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6.3一次函数的图像



2 1. 已知函数: y ? ? m ? 1? x ? (m ? 1),

当m取什么值时, y是x的一次函数?

当m取什么值时,y是x的正比例函数?

2.书店有40本数学书. (1)如果卖出x本,还剩y 本,那么y = 40-x



(2)当 x 越来越大时,y 会发生

什么变化?
y 随 x 增大而减小.

(3)请写出自变量取值范围.
________________________
0≤x≤40,且 x 为整数.

根据一次函数y= x+1,完成下列表格

X



-2

-1

0

1

2



y=x+1



-1

0

1

2

3



你能根据表中的数据画一次函数的图像吗?

(-1,0)
(-2,-1)

( 2, 3) ( 1, 2) ( 0, 1)

y=x+1

思考:
(1)你画一次函数图像的步骤是什么? 列表﹑描点﹑连线 (2)画一次函数的图像有没有更简捷的方法呢? 只要确定两个点的位置: 两点确定一条直线 y=kx+b(k,b为常数,k

?0) 常取点:
? b ? ? , 0 ? ? ? k ?

?0,b?

思考:

y= x+1

(3)点 A(-3,-2)﹑B(5,8)

在此函数图像上吗?
(4)若(-6,a)在函数图像上,a=?

(5)求其与两坐标轴所围成的三角形的面积?

画出下列正比例函数的图像: (1) y=x

(2) y=3x
(3) y=-x

(4) y=-3x

思考
观察这些正比例函数的图像,你有什么发现?

y ? ?3 x
y ? ?x

y

y ? 3x

y?x

1

0

1

x

(1)正比例函数的图像是经过原点的一条直 线。

(2)当 k>0时,图像经过一三象限,y随x 的增大而增大.
(3)当 k<0时,图像经过二四象限,y随x 的增大而减小. (4)当 |k| 越大时,图像越靠近y轴.

正比例函数y=kx(k是常数,k≠0) 的图像和性质 k的正负性 y=kx的图像 y=kx经过的象限 性质 图像必经过的点 一、三象限 二、四象限 k> 0 k< 0

y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
(0,0)和(1,k)

例1. 如果正比例函数 y=(8-2a)x 的图
像经过二、四象限,求a的取值范围。

解:∵该函数图像经过二、四象限 ∴比例系数k=8-2a<0
∴a>4 变: 如果正比例函数y=(8-2a)x, y的值 随x的值增大而增大,求a的取值范围。

a<4

看谁反应快
1. 函数 y=4x 经过 一、三 象限,
y 随 x 的变化:

y随x的增大而增大。

y随x的减小而减小。

2.下列图像哪个可能是函数y=-8x

的图像(

B )

A

B

C

D

3. 如果函数 y= - ax 的图像经过 一、三象限,那么y = ax 的图像经 过 二、四象限 .

b 4.已知 ab ? 0 , 则函数 y ? x 的图 a 像经过哪些象限?
二、四象限

在同一坐标系中,画一次函数y=2x+2、

y=2x、 y=2x-2的图像.

y 4 3 2 1

-4 -3 -2 -1 0 -1 -2

1

2

3

4

x

y=2x+2

-3
-4

y=2x-1 y=2x-2

思考

1)观察这3个函数的图像,它们的位置有何关系?
y

能否变化得到?

4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 x

y=2x+2
y=2x-1

-3
-4

y= 2 x- 2

(1)当k相同时,两直线平行 (2)直线y = kx+b (k≠0) 的图像可看作
∣b∣个单位长度

直线y = kx 进行平移

得到的

2)y=kx+b(k,b为常数,k ? 0)

中的b决定什么?
y 4 3

?b ? 0, 直线交y轴正半轴 : (0, b) ? ? 直线交y轴负半轴 : (0, b) ?b ? 0, ? ? 直线经过原点 ?b ? 0,

2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 1 2 3 4 x

y=2x+2
y=2x-1

-3
-4

y=2x-2

1. 将直线y= -x+1向下平移2个单位,可得

直线 y=-x-1

2.将直线 y=0.5x+3向 下 平移 5 单位 可得直线 y=0.5x-2.

3 .直线 y=-x+1 与直线 y=kx+3 平行,则 k = .



本节课你有哪些收获?

1.画函数图象的步骤
列表、描点、连线

2.正比例函数图象的性质

正比例函数y=kx(k是常数,k≠0) 的图像和性质
k的正负性 y=kx(k是常数, k≠0)的图像 直线y=kx经过 的象限 性质 图像必经过的点 k>0 k<0

一、三象限 y随x的增大而增大 (0,0)和(1,k)

二、四象限 y随x的增大而减小

画出下列函数的图像:

(1)y = 5x
(2)y = 2x+6 (3)y=-x-1

(4)y=-x+6

在同一坐标系内分别作出一次函数y=2x+6 y=-x y=-x+6和y=5x的图象。

y=-x+6
y=-x-1

y

y=2x+6 y=5x

6 4
2 o -2 -4

-6

-4

-2

2

4

6

x

思考
(1)上述图像中,

y=-x+6 y=-x-1

y 6 4 2

y=2x+6 y=5x

随着x值的增大,y的
值分别如何变化?跟 K值有什么关系?
-6 -4 -2 o -2 -4 2 4 6 x

当k>0时,y的值随x的增大而增大 结论: 当k<0时,y的值随x的增大而减小

2)x从0开始逐渐增
y

大时,y=2x+6和y=5x
哪一个的值先达到20?

20 15 10

y=5x y=2x+6

这说明了什么?
-15 -10 -5

5 o -5

5

10

15

x

结论:

-10

k 越大,直线越靠近 y轴,直线的倾斜程度越 大。

在同一坐标系内分别作出一次函数y=2x+6 y=-x y=-x+6和y=5x的图象。

y=-x+6
y=-x-1

y

y=2x+6 y=5x

6 4
2 o -2 -4

3)b的符号决定 什么?
6 x

-6

-4

-2

2

4

?b ? 0, 直线交y轴正半轴 : (0, b) ? ? 直线交y轴负半轴 : (0, b) ?b ? 0, ? ? 直线经过原点 ?b ? 0,

y=-x+6
y=-x-1

y

y=2x+6 y=5x

4)这些直线有
何位置关系?

6 4
2 o -2 -4

k1 ? k2 , 相交
2 4 6 x

-6

-4

-2

k1 ? k2 , 平行

一次函数 y=kx+b k 决定直线的倾斜程度和方向
1. 当k>0时,y 随 x 的增大而增大 2.当k<0时,y 随 x 的增大而减少

y

0

x

y

3.当 k 相等时,直线平行
4.当 |k| 越大时,图像越靠近y轴

0

x

一次函数 y=kx+b
b 决定直线与y轴交点位置
1. 当b>0时,直线交于y正半轴 2.当b<0时,直线交于y负半轴 3.当b = 0时,直线交于坐标原点
4.当 b 相等时,直线交于y轴同一点

y

0 y
0 y 0

x

x

x

一次函数图象与性质
一 次 函 数 y=kx+b k≠0)

y
图象

y o
x

y
x

y
x

b
o
k>0 b>0 一、二、三 y随x的增 大而增大

b

b
k>0 b<0

o

o

b
k<0 b<0

x

k,b的符号 经过象限 增减性

k<0 b>0



一、三、四 一、二、四 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减少

二、三、四 y随x的增 大而减少

例1、已知:一次函数 y=(5m-3)x+(2-n).
(1)当 m 为何值时,y 随 x 的增大而减小;

(2)当 m、n 分别为何值时,一次函数与 y 轴的交点
在 x 轴的上方?
3 解:(1)依题意,得 5m-3<0,解得 m<5, 3 所以 m<5时,y 随 x 的增大而减小. 3 5m ? 3 ? 0 (2)依题意,得 ,解得 n<2 且 m≠5, 2?n ? 0
? ? ? ? ?

3 所以当 n<2 且 m≠5时, 一次函数与 y 轴的交点在 x 轴的上方.

1.有下列函数:①y=2x+1, ②y=-3x+4, ③y=-0.5x,④y=x-6; (1)其中过原点的直线是________; (2)函数y随x的增大而增大的是__________; (3)函数y随x的增大而减小的是___________; (4)图象在第一、二、三象限的是________ 。

4.已知函数 y = kx的图象在二、四象限,那么 函数y = kx-k的图象可能是( B )
y y

0 (A )

x

0
y 0 x (B)

x y

0

x

(C)

(D)

5.

6.

7.

8.

9

10. 已知一次函数y=(1-2k)x+k的函数值 y随x的增大而增大,且图象经过一、二、
0﹤k﹤1/2 三象限,则k的取值范围是__________.

本节课你有哪些收获?



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