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暑假高中数学特训课程代数导学第一部分三角函数解三角形



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暑假数学特训课程代数导学?

代数‐‐‐‐三角函数与解三角形导学?
一、 基本知识点? 1. 正余弦函数的有界性? 对任意角度 α , | sin α |≤ 1,| cos α |≤ 1 ,

| A sin α + B cos α |=|

A2 + B 2 sin(α + φ ) |=| A2 + B 2 cos(α + θ ) |≤ A2 + B 2 ,
其中 φ 、 θ 为常数,并且满足

cos φ =

A A +B
2 2

,sin φ =

B A +B
2 2

,sin θ =

B A +B
2 2

, cos θ = ?

A A + B2
2

。?

2. 同角三角函数基本关系? (1) sin 2 α + cos 2 α = 1 ; (2) tan α = (3) sec α =

1 sin α ;? = cot α cos α

1 1 ? , csc α = cos α sin α 3. 正弦函数、余弦函数以及正切函数图像性质? (1)基本正弦、余弦函数以及正切函数图象及性质?

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?

y = A sin( wx + ? ) 的 值 域 为 [? | A |,| A |] , 最 小 正 周 期 为
kπ +

2π ,对称轴为 | w|

π

x=

2 w

??
,对称中心为 (

kπ ? ? , 0) 。? w

y = A cos( wx + ? ) 的 值 域 为 [? | A |,| A |] , 最 小 正 周 期 为
kπ +

2π ,对称轴为 | w|

kπ ? ? ,对称中心为 ( x= w
(2)一般周期函数的结论?

π

2 w

?? , 0) 。?

如果 y = f ( x) 的周期为 T ,对称轴为 x = a, 对称中心为 (b, 0) ,那么? ① T , a, b 之间必定满足关系 T = 4 | a ? b | , 需要注意的是这里 T 只是周期, 不一定 是最小正周期。?

② 同 时 有 y = f ( wx + ? ) 的 周 期 为
(
b ?? , 0) 。? w

a ?? T ,对称轴为 x = ,对称中心为 | w| w

y不变 w ③? y = f ( x) ????? → y = f ( wx +? ) ? 1 → y = f ( wx ) ?????? x变成以前的 w

向左平移 个单位

?

?

向左平移? 个单位 y不变 y = f ( x) ?????? → y = f ( x +? ) ????? 1 → y = f ( wx +? ) x变成以前的 w

?

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4. 反三角函数的图像及性质 y=arcsinx? y=arccosx? 函数? 定义 [-1,1]? [-1,1]? 域? π π [- , ]? 值域? [0,π]? 2 2
y? y

y=arctanx? R? (-

y=arccotx? R? (0,π)?
y? π π/2 O? x?

π π , )?
2 2
y

π/

图象?

‐1?

O 1? x? ‐1?

O

x

? 单调 性? 奇偶 性? 最值? 增函数? 奇函数?

O 1

x

?π/

减函数? 非奇非偶?

增函数? 奇函数?

减函数? 非奇非偶?

性质?

当 x=-1 时? 当 x=1 时? ymax=π/2? ymax=π? 当 x=-1 时? 当 x=1 时? ymin=0? ymin=-π/2? sin(arcsinx)=x,? cos(arccosx)=x,? x∈[‐1,1]? x∈[‐1,1]? arcsin(‐x)=‐arcsi arccos(‐x)=π‐arcc nx? osx? arcsin(sinx)=x,? arccos(cosx)=x? x∈[‐π/2, π/2]? x∈[0,π]? arcsinx+arccosx=π/2?

无?

无?

tan(arctanx)=x? arctan(‐x)=arcta nx? arctan(tanx)=x? x∈(‐π/2,π/2)?

cot(arccotx)=x? arccot(‐x)=π‐arcc otx? arccot(cotx)=x? x∈(0,π)?

arctanx+arccotx=π/2?

5. 三角变换 (1)两角和与差的三角变换 sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ;? cos(α ± β ) = cos α cos β ? sin α sin β ;?
tan(α ± β ) = tan α ± tan β ;? 1 ? tan α tan β

(2)二倍角公式? sin(2α ) = 2sin α cos α ;? cos(2α ) = 1 ? 2sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1 = cos 2 α ? sin 2 α ;?
tan(2α ) = 2 tan α ;? 1 ? tan 2 α

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(3)半角公式?
sin

α
2



α 1 ? cos α (具体符号看 角度的取值范围) ;? 2 2 α 1 + cos α (具体符号看 角度的取值范围) ;? 2 2

cos

α
2



2 = ± 1 ? cos α (具体符号看 α 角度的取值范围) ;? 2 cos α 1 + cos α 2 2 α sin α 1 ? cos α ;? tan = = 2 1 + cos α sin α (4)和差化积与积化和差公式? α +β α ?β α +β α ?β α +β α ?β sin α + sin β = sin( ) + sin( ) = 2 sin( ) cos( ) + ? 2 2 2 2 2 2 α +β α ?β α +β α ?β α +β α ?β sin α ? sin β = sin( ) ? sin( ) = 2 cos( ) sin( ) + ? 2 2 2 2 2 2 α +β α ?β α +β α ?β α +β α ?β cos α ? cos β = cos( ) ? cos( ) = ?2 sin( ) sin( ) + ? 2 2 2 2 2 2 α +β α ?β α +β α ?β α +β α ?β cos α + cos β = cos( ) + cos( ) = 2 cos( ) cos( ) + ? 2 2 2 2 2 2 1 sin α cos β = [sin(α + β ) + sin(α ? β )] ;? 2 1 cos α sin β = [sin(α + β ) ? sin(α ? β )] ;? 2 1 cos α cos β = [cos(α + β ) + cos(α ? β )] ;? 2 1 sin α sin β = ? [cos(α + β ) ? cos(α ? β )] ; 2 (5)万能公式? tan = sin α = 2sin

α

sin

α

α
2

cos

α
2

=

2sin sin
2

α
2

cos

α
2 =
2

2 tan 1 + tan

α
2 ;?
2

α
2

+ cos

α

α

2

2

cos α = cos2

α
2

? sin 2

α
2

=

cos 2 cos

α
2

? sin 2 + sin

α
2 = 2

1 ? tan 2 1 + tan

α
2 ;? 2

2 α

2 α



2

tan α =

2 tan

α
2 ;?

2 6. 三角函数中一些结论?

1 ? tan 2

α

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(1)三角判别式定理? 对于三角方程 a sin x + b cos x + c = 0(0 ≤ x ≤ 2π , ab ≠ 0) ,则判别式

Δ = a 2 + b 2 ? c 2 ,?

Δ > 0 ? 方程有两个不同的解;? Δ = 0 ? 方程有唯一解;? Δ < 0 ? 方程无解;? π sin x tan x (2)若 x ∈ (0, ) ,0< sin x < x < tan x , y = 为减函数, y = 为增函数? 2 x x
(3) sin(α + β ) sin(α ? β ) = sin ? ?
2

α ? sin 2 β = cos 2 β ? cos 2 α ?

cos(α + β ) cos(α ? β ) = cos 2 α ? cos 2 β ?
cos 3θ = 4 cos θ cos( ? θ ) cos( + θ ) ? 3 3

π

π

sin 3θ = 4 sin θ sin( ? θ ) sin( + θ ) ? 3 3 7. 解三角形知识点 在 ΔABC 中, 角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c , 且 R、r 分别为 ΔABC

π

π

外接圆和内接圆的半径, S 为 ΔABC 的面积, p 为 ΔABC 的半周长 (p=
a+b+c ) 。? 2 (1)正弦余弦定理 a b c = = = 2 R ;? sin A sin B sin C

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ;? b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B ;? c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C ;?
? (2)面积公式? ab bc ac S = sin C = sin A = sin B ? 2 2 2 abc ? ? ? = pr = ? 4R ??? =

?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ;海伦公式?

(3)一些补充结论? a = b cos C + c cos B ;? b = a cos C + c cos A ;? c = a cos B + b cos A ;?

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sin A = sin( B + C ),sin B = sin( A + C ),sin C = sin( A + B) ;?
如果 a > b, 则 A > B 。反之也成立。?

sin A + sin B + sin C ≤

3 3 ,? ? 2

证明:在 (0, π ) 中 y = sin x 为上凸函数,根据上凸函数的琴生不等式可知? 任取 x1 , x2 ,..., xn ∈ (0, π ) ,成立不等式

sin x1 + sin x2 + ... + sin xn x + x + ... + xn ≤ sin( 1 2 )? n n

所以

π 3 sin A + sin B + sin C A+ B +C ,从而 ≤ sin( ) = sin = 3 2 3 3
3 3 π ,等号成立时 A = B = C = ,证毕!? 3 2

sin A + sin B + sin C ≤
cos A + cos B + cos C ≤
证明:

3 ,? 2

B+C B ?C B+C cos ≤ cos A + 2 cos 2 2 2 B+C A A A A 1 3 cos A + 2 cos = cos A + 2 sin = 1 ? 2sin 2 + 2 sin = ?2(sin ? ) 2 + 2 2 2 2 2 2 2 3 π 从而 cos A + cos B + cos C ≤ ,等号成立时 A = B = C = ,证毕!? 3 2
cos A + cos B + cos C = cos A + 2 cos
?

二、

典型例题
sin x cos x π π 在区间 [ ? , ] 上的值域。 2 2 1 + sin x + cos x

例 1.? 求 f ( x) =

解析:令 t = sin x + cos x = 2(

2 2 π sin x + cos x) = 2 sin( x + ) ? 2 2 4

π π 3π ( x + ) ∈ [? , ] ,从而 t ∈ [ ?1, 2] 。? 4 4 4
又因为 t 2 = (sin x + cos x )2 = 1 + 2sin x cos x ,从而

t 2 ?1 sin x cos x t ?1 2 ?1 f ( x) = = 2 = , t ≠ ?1 ,从而 f ( x) ∈ (?1, ] 。? 2 1 + sin x + cos x 1 + t 2
?

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1 2 例 2.? 函数 f ( x) = ( )cos x + cos x 的定义域为 R ,求函数的值域。? 2 1 1 1 由于 | cos x |≤ 1 , 所以 ? ≤ u ≤ 2 ,? 解析: 令 u = cos 2 x + cos x = (cos x + ) 2 ? , 2 4 4 1 2 1 1 f ( x) = ( ) cos x + cos x = ( )u ,那么 f ( x) 的值域为 [ , 4 2] 。? 2 2 4 ?

例 3.求 10? cot ( arccot3 + arccot7 + arccot13 + arccot21) 的值。? 解:设α=arccot3,?β=arccot7,?γ=arccot13,?δ=arccot21? ∴0<α,β,γ,δ<90°? 1 1 1 1 tanα= ,?tanβ= ,?tanγ= ,?tanδ= ? 3 7 13 21 1 1 ∴tan(α+β)= ,?tan(γ+δ)= ? 2 8 2 ∴tan(α+β+γ+δ)= ? 3 ∴10cot(arccot3+arccot7+arccot13+arccot21)=15? 例 4.求 ∑ cos[(2k + 1)t ] ,其中 t 为常数。?
k =0 n

解析: cos[(2k + 1)t ]sin t = 那么 cos[(2k + 1)t ] =
n

1 (sin[(2k + 2)t ] ? sin 2kt ) ? 2

1 (sin[(2k + 2)t ] ? sin 2kt ) ,? 2 sin t 1 1 ( sin[(2n + 2)t ] ? sin 0 )= sin[(2n + 2)t ? 2sin t 2sin t

所以 ∑ cos[(2k + 1)t ] =
k =0

? 例 5.已知 sin α + sin β = 1, cos α + cos β = 0 ,求 cos(α + β ) 的值 解:由已知 sin α + sin β = 1 …………………….①?
? ?

cos α + cos β = 0 ………………………………….②?
1 ① 2 + ② 2 得到 2 + 2 cos(α ? β ) =1,从而 cos(α ? β ) = ? ? 2
① 2 -② 2 得到 cos 2α + cos 2β + 2 cos(α + β ) = ?1 ,使用和差化积公式对

cos 2α + cos 2β 进行和差化积得到 2 cos(α + β )[cos(α ? β ) + 1] = ?1 ,?
从而 cos(α + β ) = ?1 。? ?

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例 6.在 ΔABC 中, BC = a, AC = b, AB = c ,若 9a 2 + 9b 2 ? 19c 2 = 0 ,?
cot C 的值是多少?? cot A + cot B cos C cot C cos C sin A sin B ab a 2 + b 2 ? c 2 sin C = = ? 解: = ,? ? cot A + cot B cos A + cos B sin C sin( A + B) c 2 2ab sin A sin B



cot C a 2 + b2 ? c2 5 由于 9a + 9b ? 19c = 0 ,所以 = = 2c 2 9? cot A + cot B
2 2 2

? 例 7.已知 ΔABC 的三个角 A、B、C 成等差数列,且 求 cos(
A?C ) 的值。? 2

1 1 2 , + =? cos A cos C cos B

例 8.? 在 ΔABC 中,求证 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C 。?
解:由于 A = π ? ( B + C ) ,那么

tan A = tan[π ? ( B + C )] = ? tan( B + C ) = ?

? tan A + tan A tan B tan C = tan B + tan C ,? 故 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C ? ? ? ?

tan B + tan C ,从而有? 1 ? tan B tan C

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1 1 )(1 + ) ≥ 3 + 2 2 。? 2 sin α cos α 1 1 (1 + sin α )(1 + cos α ) 证明: (1 + = )(1 + )= sin α cos α sin α cos α sin α cos α + sin α + cos α + 1 π ,令 t = sin α + cos α = 2 sin(α + ) , t ∈ (1, 2] ? = 4 sin α cos α 2 t ?1 + t +1 2 1 1 2 2 t + 2t + 1 t + 1 则 (1 + = =1 + ,所以 1 + 在 )(1 + )= 2 2 = 2 t ?1 t ?1 t ?1 sin α cos α t ?1 t ?1 2
例 9.假设 α ∈ (0,

π

) ,求证 (1 +

t = 2 时取得最小值,最小值为 3 + 2 2 ,?
从而 (1 +

1 1 )(1 + ) ≥ 3 + 2 2 ,得证!? sin α cos α



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