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高二数学必修五 等比数列前n项和



2.5等比数列的前n项和

教学目标
1.知识与技能: 使学生掌握等比数列前n项和公式及归纳、 猜想、证明法,理解错位相消法,并能灵活运 用公式 2.过程与方法: 通过公式的推导过程,培养学生类比、归 纳、猜想 、分析、综合等方面的能力,善于 运用特殊与一般、分类与整合、方程的数学思 想思考和解题,提升学生的逻辑思维能力

3.情感态度与价值观: 通过公式的探索发现过程,学生亲历结论 的“再创造”过程,体验成功与快乐,感 悟数学美通过分类讨论的教学和猜想之后 还需证明培养学生思维的严谨性通过发散 思维的教学,培养学生思维的批判性、灵 活性。

教学重点和难点
1.重点:等比数列前n项和公式、推导及应用

2.难点:等比数列前n项和公式推导思路的获得

1.引入典故,提出问题

大家好,我是花果山 水帘洞美猴王——孙 悟空耶!

最近很烦耶!花果山搞了个旅游 集团,可是经费不足,银行又不 肯贷款。怎么办呢?

这样吧,我每天向你投资100万,连 续投资30天。咱们兄弟就不讲利息了, 如果你同意的话, 你就第一天给我 1块钱,第二天给我2 咱俩就签合同吧。 块钱,第三天给我 4块钱,以后每天 给我前一天两倍钱,意思一下就算了。

不行,我得征求我的智囊团 看那猪头一脸奸笑, 的意见,然后再签。

会不会被耍呀?

假如你是花果山旅游集团智囊团, 请你帮孙悟空决策?

悟空吸纳的资金

返还给八戒的钱数

T30 =100?30 = 3000 万元

1 + 2 + 22 + 23 + L+ 229

每天投资 100 万元,
连续一个月(30天)

第一天返还 1元, 第二天返还 2元, 第三天返还 4元…… 后一天返还数为前一天的 2倍

问题: 如何求悟空返还给八戒的钱数?
S30 = 1 + 2 + 2 + ?+ 2 + 2
2 28 29

=

?

2.合作探究,解决问题
探讨: 悟空返还给八戒的钱数是:
S30 = 1 + 2 + 2 + ?+ 2 + 2
2 28 29



请问:1, 2,22,· · · ,229构成什么数列? 1+2+22+……+228+229应归结为什么数学问题呢?

合作探究,解决问题
等差数列 {an } 的前n项和
n(a1 + an ) n(n ? 1) Sn = = a1n + d 2 2

它能用首项和末项表示,那么对于 S 30 如果可以用首项和 是否也能用首项和末项表示?
S30 = 1 + 2 + 2 + ?+ 2 + 2
2 28 29

末项表示,那我们 该怎么办呢?

消去中间的一些项

合作探究,解决问题
S30=1+2+22+· · · + 228 +229 ①

探讨1: 观察相邻两项的特征,有何联系? 探讨2:
如果我们把每一项都乘以2,

就变成了与它相邻的 后一项
①式两边同乘以2则有 2S30=2+22+23+· · · +229+230 ②

比较①、②两式,你有什么发现?

合作探究,解决问题
S30 = 1 + 2 + 22 + ?+ 228 + 229

30

2S30 =???2 + 2 + 2 + ?+ 2 + 2
2 3 29

由①-②得,

?S30 = 1 ? 230
' 5

错 ② 位 相 减

S30 = 230 ?1 ? 1.0 ?1010.
'

而S30 = 3.0 ?10 ,显然S30比S30 大得多,
因此,悟空最好不要同意这样的条件, 否则会亏大的.

惨了,露馅 了! 不学数学害死 人啊!!!

3.类比推理,形成体系
S30=1+2+22+· · · + 228 +229 ①
反思: 纵观全过程,①式两边为什么要乘以2 ?

乘以3? 2 2 ? 23 ?

会达到一样的效果吗?

对于一般的等比数列我们又将怎样求得它 Let me see 的前n项和呢?

sn = a1 + a2 + a3 +???+ an?1 + an

错位相减法
设 {an } 为等比数列, a1 前n项和
2

为首项, q 为公比,它的
n ?2

Sn = a1 + a1q + a1q + ?+ a1q

+ a1q

n?1



两边同时乘以 q 为

qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + ?+ a1qn?1 + a1qn

4

错 位 相 减

由③-4


(1 ? q) Sn = a1 ?1 ? q n ?

合作探究,解决问题
(1 ? q) S n = a1 ?1 ? q n ? ? S n =

?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

分类讨论 当 q ? 1 时,
Sn = a1 ?1 ? q n ? 1? q

等比数列的 通项公式

an = a1qn?1

a1 ? an q = ; 1? q

当q=1 时, 即 {an }是一个常数 列

Sn = na1.

应用公式,牛刀小试
根据下列条件,求相应的等比数列 ?an ? 的

Sn

(1)a1 = 3, q = 2, n = 6;
1 1 ( 2) a1 = 8, q = , an = ; 2 2

5.公式应用,巩固新知
例1.求下列等比数列前8项的和.
1 1 1 1 , q ? 0. (1) , , L (2) a1 = 27, a9 = 243 2 4 8
(1)解 由题意知,
1 4 1 2

1 a1 = , q = 2

1 = , 2
8

n=8

代入公式

1? ?1? ?1 ? ? ? 2? ?2? ? S8 = 1 1? 2

? ? ? ? = 255 256

6.变式训练,加深认识
求数列a,a2,a3
n的和 a ??

解: a = 0时,S n = 0 a = 1时,S n = n
a(1 ? a ) a ? 0且a ? 1时,S n = 1? a
n

分类讨论的思想

7.巩固提高
1.写出等比数列 2,6,18,L 的前10项的和。

思考

S10 = 3 -1
10

1 1 1 2.求等比数列 , , ,L的第5项到第10项的和. 2 4 8

1 4 1 10 S= ( )( - ) 2 2

乘公比 错位相减 等比数列的 前n项和公式

小结

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q q ?1 ? ? 1?q ? 1? q Sn = ? Sn = ? 或 ?na ?na q =1 ? 1 ? ? 1

q ?1 q =1

数 学 源 于 生 活

知三求二

数 学 服 务 生 活

(1)复习今天所学内容; 必做题:课本 p58的1,2题; (2)思考题:能否用其他方法推导等比数列 前n项和公式;



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