的外接球,由此可得外接球的直径为 ,代入球的表面积公式计算.

【题文】8.已知实数

的取值范围是

【知识点】简单线性规划.E5

【答案】 【解析】C

解析:由约束条件

作可行域如图,

联立

,解得

,∴A(2,﹣1) ,联立

,解得



∴ 由图可知,当

.令 u=2x﹣2y﹣1,则

, 在 y 轴上的截距最小,

经过点 A(2,﹣1)时,直线

u 最大,最大值为 u=2×2﹣2×(﹣1)﹣1=5; 当 经过点 时,直线 .∴ 在 y 轴上的截距最大, ,∴z=|u|∈[0,5) .

u 最小,最小值为 u= 故选:C.

【思路点拨】由约束条件作出可行域如图,令 u=2x﹣2y﹣1,由线性规划知识求出 u 的最值, 取绝对值求得 z=|u|的取值范围.

【题文】9.定义行列式运算 个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为

的图象向左平移

【知识点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.C4 【答案】 【解析】B 解析:将函数 f(x)= = cosx﹣sinx=2cos(x+ )的图象

向左平移 m(m>0)个单位长度后, 所得图象对应的函数的解析式为 y=2cos(x+m+ 再根据所得图象关于 y 轴对称,可得 m+ 则 m 的最小值是 ,故选:B. ) ) . ,k∈z,

=kπ,即 m=kπ﹣

【思路点拨】 由条件利用三角恒等变换、 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律, 可得 y=2cos (x+m+

图象关于 y 轴对称,可得 m+

=kπ,k∈z,由此求得 m 的最小值. 的图像上,则使得 的

【题文】10.已知两点 A(0,2) 、B(2,0) ,若点 C 在函数 面积为 2 的点 C 的个数为 A.4 B.3 【知识点】抛物线的应用.H7 【答案】 【解析】A
2

C.2

D.1

解析:设 C(a,a ) ,由已知得直线 AB 的方程为

,即:x+y﹣

2=0,点 C 到直线 AB 的距离为:d=

,有三角形 ABC 的面积为 2 可得:

=|a+a ﹣2|=2 得:a +a=0 或 a +a﹣4=0,显然方程共有四个根, 2 可知函数 y=x 的图象上存在四个点(如上面图中四个点 C1,C2,C3,C4) 使得△ ABC 的面积为 2(即图中的三角形△ ABC1,△ ABC2,△ ABC3,△ ABC4) . 故应选:A
2 2

2

【思路点拨】本题可以设出点 C 的坐标(a,a ) ,求出 C 到直线 AB 的距离,得出三角形面积 表达式,进而得到关于参数 a 的方程,转化为求解方程根的个数(不必解出这个跟) ,从而得 到点 C 的个数. 【题文】11.函数 f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是

2

【知识点】函数的图象;利用导数研究函数的单调性.B9 B12 【答案】 【解析】B 解析:观察图象可知,该函数在(2,3)上为连续可导的增函 数,且增长的越来越慢.所以各点处的导数在( 2,3)上处处为正,且导数的值逐渐减小, 所以故 f′(2)>f′(3),而 f(3)-f(2)=

f ? 3? ? f ? 2 ? ,表示的连接点(2,f(2)) 3? 2

与点(3,f(3))割线的斜率,根据导数的几何意义,一定可以在(2,3)之间找到一点, 该点处的切线与割线平行,则割线的斜率就是该点处的切线的斜率,即该点处的导数,则必 有:0 < f ′(3) <

f ? 3? ? f ? 2 ? < f ′(2) .故选:B. 3? 2

【思路点拨】观察图象及导数的几何意义得,即函数在(2,3)上增长得越来越慢,所以导 数值为正,且绝对值越来越小,故 f′(2)>f′(3) ,同时根据割线的性质,一定可以在(2, 3)之间找到一点其切线的斜率等于割线斜率,即其导数值等于割线的斜率,由此可得结论. 【题文】12.已知双曲线 的右焦点为 F,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂

足为 H,若线段 FH 的中点 M 在双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率为

【知识点】双曲线的简单性质.H6 【答案】 【解析】C 解析:由题意可知,一渐近线方程为 y= x,则 F2H 的方程为 y﹣0=k

(x﹣c) ,代入渐近线方程 y= x,可得 H 的坐标为(



) ,故 F2H 的中点 M(



) ,根据中点 M 在双曲线 C 上,∴ 故选:C.

=1,∴

=2,故 e= =



【思路点拨】设一渐近线方程为 y= x,则 F2H 的方程为 y﹣0=k(x﹣c) ,代入渐近线方程 求

得 H 的坐标,有中点公式求得中点 M 的坐标,再把点 M 的坐标代入双曲线求得离心率. 【题文】第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 【题文】二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 【题文】13.已知数列 【知识点】数列递推式.D1 【答案】 【解析】3 解析:已知数列{an}满足 a1 = 2, an +1 = 的值为 。

1 - an (n∈N+), 1 + an

根据数列的递推关系式求得:a 2 = ? 3 ,a 3 = ? ?

1 1 ,a 4 = ,a 5 = 2 ,a 6 = ? 3 , 2 3

所以数列的周期为 4,所以 a1a2a3...a2015 = a1a2a3 = 3
【思路点拨】首先根据已知条件和递推关系式求出数列中的各项,进一步求出数列的周期, 最后确定结果. 【题文】14.若指数函数 在其定义域内是减函数,则 a 的取值范围是_______j

【知识点】指数函数的图像与性质.B6 【答案】 【解析】 2

(

2, - 1 ? 1,2
2

) ( )

解析:∵y=(a ﹣1) 在定义域内是减函数, 或 <a<﹣1,

2

x

∴0<a ﹣1<1,即 1<a <2,解得 1<a< 故答案为: -

(

2, - 1 ? 1,2 .

) ( )

【思路点拨】根据指数函数的单调性即可得到结论. 【题文】15.由 1,4,5,x 可组成没有重复数字的四位数,若所有这些四位数的各位数字之 和为 288,则 x 的值为________ 【知识点】计数原理的应用.J1 【答案】 【解析】 2 解析: 当 x≠0 时, 有 A4 =24 个四位数, 每个四位数的数字之和为 1+4+5+x 故 24(1+4+5+x)=288,解得 x=2;当 x=0 时,每个四位数的数字之和为 1+4+5=10,而 288 不能被 10 整除,即 x=0 不合题意,总上可知 x=2,故答案为:2. 【思路点拨】根据题意,分情况讨论讨论,当 x≠0 时,四个数字进行全排列得到四位数,每个 四位数的数字之和为 1+4+5+x,24 个四位数总和是 24(1+4+5+x)=288 得到 x=2;当 x=0 时, 288 不能被 10 整除,即 x=0 不合题意,得到结果.
4

【题文】16.已知函数 值范围为____. 【知识点】其他不等式的解法.E1

有解,则实数 m 的取

【答案】 【解析】 犏 - ,1

轾1 犏 臌4

解析:关于 x 的不等式 f(x)≥m ﹣ m 有解,

2

即为 f(x)max≥m ﹣ m,由函数 f(x)=

2



则 x>1 时,f(x)递减,即有 f(x)<0;当 x≤1 时,y=﹣x +x 的对称轴 x= , 则有 f(x)≤f( )=
2

2

= ,则 f(x)在 R 上的最大值为 .

则 ≥m ﹣ m,解得,﹣ ≤m≤1.故答案为: 犏 - ,1
2 2

轾1 犏 臌4

【思路点拨】关于 x 的不等式 f(x)≥m ﹣ m 有解,即为 f(x)max≥m ﹣ m,通过对数函数 和二次函数的性质,求得 f(x)的最大值,再由二次不等式的解法,即可得到范围. 【题文】三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 70 分) 【题文】17. (本小题满分 12 分) △ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A,B,C 成等差数列,且 a,b, c 也成等差数列,求证:△ABC 为等边三角形. 【知识点】三角形的形状判断;等差数列的性质;等比数列的性质.D2 D3 C8 【答案】 【解析】见解析 解析:由 A,B,C 成等差数列,有 2B=A+C(1) 因为 A,B,C 为△ ABC 的内角,所以 A+B+C=π. 由(1) (2)得 B= . (3)
2

由 a,b,c 成等比数列,有 b =ac(4) 2 2 2 2 2 由余弦定理及(3) ,可得 b =a +c ﹣2accosB=a +c ﹣ac 2 2 再由(4) ,得 a +c ﹣ac=ac, 2 即(a﹣c) =0 因此 a=c 从而 A=C(5) 由(2) (3) (5) ,得 A=B=C= 所以△ ABC 为等边三角形. 【思路点拨】先根据 A,B,C 成等差数列和三角形内角和定理求出 B 的值,进而根据等比中 项的性质可知 b =ac 代入余弦定理求得 a +c ﹣ac=ac,整理求得 a=c,判断出 A=C,最后利用 三角形内角和气的 A 和 C,最后证明原式. 【题文】18. (本小题满分 12 分)
2 2 2

已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 底面边长 AB=2,侧棱 BB1 的长为 4,过点 B 作 B1C 的垂线 交侧棱 CC1 于点 E,交线段 B1C 于点 F.以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x、y、 z 轴建立空间直角坐标系 D﹣xyz,如图. (Ⅰ)求证:A1C⊥平面 BED; (Ⅱ)求 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值的大小

【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角;向量语言表述线面的垂直、平行关系.G10 G11 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) 解析: (Ⅰ)D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,A1(2,0,4) , B1(2,2,4) ,C1(0,2,4) ,D1(0,0,4) 设 E(0,2,t) ,则 ∵BE⊥B1C,∴ ∴t=1.∴E(0,2,1) , ∵ ∴ ∴ 平面 BDE. 是平面 BDE 的一个法向量, , 且 . . , ,∴ 且 , .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ∵





∴A1B 与平面 BDE 所成角的正弦值为



【思路点拨】 (I) 由已知中, 正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 底面边长 AB=2, 侧棱 BB1 的长为 4, 我们易求出正四棱柱中各顶点的坐标,设 E(0,2,t) ,根据 BE⊥B1C,我们易由它们的方向 向量数量积为 0,构造关于 t 的方程,求出 t 值,然后根据向量数量为 0,向量垂直,对应的 线段也垂直,可证得直线 A1C 与 BE,BD 均垂直,再由线面垂直的判定定理得到 A1C⊥平面

BED; (Ⅱ)由(1)中结论,我们可得

是平面 BDE 的一个法向量,

再求出直线 A1B 的方向向量,代入向量夹角公式,即可得到 A1B 与平面 BDE 所成角的正弦 值的大小. 【题文】19. (本小题满分 12 分) 现有 4 人去旅游,旅游地点有 A、B 两个地方可以选择.但 4 人都不知道去哪里玩,于是 决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里琨,掷出能被 3 整除的数时去 A 地,掷 出其他的则去 B 地. (I)求这 4 个人中恰好有 1 个人去 B 地的概率; (Ⅱ)求这 4 个人中去 A 地的人数大于去 B 地的人数的概率; (Ⅲ)用 X、Y 分别表示这 4 个人中去 A、B 两地的人数,记 列与数学期望 . 求随机变量亭的分布

【知识点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率 乘法公式.K4 K5 K6 【答案】 【解析】 (1)

32 1 ;(2) ;(3)见解析 9 81

解析: (1)依题意,这 4 个人中,每个人去 A 地旅游的概率为 , 去 B 地的人数的概率为 设“这 4 个人中恰有 i 人去 A 地旅游”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4) ∴ . (2 分) . (4 分)

这 4 个人中恰有 1 人去 A 地游戏的概率为

(2)设“这 4 个人中去 A 地的人数大于去 B 地的人数”为事件 B,则 B=A3∪A4, ∴ . (8 分)

(3)ξ 的所有可能取值为 0,3,4, , , , (10 分) ∴ξ 的分布列是 ξ P . (12 分)

0

3

4

【思路点拨】 (1)依题意,这 4 个人中,每个人去 A 地旅游的概率为 ,去 B 地的人数的概 率为 ,由此能求出这 4 个人中恰有 1 人去 A 地游戏的概率. (2)设“这 4 个人中去 A 地的人数大于去 B 地的人数”为事件 B,则 B=A3∪A4,由此能求出 这 4 个人中去 A 地的人数大于去 B 地的人数的概率. (3)ξ 的所有可能取值为 0,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 ξ 的分布列与 数学期望 Eξ. 【题文】20. (本小题满分 12 分) 设 P 为椭圆 + =1(a>b>0)上任一点,F1、F2 为椭圆的焦点,|PF1|+|PF2|=4,离心率为

. (1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(≠0)与椭圆交于 A、B 两点,若线段 AB 的中点 C 的直线 y= x 上, O 为坐标原点.求△ OAB 的面积 S 的最大值. 【知识点】椭圆的简单性质.H5 【答案】 【解析】 (1) (2)

解析: (1)根据题意,可得 2a=PF1|+|PF2|=4,所以 a=2, 又 c=ae= = ,所以 b= = = ,

所以椭圆的方程为:



(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(xc,yc) , 将直线 l:y=kx+m 代入方程 得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣4=0 由韦达定理可知 xc= 从而 yc=kxc+m= , = ,
2 2 2

, (*)

又线段 AB 的中点 C 的直线 y= x 上,

所以

=

,解得 k=﹣1,

则(*)变为 3x ﹣4mx+2m ﹣4=0, 所以|AB|= = , ,所以 S= ,

2

2

则△ OAB 底边 AB 的高 h=
2 2

∵(6﹣m )m ≤ ∴S ,即 S 得最大值为 .



【思路点拨】 (1)根据题意,计算出 a、b 的值即可; (2)联立直线 l 与椭圆方程消去 y 得到 一个关于 x 的一元二次方程,由韦达定理可得 C(xc、yc) ,再将其代入所在直线 y= x 上,可 解得 k=﹣1,故可化简关于 x 的一元二次方程,从而得到关于 S 的表达式,再结合不等式即可 得到最大值. 【题文】21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln(x+a)+ax (1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若 a∈(﹣1,0) ,函数 g(x)=a|f′(x)|的图象上存在 P1,P2 两点,其横坐标满足 1< x1<x2<6,且 g(x)的图象在此两点处的切线互相垂直,求 a 的取值范围. 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑. 【知识点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.B11 B12 【答案】 【解析】 (1)ln(﹣ )﹣a ﹣1(2) (﹣1, 解析: (1)∵f(x)=ln(x+a)+ax, ∴函数 f(x)的定义域为(﹣a,+∞) , ∴f′(x)= +a= , +a>0,函数在(﹣a,+∞)为增函数,无极值
2



当 a≥0 时,f′(x)=

当 a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x=﹣a﹣ >﹣a 当 f′(x)>0 时,解得﹣a<x<﹣a﹣ ,函数为增函数, 当 f′(x)<0 时,解得 x>﹣a﹣ ,函数为减函数, 故当 x=﹣a﹣ ,函数 f(x)有极大值,极大值为 f(﹣a﹣ )=ln(﹣ )﹣a ﹣1, 综上所述,当 a≥0 时,函数 f(x)在(﹣a,+∞)为增函数,无极值,
2

当 a<0 时,函数 f(x)在(﹣a,﹣a﹣ )为增函数,在(﹣a﹣ ,+∞)函数为减函数,函 数 f(x)有极大值,极大值为 ln(﹣ )﹣a ﹣1;
2

(2)由(1)知,当 a∈(﹣1,0)时,

g(x)=a|f′(x)|=a|

+a|=

函数图象上存在符合要求的两点,必须 1<x1<x2<6,得:﹣1<a<﹣3 当 x∈(﹣a,﹣a﹣ )时,g(x)=
2

; ;

+a ,函数在点 P1 处的切线斜率为 k1=﹣

当 x∈(﹣a﹣ ,+∞)时,g(x)=﹣

﹣a ,函数在点 P2 处的切线斜率为 k2=

2



函数图象在两点处切线互相垂直即为: 即(x1+a) (x2+a) =a
2 2 2

?

=1;

因为 0<1+a<x1+a<﹣ <x2+a<6+a, 故上式即为(x1+a) (x2+a)=﹣a

所以

,解得:﹣2<a<

综合得:所求 a 的取值范围是(﹣1,



【思路点拨】 (1)先求导,再分类讨论,当 a≥0 时,和 a<0 时,分别利用导数求出单调区间 和极值; (2)先把 g(x)化为分段函数,分别求出函数在点 P1 和 P2 处的切线斜率,根据斜 2 2 2 率的乘积等于﹣1,得到(x1+a) (x2+a) =a ,继而得到关于 a 的不等式组,解得即可. 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑. 【题文】22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆 O 的切线 PA 和割线 PBC,其中 A 为切点,过点 A 作 PC 的平行线交圆 O 于点 D,BD 的延长线交直线 PA 于点 Q. 2 (1)求证:AB =PB?AD; (2)若 PA=2AQ,AD= ,QD=2.求 PC 的长.

【知识点】与圆有关的比例线段.N1 【答案】 【解析】 (1)见解析(2) 解析: (1)证明:∵PO 是圆 O 的切线,AD∥PB, ∴∠PAB=∠BDA,∠APB=∠QAD=∠DBA, ∴△PAB∽△BDA. ∴
2



∴AB =PB?AD; (2)解:∵AD∥PB,PA=2AQ, ∴ =

∵AD= ,QD=2, ∴PB=3 ,QB=6. ∵PO 是圆 O 的切线,PA=2AQ, 2 2 ∴PB?PC=PA =4QA =QD?QB, ∴PC= = .
2

【思路点拨】 (1)证明△ PAB∽△BDA,可得 AB =PB?AD; (2)利用 PO 是圆 O 的切线,PA=2AQ,可得 PB?PC=PA =4QA =QD?QB,结合 AD= 求 PC 的长. 【题文】23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴为正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 和直线 l 的极 坐标方程分别为 ρ=2cosθ, ρcos(θ+α)=2(其中 tanα=2,α∈(0, ) ) .
2 2

,QD=2,

(Ⅰ)求圆 C 和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 和直线 l 相交于点 A 和点 B,求以 AB 为直径的圆 D 的参数方程. 【知识点】简单曲线的极坐标方程 N3

【答案】 【解析】 (Ⅰ)x﹣2y﹣2=0;(Ⅱ)

解析: (Ⅰ)圆 C 的极坐标方程分别为 ρ=2cosθ, 2 2 转化成直角坐标方程为: (x﹣1) +y =1, 由于:tanα=2,α∈(0, ) .

则: 极坐标方程

, ρcos(θ+α)=2 转化成直角坐标方程为:x﹣2y﹣2=0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

解得:A(2,0) ,B( , 则: ,

) ,

设点 M(x,y)是圆 D 上的任意一点,则: 所以:
2 2



+



整理得:5x +5y ﹣12x+4y=0. 转化成标准形式为:

转化成参数方程为:

(θ 为参数) .

【思路点拨】 (Ⅰ)直接把极坐标方程转换成直角坐标该方程. (Ⅱ)首先建立方程组求出交 点的坐标,进一步利用直径所对的圆周角为 90°,进一步转化成向量垂直,再利用向量垂直的 充要条件求出方程,再转化成参数方程. 【题文】24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (I)当 a=3 时,求不等式 f(x)≤4 的解集; (Ⅱ)若不等式 的解集为空集,求实数 a 的取值范围,

【知识点】绝对值不等式的解法.N4 【答案】 【解析】 (Ⅰ)[0,4](Ⅱ)[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1] 解析: (Ⅰ)当 a=3 时,f(x)=|x﹣3|+|x﹣1|,

即有 f(x)=



不等式 f(x)≤4 即为 即有 0≤x<1 或 3≤x≤4 或 1≤x<3, 则为 0≤x≤4, 则解集为[0,4];







(Ⅱ)依题意知,f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥2 恒成立, ∴2≤f(x)min; 由绝对值三角不等式得:f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|(x﹣a)+(1﹣x)|=|1﹣a|, 即 f(x)min=|1﹣a|, ∴|1﹣a|≥2,即 a﹣1≥2 或 a﹣1≤﹣2, 解得 a≥3 或 a≤﹣1. ∴实数 a 的取值范围是[3,+∞)∪(﹣∞,﹣1]. 【思路点拨】 (Ⅰ)求出当 a=3 时,f(x)的分段函数式,原不等式即化为一次不等式组,分 别解得它们,再求并集即可; (Ⅱ)利用绝对值三角不等式可得 f(x)=|x﹣a|+|x﹣1|≥|(x﹣a) +(1﹣x)|=|1﹣a|,依题意可得|1﹣a|≥2,解之即可.



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