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棱柱、棱锥、棱台和球的表面积



知识点三 球的表面积公式的应用

1.1.6

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
自主学习 例 3 已知:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积; 2 (2)球的表面积等于圆柱全面积的 . 3 点评 球的体积和表面积只与半径有关,利用球与其他几何体的位置关系,灵活求解球的半 径是关键. 变式训练 3

如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )

学习目标 1.了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式,并学会运用这些公式解决一些简单的问题. 2.认清直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面展开图的特点,由此推导出侧面积公式. 自学导引 1.棱柱、棱锥、棱台侧面积 (1)设直棱柱高为 h,底面多边形的周长为 c,则直棱柱侧面积计算公式:S 直棱柱侧=________, 即直棱柱的侧面积等于它的________________________. (2)设正 n 棱锥的底面边长为 a,底面周长为 c,斜高为 h′,则正 n 棱锥的侧面积的计算公 式 : S 正 棱 锥 侧 = __________ = ________ , 即 正 棱 锥 的 侧 面 积 等 于 它 的 ________________________________________________________________________. (3)设棱台下底面边长为 a,底面周长为 c,上底面边长为 a′,周长为 c′,斜高为 h′,则 正 n 棱台的侧面积公式: S 正棱台侧=________________=________________. 2.棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于__________________. (2) 用 球 的 半 径 R 计 算 球 表 面 积 的 公 式 : S 球 = ________ , 即 球 面 面 积 等 于 它 的 ________________. 对点讲练 知识点一 直棱柱、正棱锥的表面积 例1 面积. 直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为 Q1,Q2,求直平行六面体的侧

A.9π

B.10π

C.11π

D.12π

1.柱、锥、台的侧面积公式是由侧面展开图得到的,不要死记公式,要根据展开图的特点 进行计算. 2.要注意三种几何体的侧面积公式之间的联系, 1 1 c′=0 S 台侧= (c+c′)h′― ― →S 锥侧= ch′ 2 2 ,c=c′ S 柱侧=ch′. 3. 计算侧面积时要注意从几何体的某一特殊位置截面中(如旋转体的轴截面)找到关键量, 借 助它们的数量关系解决问题.另外,还要注意整体代换的思想方法的运用. 课时作业 一、选择题

点评 本题主要考查棱柱的结构特征,特别是直平行六面体,它的特点:底面是平行四边形 且侧棱与底面垂直,对角面是矩形.设边长后就可以转化为矩形内线段的研究.在解方程组时注 意运用整体代入的方法,充分运用式子的特征来解决问题. 变式训练 1 设正三棱锥 S—ABC 的侧面积是底面积的 2 倍, 高为 SO=3.求此正三棱锥的全 面积. 知识点二 正棱台的表面积 例 2 已知四棱台的上、下底面分别是边长为 4 cm 和 8 cm 的正方形,侧面是腰长为 8 cm 的等腰梯形,求它的侧面积. 点评 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形, 它是架起求侧面积关系 式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间的桥梁.另外,“还台为锥”的思想在计算中也 经常用到. 变式训练 2 已知正三棱台的底面边长分别是 30 cm 和 20 cm, 其侧面积等于两底面积的和, 求棱台的高.

(

1.底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线为 2,体对角线为 6,则这个棱柱的侧面积是 ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a,则该三棱锥的表面积是( ) 3+ 3 2 A. a 4 3 B. a2 4 C. 6 2 a 2 D. 3 2 a 3 )

3.两个球的表面积之差为 48π,它们的大圆周长之和为 12π,这两个球的半径之差为( A.4 B.3 C.2 D.1

4.已知正三棱台的上底面边长为 2,下底面边长为 4,高为

15 ,则正三棱台的侧面积 S1 3

与底面面积之和 S2 的大小关系为( ) A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.以上都不是 5.正四棱锥的侧面积为 60,高为 4,则正四棱锥的底面边长为( A.24 B.20 C.12 D.6 题 答 号 案 1 2 3 4

) 5

二、填空题 6.正六棱柱的高为 5 cm,最长的对角线为 13 cm,则它的侧面积为________. 7.若一个直立圆柱的侧视图是面积为 S 的正方形,则该圆柱的表面积为________. 8.长方体的体对角线长度是 5 2,若长方体的 8 个顶点都在同一个球面上,则这个球的表 面积是__________. 三、解答题 15 9.已知正三棱锥的底面三角形的边长为 ,侧棱与高的夹角为 60° ,求三棱锥的侧面积及全 2 面积. 10.如图所示是一个建筑物的三视图,现需要将其外壁用油漆刷一遍,已知每平方米用油漆 0.2 kg,问共需要油漆多少 kg?(尺寸如图所示,单位:m,π 取 3.14,结果精确到 0.01 kg)



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