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选修2-1 圆锥曲线(圆锥曲线中的最值与定值问题)



圆锥曲线
圆锥曲线中的最值问题
1. (2011 北京)已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点 ?m,0 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交椭圆 G 于 4

A, B 两点.
(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. 解

: (I)由题意得 a=2,b=1,所以 c= ∴椭圆 G 的焦点坐标 (II)由题意知:|m|≥1, 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A(1, 当 m=﹣1 时,同理可得|AB|= ;
2 2 2 2 2

离心率 e=



) 点 B(1,﹣

) 此时|AB|=



当|m|>1 时, 设切线 l 的方程为: y=k (x﹣m) , 由

? (1+4k ) x ﹣8k mx+4k m

﹣4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 x1+x2=

又由 l 与圆 x +y =1 相切∴圆心到直线 l 的距离等于圆的半径即 所以 |AB|=

2

2

=1?m =

2



= |AB|= ,

]=

,由于当 m=± 1 时,

当 m≠±1 时,|AB|=

,此时 m∈(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)

又|AB|= 所以,|AB|的最大值为 2.

≤2(当且仅当 m=±

时,|AB|=2) ,

2.

x2 y2 6 ●(2007 陕西)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,短轴一个端点到右 3 a b
焦点的距离为 3 .

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的最大值. 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c,依题意 ∴b=1,∴所求椭圆方程为 .

3 ,求 ?AOB 面积 2

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . (1)当 AB⊥x 轴时, . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. 由已知 ,得
2


2 2

把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k +1)x +6kmx+3m ﹣3=0, ∴ , .

∴|AB| =(1+k ) (x2﹣x1) =

2

2

2

=

=

=

=



当且仅当

,即

时等号成立.当 k=0 时,



综上所述|AB|max=2.∴当|AB|最大时,△ AOB 面积取最大值



3.

x2 y 2 3 (2014 新课标 1)已知点 A ? 0, ?2 ? ,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F a b 2
是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 解: (Ⅰ) 设 F(c,0) ,由条件知 所以 a=2?,b =a ﹣c =1,故 E 的方程
2 2 2

,得

?又 .…. (6 分)



(Ⅱ)依题意当 l⊥x 轴不合题意,故设直线 l:y=kx﹣2,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) 将 y=kx﹣2 代入
2

,得(1+4k )x ﹣16kx+12=0,

2

2

当△ =16(4k ﹣3)>0,即

时,

从而

??

又点 O 到直线 PQ 的距离

,所以△ OPQ 的面积

=





,则 t>0,



当且仅当 t=2,k=±

等号成立,且满足△ >0, x﹣2 或 y=﹣
2 2

所以当△ OPQ 的面积最大时,l 的方程为:y= 4.

x﹣2.

(2008 北京)已知菱形 ABCD 的顶点 A, C 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,对角线 BD 所在直线 的斜率为 1.

(1)当直线 BD 过点 ?0,1? 时,求直线 AC 的方程; (2)当 ?ABC ? 60? 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 5. (2014 北京)已知椭圆 C : x ? 2 y ? 4 .
2 2

(1)求椭圆 C 的离心率;

(2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长 度的最小值.

圆锥曲线中的定值问题
6. (2015 新课标 2)椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 ,点 2, 2 在 C 上. 2 a b 2

?

?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A, B ,线段 AB 的中点为

M .证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值.
解: ( 1) 椭圆 C: =1, (a>b>0) 的离心率 , 点 (2, ) 在 C 上, 可得 ,

,解得 a =8,b =4,所求椭圆 C 方程为:

2

2



(2)设直线 l:y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(xM,yM) , 把直线 y=kx+b 代入 可得(2k +1)x +4kbx+2b ﹣8=0,
2 2 2

故 xM=

=

,yM=kxM+b=



于是在 OM 的斜率为:KOM=

=

,即 KOM?k=



∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 7. (2015 新课标 1)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C : y ?

x2 与直线 l : y ? kx ? a ? a ? 0? 交于 4

M , N 两点.
(1)当 k ? 0 时,分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN (说明理由) . (Ⅰ)由题设可得 M (2 a , a) , N (?2 2, a) ,或 M (?2 2, a) , N (2 a , a) . ∵ y? ?

x2 1 x ,故 y ? 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ,C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为 2 4

y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故y?

x2 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ,C 在 (?2 2a, a) 处的切线方程为 4

y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 .
故所求切线方程为 ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下: 设 P(0,b)为复合题意得点, M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,直线 PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2 .
2 将 y ? kx ? a 代入 C 得方程整理得 x ? 4kx ? 4a ? 0 .

∴ x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a . ∴ k1 ? k2 ?

y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k ( a ? b) = = . ? a x1 x2 x1 x2

当 b ? ? a 时,有 k1 ? k2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补, 故∠OPM=∠OPN,所以 P(0, ?a) 符合题意.



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