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专题3《函数与导数》第9练



第9练

分段函数,剪不断理还乱

题型一 分段函数的值域问题 1 ? ?log2x,x≥1, 例 1 函数 f(x)=?

? ?2x,x<1

的值域为________.

破题切入点 求各段值域,然后求并集. 答案 (-∞,2) 1 解析 因为当 x≥1 时,f(x)=

log2 =-log2x≤0, x 当 x<1 时,0<f(x)=2x<2,所以函数 f(x)的值域为(-∞,2). 题型二 分段函数的零点问题 1 ? ?? x+ ?,x≠0, 例 2 (2014· 扬州模拟)已知函数 f(x)=?? x? 则关于 x 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0 ? ?0,x=0, 有 5 个不同实数解的充要条件是________. 破题切入点 分类讨论思想,结合函数图象解决. 答案 b<-2 且 c=0 解析 可以从 c=0,c≠0 两种情形来考虑.若 c=0,则 x=0 是方程 f2(x)+bf(x)+c=0 其中 的一个根,且 f(x)[f(x)+b]=0,此时 f(x)≠0,所以 f(x)+b=0,因此当-b>2 时,f(x)+b=0 有四个根,满足题意,所以 b<-2. 题型三 分段函数的综合性问题 -x +2x,x>0, ? ? 例 3 已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 破题切入点 分段函数奇偶性的概念,结合图象分类讨论. 解 (1)∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). 当 x>0 时,-x<0,有(-x)2-mx=-(-x2+2x), 即 x2-mx=x2-2x.
2

是奇函数.

∴m=2. -x +2x,x>0, ? ? (2)由(1)知 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+2x,x<0, 当 x>0 时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1, ∴当 x∈[1,+∞)时,f(x)单调递减; 当 x∈(0,1]时,f(x)单调递增. 当 x<0 时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1, ∴当 x∈(-∞,-1]时,f(x)单调递减; 当 x∈[-1,0)时,f(x)单调递增. 综上知:函数 f(x)在[-1,1]上单调递增. 又函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增. ?a-2>-1, ? ∴? 解之得 1<a≤3. ?a-2≤1, ? 故实数 a 的取值范围是(1,3]. 总结提高 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上,因对应法则的不同而分别用几
2

个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段 函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. (2)在求分段函数 f(x)解析式时,一定要首先判断 x 属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的 关系式.

1 x ? ?2 ,x≤1, 1.设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________. ?1-log2x,x>1, ?


答案 [0,+∞) 解析 当 x≤1 时,21 x≤2,解得 x≥0,所以 0≤x≤1; 1 当 x>1 时,1-log2x≤2,解得 x≥ , 2


所以 x>1.综上可知 x≥0. ?a-3?x+5,x≤1, ? ? 2.已知函数 f(x)=?2a ? x ,x>1 ? ________. 答案 (0,2]

是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值范围是

a-3<0, ? ? 解析 由题意,得?a>0, ? ?a-3+5≥2a,

解得 0<a≤2.

3.设函数 g(x)=x2-2(x∈R), ?g?x?+x+4,x<g?x?, ? f(x)=? 则 f(x)的值域是______________________. ?g?x?-x,x≥g?x?, ? 9 答案 [- ,0]∪(2,+∞) 4 解析 由 x<g(x)得 x<x2-2, ∴x<-1 或 x>2; 由 x≥g(x)得 x≥x2-2,∴-1≤x≤2. ?x2+x+2,x<-1或x>2, ? ∴f(x)=? 2 ? ?x -x-2,-1≤x≤2.

??x+2? +4,x<-1或x>2, 即 f(x)=? 1 9 ??x-2? -4,-1≤x≤2.
2 2

1

7

当 x<-1 时,f(x)>2;当 x>2 时,f(x)>8. ∴当 x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞). 9 当-1≤x≤2 时,- ≤f(x)≤0. 4 9 ∴当 x∈[-1,2]时,函数的值域为[- ,0]. 4 9 综上可知,f(x)的值域为[- ,0]∪(2,+∞). 4 ?-2x ?-1≤x≤0?, 4.已知 f(x)=? 则下列函数的图象错误的是________. ?0<x≤1?, ? x

答案 ④

解析 先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,再将函数 y=f(x)的图象向右平移 1 个单位长 度即可得到 y=f(x-1)的图象,因此①正确;作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴的对称图形,即可 得到 y=f(-x)的图象,因此②正确;y=f(x)的值域是[0,2],因此 y=|f(x)|的图象与 y=f(x)的图 象重合,③正确;y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当 0≤x≤1 时,y=f(|x|)= x, 相应这部分图象不是一条线段,因此④不正确.

? ? 1 5.设函数 f(x)=?log 2 x,x>0, 若 f(m)>f(-m),则实数 m 的取值范围是________. ? ?log2?-x?,x<0.
答案 (-∞,-1)∪(0,1) 解析 若 m>0 ,则- m<0 , f(m) =
log 1 m
2

=- log2m , f( - m) = log2m ,由 f(m)>f( - m) ,得-
1

log2m>log2m,即 log2m<0,0<m<1;若 m<0,则-m>0,f(-m)=log 2 (-m)=-log2(-m),f(m) =log2(-m),由 f(m)>f(-m)得 log2(-m)>-log2(-m),解得 m<-1. ?a,a-b≤1, ? 6.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 f(x)=(x2-2)?(x-x2),x∈R. ?b,a-b>1. ? 若 函 数 y = f(x) - c 的 图 象 与 x 轴 恰 有 两 个 公 共 点 , 则 实 数 c 的 取 值 范 围 是 ____________________. 3 答案 (-∞,-2]∪(-1,- ) 4 2 2 ?x -2,x -2-?x-x2?≤1, ? 解析 f(x)=? 2 2 2 ? ?x-x ,x -2-?x-x ?>1,

?x -2,-1≤x≤2, 即 f(x)=? 3 ?x-x ,x<-1或x>2,
2 2

3

f(x)的图象如图所示,由图象可知 c 的取值范围为 3 (-∞,-2]∪(-1,- ). 4

? ?log2x,x>0, 7.已知函数 f(x)=? 则 f(-3)的值为________. ?f?x+2?+1,x≤0, ?

答案 2

解析 f(-3)=f(-1)+1=f(1)+2=2. 2 ? ?x +2ax,x≥2, ? 8.已知函数 f(x)= x 若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值范围是________. ?2 +1,x<2, ? 答案 -1<a<3 解析 由分段函数可得 f(f(1))=f(3)=6a+9, 故 f(f(1))>3a2?6a+9>3a2,解得-1<a<3. 2 ? ?x , x≥2, 9.已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实数 k 3 ? ??x-1? , x<2. 的取值范围是________. 答案 (0,1) 解析 画出分段函数 f(x)的图象如图所示,

结合图象可以看出,若 f(x)=k 有两个不同的实根,也即函数 y=f(x)的图象与 y=k 有两个不同 的交点,k 的取值范围为(0,1). ax+1,-1≤x<0, ? ? 10. 设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间[-1,1]上, f(x)=?bx+2 其 ,0≤x≤1, ? x + 1 ? 1 3 ? ? ? 中 a,b∈R.若 f? ?2?=f?2?,则 a+3b 的值为________. 答案 -10 解析 因为 f(x)的周期为 2, 3? ?3 ? ? 1? 所以 f? ?2?=f?2-2?=f?-2?, 1? ? 1? 即 f? ?2?=f?-2?.

b +2 1? 1? 2 b+4 1 ? ? - 又因为 f? 2?=- a+1,f?2?= = , 2 1 3 +1 2 b+4 1 所以- a+1= . 2 3 2 整理,得 a=- (b+1).① 3 又因为 f(-1)=f(1), b+ 2 所以-a+1= ,即 b=-2a.② 2 将②代入①,得 a=2,b=-4.

所以 a+3b=2+3×(-4)=-10. 2 ? ?x +2x+a,x<0, ? 11.(2013· 四川)已知函数 f(x)= 其中 a 是实数,设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)) ?ln x,x>0, ? 为该函数图象上的两点,且 x1<x2. (1)指出函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,证明:x2-x1≥1; (3)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. (1)解 函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞). (2)证明 由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 f′(x1),点 B 处的切线斜率为 f′(x2). 故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时, 有 f′(x1)· f′(x2)=-1, 当 x<0 时,对函数 f(x)求导,得 f′(x)=2x+2, 因为 x1<x2<0,所以(2x1+2)(2x2+2)=-1, 所以 2x1+2<0,2x2+2>0. 1 因此 x2-x1= [-(2x1+2)+2x2+2]≥ 2 [-?2x1+2?]?2x2+2?=1. (当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1, 3 1 即 x1=- 且 x2=- 时等号成立) 2 2 所以,函数 f(x)的图象在点 A、B 处的切线互相垂直时,有 x2-x1≥1. (3)解 当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时, f′(x1)≠f′(x2), 故 x1<0<x2. 当 x1<0 时,函数 f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为 y-(x2 1+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1), 即 y=(2x1+2)x-x2 1+a. 当 x2>0 时,函数 f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为 1 1 y-ln x2= (x-x2),即 y= · x+ln x2-1. x2 x2 两切线重合的充要条件是 1 ? ?x =2x1+2, ?2



? ?ln x2-1=-x2 1 +a ②

1 由①及 x1<0<x2 知,0< <2. x2

由①②得, 1 1 1? 1 ?2 ?2 a=ln x2+? ?2x2-1? -1=-lnx2+4?x2-2? -1. 1 1 令 t= ,则 0<t<2,且 a= t2-t-ln t. x2 4 12 设 h(t)= t -t-ln t(0<t<2), 4 2 1 1 ?t-1? -3 则 h′(t)= t-1- = <0, 2 t 2t 所以 h(t)(0<t<2)为减函数, 则 h(t)>h(2)=-ln 2-1,所以 a>-ln 2-1. 而当 t∈(0,2)且 t 趋近于 0 时,h(t)无限增大, 所以 a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞), 故当函数 f(x)的图象在点 A、B 处的切线重合时,a 的取值范围为(-ln 2-1,+∞). ? x-a ?. 12.(2013· 湖南)已知 a>0,函数 f(x)=? ? ?x+2a? (1)记 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式; (2)是否存在 a, 使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点, 在该两点处的切线相互垂直? 若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. a-x 解 (1)当 0≤x≤a 时,f(x)= ; x+2a x-a 当 x>a 时,f(x)= . x+2a 因此, -3a 当 x∈(0,a)时,f′(x)= <0,f(x)在(0,a)上单调递减; ?x+2a?2 3a 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)= >0,f(x)在(a,+∞)上单调递增. ?x+2a?2 1 ①若 a≥4,则 f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)= . 2 ②若 0<a<4,则 f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 所以 g(a)=max{f(0),f(4)}. 1 4-a a-1 而 f(0)-f(4)= - = , 2 4+2a 2+a 4-a 故当 0<a≤1 时,g(a)=f(4)= ; 4+2a 1 当 1<a<4 时,g(a)=f(0)= . 2 -a ,0<a≤1, ?44+ 2a 综上所述,g(a)=? 1 ?2,a>1.

(2)由(1)知,当 a≥4 时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求. 当 0<a<4 时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 若存在 x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线 y=f(x)在(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点处的切线互相垂直. 则 x1∈(0,a),x2∈(a,4),且 f′(x1)· f′(x2)=-1. -3a 3a 即 · =-1. ?x1+2a?2 ?x2+2a?2 3a 亦即 x1+2a= .(*) x2+2a 3a 3a ,1?. 由 x1∈(0,a),x2∈(a,4)得 x1+2a∈(2a,3a), ∈? x2+2a ?4+2a ? 3a ? ? 故(*)成立等价于集合 A={x|2a<x<3a}与集合 B=?x|4+2a<x<1?的交集非空. ? ? 3a 1 因为 <3a,所以当且仅当 0<2a<1,即 0<a< 时,A∩B≠?. 2 4+2a 综上所述,存在 a 使函数 f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直, 1? 且 a 的取值范围是? ?0,2?.



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