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《数学史》1



《数学史论约》

试题

一、填空 1、数学史的研究对象是( ) ; 2、数学史分期的依据主要有两大类,其一是根据( )来分期,其一是根据 ( )来分期; 3、17 世纪产生了影响深远的数学分支学科,它们分别是(坐标思想 ) 、 ( ) 、 ( ) 、 ( ) 、 ( ) ; 4、18 世纪数学的发展以( )为主线; 5、整数 458 用古

埃及记数法可以表示为( ) 。 6、研究巴比伦数学的主要历史资料是( ) ,而莱因特纸草书和莫斯科纸草 书是研究古代( )的主要历史资料; 7、古希腊数学发展历经 1200 多年,可以分为( )时期和( )时期; 8、17 世纪创立的几门影响深远的数学分支学科,分别是笛卡儿和( )创立了解析 几何,牛顿和( )创立了微积分, ( )和帕斯卡创立了射影几何 , ( )和费马创立了概率论,费马创立了数论; 9、19 世纪数学发展的特征是( )精神和( )精神都高度发扬; 10、整数 458 用巴比伦的记数法可以表示为( ) 。 11、数学史的研究内容,从宏观上可以分为两部分,其一是内史,即( ) ,其一 是外史,即( ) ; 12、19 世纪数学发展的特征,可以用以下三方面的典型成就加以说明: (1)分析基础严密化和( ) , (2) ( )和射影几何的完善, (3)群论和( ) ; 13、20 世纪数学发展 “日新月异,突飞猛进” , 其显著趋势是: 数学基础公理化, 数学发展整体化, ( )的挑战,应用数学异军突起,数学传播与( )的 社会化协作, ( )的导向; 14、 《九章算术》的内容分九章,全书共( )问,魏晋时期的数学家( ) 曾为它作注; 15、整数 458 用玛雅记数法可以表示为( ) 。 16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史,既要研究其(历史进程) ,还要 研究其( ) ; 17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、 (毕达哥拉斯学派) 、 (厄利亚学派) 、巧辩学派、柏拉图 学派、欧多克索学派和( ) ; 18、阿拉伯数学家( )在他的著作( )中,系统地研究了当时对一元一 次和一元二次方程的求解方法; 19、19 世纪数学发展的特点,可以用以下三方面的典型成就加以说明: (1) ( ) 和复变函数论的创立; ( 2 )非欧几里得几何学问世和( ) ; ( 3 )在代数学领域 ( )与非交换代数的诞生。 20、整数 458 用古印度记数法可以表示为( ) 。 一、选择 1、数学史的研究对象是( ) ; A、数学学科知识 B、历史学科知识 C、数学学科产生、发展的历史

2、中国传统数学以( )为基础,以算为主,寓理于算; A、算筹 B、筹算 C、珠算 3、阿尔-花拉子模称为“平方和根等于数”的方程形如( ) ; 2 2 2 A、X +2X = 3 B、X + 2 =3X C、X = 2X +3 4、 《九章算术》的作者( ) ; A、是刘徽 B、是杨辉 5、柯西把分析学的基础建立在( A、导数论 B、极限论

C、不可详考 )之上。 C、集合论

三、解释 1. 古希腊数学学派 2. 阿拉伯数学 3. 中国传统数学 4. 方程术 印度数学 6、 《几何原本》 7、阿尔-花拉子模 8、牟合方盖 9、筹算 10、不可分量原理 大衍求一术 12、超实数域 13.巴比伦楔形文字泥板 14. 《海岛算经》 。 15.穷竭法原理 16.开方术 四、求解 1、用几何直观的方法证明:正五边形的边与其对角线不可以公度。 2、以 X2 + 8X = 84 为例,说明阿尔-花拉子模求解一元二次方程正根的方法,并给出相应 的几何释意。
3.以 x 3 ? 6x ? 20 为例,说明泰塔格利亚和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。

4.曲边四边形由 XY = k(k?0) ,X = 2,Y= 0,X = 8 所围成,试用不可分量原理求该曲边 四边形绕 Y 轴旋转一周所成旋转体体积。 5、用古希腊的“几何代数法”求解一元二次方程 X2 – 6X –16 =0; 6. 用秦九韶的“大衍求一术”求解一次同余式组:N ? 1(mod 7)? 2(mod 8)? 3(mod 9) 7. 用几何直观的方法证明:正方形的边与其对角线不可以公度。

8.用古希腊的“几何代数法”求解 x 2 ? ax ? b2 ? 0 并给出相应的几何释意。 五、注释 1、 “对于给定的两个数分别加上某个数,使它们成为两个平方数。 ” [丢番图方法] 用现代数学符号可以表示为:
?x ? a ? y 2 ? 2 ?x ? b ? z

丢番图的解题方法是:取 a ? 2,
4? 1 ?1 ; 4
2

b ? 3 ; 构成差 3 - 2 = 1 ; 取两数积等于该差:

1? ? ?4? ? 4? 设 x?2?? 2 ? ? ? ? ? ?



1? ? ?4? ? 4? x?3?? 2 ? ? ? ? ? ?

2

; 解得

x?

97 。 64

要求:分析丢番图解法的要点,并论证其合理性。

2、 《张丘建算经》卷上第 23 问: “今有女善织日益功疾初日织五尺今一月日织九匹三丈问日益几何 答曰五寸二十九分寸之十五 术曰置今织尺数以一月日而一所得倍之又倍初日尺数减之余为实以一月日数初一日减之 余为法实如法而一” 将题文、术文翻译成现代汉语,注释题文、术文,论述其造术原理。 3、 “求四个数,使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数,所得的仍然是一 个平方数。 ” [丢番图解法] 取四组数(65,52,39) 、 (65,56,33) 、 (65,60,25) 、 (65,63,16) ,令
? 4 ? ? x i ? 65? ? i ?1 ?2 ? x1 ? 2 ? 52? ? 39? ? 4056 ? x ? 2 ? 56? ? 33? ? 3696 ?2 ? 2 ?2 ? x1 ? 2 ? 60? ? 25? ? 3000 ? ?2 ? x1 ? 2 ? 63? ? 16? ? 2016



x1 ? 4056 ? 2,
? 65? ,解得

x2 ? 3696 ? 2,

x3 ? 3000 ? 2,

x4 ? 2016 ? 2 x1 = 4056 ? ?

代 入

?x
i ?1

4

i

??

65 ,故 x j 4056 ?3696 ?3000 ?2016

( j = 1 、2 、3 、4 ) 可求得。

要求:分析丢番图解法的要点,并说明其合理性。

4、 “今有人持米出三关外关三而取一中关五而取一内关七而取一余米五斗问持米几何 答曰十斗九升八分升之三 术曰置米五斗以所税者三之五之七之为实以余不税者二之四之六之为法实如法而一” 要求:将题文、术文翻译成现代汉语,论述其造术原理。 5、 “已知一个数为两个平方数之和,把它分成另外两个平方数之和。 ” [丢番图解法] x? + y? = m? + n? 取 13 = 2? +3? ,令 x? = (?+2)?, y? = (2 ? -3)? , 由 (? +2)? + (2 ? -3)? = 13, 解得 ? = 8/5, 故 x? = 324/25, y? = 1/25。 要求:分析丢番图的解法原理,并探讨其解法的变化; 6、 “今有与人钱初一人与三钱次一人与四钱次一人与五钱以次与之转多一钱与讫还敛聚与均 分之人得一百钱问人几何 答曰一百九十五人 术曰置人得钱数以减初钱数余倍之以转多钱数加之得人数” 要求:将题文、术文翻译成现代汉语,分析其造术原理。 7. 如图,

取KL上任一点Z,使 FZ ? FM ,由于NO非常小,设 MO ? FM , 则有 DH FT NO FT MO FZ (1) ? NO DH 有 NO ? FZ ? MO ? DH ,即 GF ? FZ ? CE ? EX ;类似地,可以得到曲边四边形 AFZK 面积
S AFZK ? DE ? DH

(2)

要求:用上例说明巴罗已经认识到微分与积分的互逆关系。 8、 《九章算术》均输第16问 “今有客马日行三百里。客去忘持衣,日已三分之一,主人乃觉。持衣追及与之而还,至 家视日四分之三。问主人马不休,日行几何。 答曰:七百八十里。 术曰:置四分日之三,除三分日之一,半其余以为法。副置法,增三分日之一,以三百里 乘之,为实。实如法得主人马一日行。 ” 要求:将题文、术文翻译成现代汉语,注释题文、术文,论述其造术原理。

《数学史论约》复习题参考答案

一、填空(22 分) 1、数学史的研究对象是(数学这门学科产生、发展的历史) ,既要研究其历史进程,还要研 究其(一般规律) ; 2、数学史分期的依据主要有两大类,其一是根据(数学学科自身的研究对象、内容结构、 知识领域的演进)来分期,其一是根据(数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁) 来分期; 3、 4、18 世纪数学的发展以(微积分的深入发展)为主线; 5、整数 458 用古埃及记数法可以表示为( ) 。 6、研究巴比伦数学的主要历史资料是(契形文字泥板) ,而莱因特纸草书和莫斯科纸草 书是研究古代(埃及数学)的主要历史资料; 7、古希腊数学发展历经 1200 多年,可以分为(古典)时期和(亚历山大里亚)时期; 8、 9、19 世纪数学发展的特征是(创造)精神和(严格)精神都高度发扬; 10、整数 458 用巴比伦的记数法可以表示为( ) 。

11、数学史的研究内容,从宏观上可以分为两部分,其一是内史,即(数学内在学科因素促 使其发展) ,其一是外史,即(数学外在的似乎因素影响其发展) ; 13、19 世纪数学发展的特征,可以用以下三方面的典型成就加以说明: (1)分析基础严密化和(复变函数论创立) , (2) (非欧几里得几何学问世)和射影几何的完善, (3)群论和(非交换代数诞生) ; 13、20 世纪数学发展 “日新月异,突飞猛进” , 其显著趋势是: 数学基础公理化, 数学发展整体化, (电子计算机)的挑战,应用数学异军突起,数学传播与(研究)的 社会化协作, (新理论)的导向; 14、 《九章算术》的内容分九章,全书共(246)问,魏晋时期的数学家(刘徽)曾为它作注;

15、整数 458 用玛雅记数法可以表示为( ) 。 16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史,既要研究其(历史进程) ,还要 研究其(一般规律) ; 17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、 (毕达哥拉斯学派) 、 (厄利亚学派) 、巧辩学派、柏拉图 学派、欧多克索学派和(亚里士多德学派) ; 18、阿拉伯数学家(阿尔-花拉子模)在他的著作( 《代数学》 )中,系统地研究了当时对一 元一次和一元二次方程的求解方法; 19、19 世纪数学发展的特点,可以用以下三方面的典型成就加以说明: (1) (分析基础严密 化)和复变函数论的创立; (2)非欧几里得几何学问世和(射影几何的完善) ; (3)在代数学 领域(群论)与非交换代数的诞生。 20、整数 458 用古印度记数法可以表示为( 二、选择题 1、数学史的研究对象是(C) ; ) 。

A、数学学科知识 B、历史学科知识 C、数学学科产生、发展的历史 2、中国传统数学以(B)为基础,以算为主,寓理于算; A、算筹 B、筹算 C、珠算 3、阿尔-花拉子模称为“平方和根等于数”的方程形如(A) ; 2 2 2 A、X +2X = 3 B、X + 2 =3X C、X = 2X +3 4、 《九章算术》的作者(C) ; A、是刘徽 B、是杨辉 C、不可详考 5、柯西把分析学的基础建立在(B)之上。 A、导数论 B、极限论 C、集合论 三、解释(28 分) 古希腊数学学派——公元前 6 世纪~公元前 3 世纪,是古希腊的古典时期,当时的哲学家也 是数学家,先后形成以一两位杰出人物为中心的组织,开展学术、或政治、或宗教活动, 这类组织被称为古希腊哲学学派,亦即古希腊数学学派。他们相继是泰勒斯学派、毕达 哥拉斯学派、厄利亚学派、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和亚里士多德学派, 他们为初等数学的开创作出重要贡献。 阿拉伯数学——公元 8 世纪~15 世纪,在中东、北非和西班牙等地的伊斯兰国家,以阿拉伯 文字书写为主的数学著作所代表的数学; 为阿拉伯数学作出贡献的人, 不止于阿拉伯人, 还有希腊人、波斯人、犹太人、甚至有基督徒。阿拉伯数学在世界数学史上有承前启后 的作用,有人称之为欧洲近代数学的“继父” 。阿拉伯数学的兴衰经历了 8~9 世纪的初 创、9~13 世纪的兴盛、14 世纪以后外传三个阶段。 中国传统数学—— 从远古到明代,在中国独立产生、发展起来的数学知识体系。它以筹算 为基础,以算为主,寓理于算,广泛应用。它有明显的算法化、模型化、程序化、机械 化的特征。 方程术——载于《九章算术》卷八 方程章,按现代数学的观点,方程术是指多元线性方程 组的求解方法。方程术采用线性方程组系数的增广矩阵,通过“遍乘” 、 “直除”的方法, 即矩阵的初等行变换,将矩阵化为三角阵,逐一求解各变量的值。这种方法与 19 世纪 德国数学家高斯的方法完全一致,只是矩阵的书写是竖式,转置后与现代的表达完全一 样。而且,3 世纪的刘徽在注释方程术时,还明确指出方程组有解的条件,即“行之左 右无所同存,且为有所据而言耳。 ” 印度数学—— 6世纪 — 12世纪,印度文明古国的数学与历法都受婆罗门宗教的 影响而发展起来,同阿拉伯、中国都有来往,但记载不详。 在印度 ganita (计算)载于宗教书,年代不详,公元后该字被分为 Pati-ganita (算术),Bija-ganita(代数),Krestra-ganita(几何)。 “因明”似与逻辑学同义,与数学关系不明,古希腊似的几何论证并不发展, 先进 的十进位值制,使用记号的代数却发展起来。 这个时期有著名的数学家: Arya-Bhatta(476 ~ 550)阿利阿伯哈塔 Brahmagupta(598 ~ 660)婆罗摩及多“梵藏” Bhaskara — Acharya(1114 ~ 1185)婆什迦罗 6、 《几何原本》——公元前 3 世纪,古希腊数学家欧几里得的巨著。 版本: 目前可见最早的是888年希腊文抄本, 最早的中译本是1607年徐光启笔译, 后来1857 年李善兰续中译本,1925年T.LHeath英译本比较权威,1990年有中译本。 内容:原版13卷,后人有扩充成15卷的版本。 13卷的内容包括:

[1] 直线形, [2] 几何代数法, [3] 圆, [4] 多边形, [5] 比例论 [6] 相似形, [7] [8] [9] 数论, [10] 不可公度比, [11]立体图形, [12] 求积术, [13] 正多面体; 这些数学知识可以追溯到古希腊古典时期的数学学派,乃至巴比伦和古埃及。 特征:1.大量引用古希腊古典时期数学家的数学成就; 2.采用独特的编写方式:先给出定义,公设,公理,再由简到繁,由易到 难地证明一系列命题;首次用公理化方法建立数学知识逻辑演绎体系,成为后世西方 数学的典范。 7、阿尔-花拉子模——( 约 780 ~ 840,一说850 ) ( A - Khowarizmi,Mohammed ibn Musa ) 曾担任巴格达“智慧宫” 的主持人,著有《代数学》 、 《Al - jabr W`al muqabala 》 《Algebra》 ,意为“复原”与“化简” ;其中,讨论一元一次、二次方程求解: 用 “数” 、 “根” 、 “平方” 分别表示:常数、x、x? ,研究以下形式的方程: ax? =bx ax? =c bx=c ax? =bx+c ax? +bx=c ax? +c=bx 譬如 x? + 10x = 39 称之为“平方和根等于数”型,对于每一种方程给出解法, 求出“根”和“平方” 两个结果,但是一般只有正根,另外给出几何“证明” ,以示 其解法的合理性。 8、牟合方盖——一个正方体用它的两个中心轴线互相垂直的内切圆柱贯穿,所得到的相 贯体;它是公元 3 世纪的刘徽在注“开立圆术”时提出的概念,并认识到它与其内切球 的体积之比为 4 :?,但是不会计算它的体积;6 世纪的祖暅用“缘幂势既同,则积不 容异”的原理,求出了它的体积,进而求出了球体积。 9、筹算——在中国传统数学中,把生产、生活中的实际问题转换成一定的数学模型,采用 算筹表示数,按照特定“术文”进行运算,从而解决实际问题。筹算具有明显的算法化、模型 化、程序化、机械化的特征。筹算以算为主,寓理于算,广泛应用。 10、 不可分量原理——意大利数学家Cavalieri, Francesco Bonaventure (1598 ~ 1647) 在 《用 新的方法推进连续体的不可分量的几何学》 (1635)提出“不可分量原理” :线段是无数个等距 点构成,面积是无数个等距平行线段构成,体积是无数个等距平行平面构成,这些点、线段、 平面是长度、面积、体积的“不可分量” 。 Cavalieri 利用这种“不可分量” ,进行长度、面积、体积 的计算及其相关的推理,但是, 他未能对“不可分量”作出严格的论述。数学家们对此褒贬不一。 1644年, Cavalieri本人发 现了关于“不可分量”的悖论。 11、 大衍求一术—— “大衍求一术”起源于 5 世纪的 《孙子算经》卷下第 26 问“物不 知 其数” , 世纪秦九韶的《数书九章》 (1247年)总结出该算法,现在国际上称之为“中国剩余 定理” 。 秦九韶的工作可以用现代数学术语表示如下: 对于一般的一次同余式组 N ? Ri (mod Ai) i = 1, 2, 3,…n, 给出―大衍总数术‖,它包 括两部分: 1)将 {Ai} ,化为 {ai} ,使 (ai,aj) = 1, i ? j , 得到等价问题 N ? Ri (mod ai) i =1,2,3,…n ;此为化“问数”为“定数” 。 2)求解 ki ×gi ? 1 (mod ai) i = 1, 2, 3, … n ; 得到 ki 。 从而,N = ? Ri Ki (M/ai) - pM , i = 1, 2, 3, … n ; 其中 M = ?ai , gi? ai , 为 mI = M/aI 累减 ai 所得余, p 为适当的非负整数, 使N ? M ; 此为 “大衍求一术” 。 12、超实数域——在美国数学家 Robinson,Abraham(1918 ~ 1974)创立非标准分析中,假 设存在实数域 R 的一个有序域正真扩张 R*,R* 的元素称之为超实数。

若 x?R* ,? r?0 r?R ,有|x|?r ,则 x 称为无穷小;若 x、y ?R* ,x - y 是无 穷小,则 x 、y为无限接近,记为 x ? y 。 对于每一个有限超实数 x ,存在唯一实数 r , 使 r ? x ,则这个唯一的 r 为 x 的标准部分,记为 r = St (x) 。 ? x?R* ,在 r = St (x) 周围有与 x 相差为无穷小的单子的集合。在此基础之上, 建立超实数域上的微积分,把无穷小作为一个逻辑实体,又有求标准部分的方法,为微 积分的运算和推理带来了方便。 13. 巴比伦楔形文字泥板——现在我们研究巴比伦数学知识的积累最可靠的资料, 它是用截面 呈三角形的利器作笔,在将干而未干的胶泥板上斜刻写而成的,由于字体为楔形笔画,故称之 为楔形文字泥板书。从 19 世纪前期至今,相继出土了这种泥板有 50 万块之多。其中,大约有 300 至 400 块是数学泥板,数学泥板中又以数表居多,据推测这些数表是用来运算和解题的。 这些古老的泥板,现在散藏于世界各地许多博物馆内,并且被一一编号。在这些泥板书中,记 录了巴比伦人当时的数学成就。 14. 《海岛算经》——刘徽注释《九章算术》勾股之后,感到意犹未尽,又自撰了九问附于勾 股之后,皆为重差术之题。因此,有的《九章算术》版本把它作为第十章,称为重差。后来, 还是将它独立出来成为《海岛算经》 。 15. 穷竭法原理——如果从任何量中减去不小于其一半的量, 从余下的量中再减去不小于其一 半的量,如此类推,那么最后余下的量将小于任何事先给定的同类量。 16.开方术——最早载于《九章算术》少广第 12 问的开平方术,还有开带从平方,以及开立 方和开带从立方术, 后来又演变成增乘开方法, 可以开任意次方, 并且算法规范, 人们都认为, 中国传统数学中的“开方术”与高次方程数值解相关。 四、求解(24 分) 3、用几何直观的方法证明:正五边形的边与其对角线不可以公度。 解: a

b r3 r1 r2

b = a + r1,a = r1 + r2,r1 = r2 + r3 ,r2 = r3 + r4, · · · · · · ,rn = rn+1 + rn+2 · · · · · · ,
只有当 rn = 0 时,a 与 b 才能公度,而这是不可能的。 4、以 X2 + 8X = 84 为例,说明阿尔-花拉子模求解一元二次方程正根的方法,并给出相应 的几何释意。 解: [解法步骤] ____________ ___________ 8/2 ? (8/2 ) ? ? ( 8/2 ) ? + 84 ? ? ( 8/2 ) ? +84 ? ? ( 8/2 ) ? +84 - (8/2 ) ? 10 – 4 = 6 ? 6 2 = 36 4x 42 4x 42 4x

4x

4x

x2

4x

x2

3.以 x 3 ? 6x ? 20 为例,说明泰塔格利亚和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。

3 ? 3mn (m ? n) ? m 3 ? n 3 ,则有 泰塔格利亚的解法:设 x ? m ? n, 考虑到 (m ? n)
3 3 ? ? m ? (?n) ? ?2 ? 3mn ? 6 ? m ? (?n) ? ?8 ? ? 3 ? ? 3 ? 3 3 3 3 ? ?m ? n ? 20 ?m ? (?n) ? 20 ?m ? (?n) ? 20

对于这个方程组用巴比伦人的方法可以求解:

b ?? ?b? ? ?? ?b? ? ?a ? 2 ? 2? ? 2?
2 2

2

2

? ?b ? ? a ? ?a ? b ?b 2 2 2
2 2



20 ? ? ? 20 ? ? ?? ? 20 ? ? ? (?8) ? 2 ? 2 ? ? 2 ?
? 3 20 20 2 ? (?8) m ? ? ? ? 2 2 ? 2 ?(?n) 3 ? 20 ? 20 ? (?8) ? 2 2 ?

? (?8) ? 20 ? ?20 ? ? (?8) ? ?20 2 2 2
2 2

可求出

? ? ? ?

,开立方后, x ? m ? n 即得。

卡丹的工作:用 y ? x ? r 变换,化 x 3 ? ax 2 ? bx ? c 为 x 3 ? px ? q 型三次方程,再用

3

泰塔格利亚的方法求解,此后他还对这种方法给出了几何证明。

如图,考虑两个正方体AE,CL,其体积之差值为20。 若令 AC×CK = 2, 能作出 BC = CK, 则 AB = AC - BC 为所求。 为此, 在 正方体AE 中 划分出正方体DC,使 VDC = VCL,于是产生以下分割: VDC = BC? , VDF = AB? ,VDE = BC× AB? ,VDA = AB×BC? , VAE = AC? , BC? = CK? 。 由图,可见 AC? - BC? = 3VDA + 3VDE + VDF (1) 由于 AC×CK = 2,所以 AC×3CK = 6,即有 AB×AC×3CK = 6 AB,3 AB×AC×BC = 6 AB (2) 而 AB×AC×BC =VDA + VDE, 所以 6AB = 3 AB×AC×BC = 3×DA + 3×DE (3) 将(3)代入(1)得 AC? - BC? = 6AB + VDF,即有AB? + 6AB = 20,故AB = AC - BC. 4.曲边四边形由 XY = k(k?0) ,X = 2,Y= 0,X = 8 所围成,试用不可分量原理求该曲边 四边形绕 Y 轴旋转一周所成旋转体体积。 解:

__ 取 OA = 2 ?2k ,任取垂直于 y 轴的截面 MN , 可有:S侧 = 2?· OL· LM = 2k·? ,S截 = ?· (OA/2)? = 2k·? ; 一一对应,两两相等,由不可分量原理,得 V = 2 k ·m ·? 。

5、用古希腊的“几何代数法”求解一元二次方程 X2 – 6X –16 =0; 解:将方程化为 X2 – 6X – 42 = 0 ; 如图,取 AB = 6, AP = PB,作 BC 垂直于 AB,取 BC = 4,以 P 为圆心,以 PC 为半径,划弧,交 AB 的延长线于 D,则有向线段 AD 或 DB 为所求的解。

用秦九韶的“大衍求一术”求解一次同余式组:N ? 1(mod 7)? 2(mod 8)? 3(mod 9) 解: 求“定数” : 7 8 9 a1=7 a2=8 a3=9 a1a2a3 为 Ai 的最小公倍数,且ai|Ai ,即得 N ? 1 (mod7) ? 2 (mod8) ? 3 (mod9) 求“衍母” : M = 7 ×8 ×9 = 504 求“衍数” : m1=72 m2=63 m3=56 求“奇数” : g1=2 g2=7 g3=2 求“乘率” :k1 ×2 ? 1(mod7) k2 ×7 ? 1(mod8) k3 ×2 ? 1(mod9) k1 = 4 k2 =7 k3 = 5 求“泛用” : k1m1=288 k2m2=441 k3m3=280 故得 N ? 1×288 + 2×441 + 3×280 (mod 7×8×9) N = 2010 - 3×504 = 498 . 用几何直观的方法证明:正方形的边与其对角线不可以公度。

如上图,正方形 ABDC 的边 AB ? a ,对角线 AD ? b ,由 A 作∠BAD 的平分线交 BD 于 E, 过 E 作 EB?⊥AD, 交 AD 于 B?,过 E 作∠B?ED 的平分线交 B?D 于 E?,过 E?作 E?B"⊥BD, 交 BC 于 B",过 E?作∠B" E?D 的平分线交 B" D 于 E",BE=r1 ,B?E?= r2 。通过简单的几何证明, 就可以得到如下的关系式:

b ? a ? r1 , a ? 2r1 ? r2 , r1 ? 2r2 ? r3 ??rn ? 2rn?1 ? rn?2 ?? ,
其中的 rn 可以无穷无尽地写下去,所以正方形的边 a 与对角线 b 之比成为不可公度比,即无 法找到一个单位能够分别把 a 和 b 量尽。 用古希腊的“几何代数法”求解 x 2 ? ax ? b2 ? 0 并给出相应的几何释意。
如 图 , 设

AB ? a,

AH ? x,

HB ? (a ? x) ,

应有

x(a ? x) ? b2 , 即 解 方 程

x 2 ? ax ? b 2 ? 0 。

AM ? MB,

PM ? b,

a PH ? , 2

a ?a? x ? ? ? ? ? b 2 满足 x 2 ? ax ? b 2 ? 0 。 2 ?2?

2

五、注释(26 分) 1、 “对于给定的两个数分别加上某个数,使它们成为两个平方数。 ” [丢番图方法] 用现代数学符号可以表示为:
?x ? a ? y 2 ? 2 ?x ? b ? z

丢番图的解题方法是:取 a ? 2,
? ? 1 ?4? ? 4 ? ? 1 ;设 x ? 2 ? ? 4 ? 4 ? 2 ? 1 ? ? ? ?
2

b ? 3 ; 构成差 3 - 2 = 1 ;取两数积等于该差:
1? ? ?4? ? 4? x?3?? 2 ? ? ? ? ? ?
2



; 解得

x?

97 。 64

要求:分析丢番图解法的要点,并论证其合理性。

[分析] 上面我们看到的是不定方程, 如何求解?上述解法合理吗?我们知道解方程一般原理是消 元、降次,但是丢番图是如何消元、降次的呢,他确实是很有讲究的。 [评论] 我们不妨设 b ? a ,取 b ? a ? z 2 ? y 2 ? ( z ? y)(z ? y) ? uv ;
u?v ? z? ? ?u ? z ? y ? 2 令 ? ,则 ? ; u ? v ?v ? z ? y ?y ? ? ? 2

?u?v? 得 x?a ?? ? , ? 2 ?
2

2

?u?v? y?b ?? ? 。 ? 2 ?
2

2

?u?v? ?u?v? 关键在于 ? ? ?? ? ? uv 。 ? 2 ? ? 2 ?
2、 《张丘建算经》卷上第 23 问: “今有女善织日益功疾初日织五尺今一月日织九匹三丈问日益几何 答曰五寸二十九分寸之十五 术曰置今织尺数以一月日而一所得倍之又倍初日尺数减之余为实以一月日数初一日减之 余为法实如法而一” 将题文、术文翻译成现代汉语,注释题文、术文,论述其造术原理。 [译文] 今有一女子善长织布,一天比一天快。第一天织 5 尺,一个月织 9 匹 3 丈。 问:她每天比前一天多织多少?答:5 寸 15 / 29 寸。 [解法] (9 匹 3 丈 / 30)?2 , 5 尺?2 , (9 匹 3 丈 / 30)?2 - 5 尺?2 , 30 – 1 , [(9 匹 3 丈 / 30)?2 - 5 尺?2] / (30 - 1) [造术原理] 按现代数学的观点,这是关于等差数列的问题。 已知: 首项 a1 ,前 n 项的和 Sn ,求:公差 d ; 解法: Sn =[(a1 + an)? n ] / 2, 而 an = a1 +(n - 1)d , Sn =[(a1 + a1 +(n - 1)d)] / 2 , d= (Sn ?2 - 2 a1 )/ (n - 1) 这与以上解法的表达完全一样,可见中国古代数学中已经有关于等差数列的 求解问题。 3、 “求四个数,使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数,所得的仍然是一 个平方数。 ”

[丢番图解法] 取四组数(65,52,39) 、 (65,56,33) 、 (65,60,25) 、 (65,63,16) ,令
? 4 ? ? x i ? 65? ? i ?1 ?2 ? x1 ? 2 ? 52? ? 39? ? 4056 ? x ? 2 ? 56? ? 33? ? 3696 ?2 ? 2 ?2 ? x1 ? 2 ? 60? ? 25? ? 3000 ? ?2 ? x1 ? 2 ? 63? ? 16? ? 2016



x1 ? 4056 ? 2,
? 65? ,解得

x2 ? 3696 ? 2,

x3 ? 3000 ? 2,

x4 ? 2016 ? 2 x1 = 4056 ? ?

代 入

?x
i ?1

4

i

??

65 ,故 x j 4056 ?3696 ?3000 ?2016

( j = 1 、2 、3 、4 ) 可求得。

要求:分析丢番图解法的要点,并说明其合理性。 [分析] 丢番图解法的合理性,关键在于巧妙地取了四组勾股数。在直角三角形中,斜

边 c 与两直角边 a , b 有
? 4 ? c ? a ? b , 所以 c ? 2ab ? a ? b ? 2ab ? (a ? b) ,故能满足 ? ? x i ? ? x j ? a 2 j 。 ? i ?1 ?
2 2 2 2 2 2 2
2

所以,能确保结论的正确。 5、“今有人持米出三关外关三而取一中关五而取一内关七而取一余米五斗问持米几何 答曰十斗九升八分升之三 术曰置米五斗以所税者三之五之七之为实以余不税者二之四之六之为法实如法而一” 要求:将题文、术文翻译成现代汉语,论述其造术原理。 [译文] 今有一人带米出关,外关收取所带米的三分之一,中关收取五分之一,内关收取 七分之一,最后剩米五斗。 问:原带米多少? 答:10 斗 9 升 3/8 升。 [解法] 5 斗?3?5?7, 2?4?6, (5 斗?3?5?7)/(2?4?6) [造术原理] 按现代数学的观点,可以列方程如下: 设 原带米 x,则有: x ?(1 - 1/3)?(1 - 1/5)?(1 - 1/7) = 5 斗 即: x ?(2/3)?(4/5)?(6/7) = 5 斗 x = (5 斗?3?5?7)/(2?4?6) 这与上述解法的表达完全一样,可见造术原理。 5、 “已知一个数为两个平方数之和,把它分成另外两个平方数之和。 ” [丢番图解法] x? + y? = m? + n? 取 13 = 2? +3? ,令 x? = (?+2)?, y? = (2 ? -3)? ,

由 (? +2)? + (2 ? -3)? = 13, 解得 ? = 8/5, 故 x? = 324/25, y? = 1/25。 要求:分析丢番图的解法原理,并探讨其解法的变化; [另法] 令 x? = ? ?, y? = (2 ? -7)? , ?? + (2 ? -7)? = 13 即 5? ? - 28 ? + 49 = 13 ,5? ? - 28 ? + 36 = 0 解得 ? = 18/5或 ? = 2,但 ? = 2 应舍弃。 [评论] 显然还有其他方法。 但是要注意到设 (a? ?b)? + (c ? ?d)? = 13, 2 2 当 b + d =13 时,与丢番图解法的情形一致, 否则,就会出现 [另法] 的情形。 6、 “今有与人钱初一人与三钱次一人与四钱次一人与五钱以次与之转多一钱与讫还敛聚与均 分之人得一百钱问人几何 答曰一百九十五人 术曰置人得钱数以减初钱数余倍之以转多钱数加之得人数” 要求:将题文、术文翻译成现代汉语,分析其造术原理。 [译文] 今有给人钱的事,第一人给3个钱,第二人给4个钱,第三人给5个钱,递次每多 给1个钱,给完后又全部收回所有钱,而平分给每个人100个钱。 问:共有多少人? 答:195人。 [解法] (100 – 3) (100 – 3)×2 (100 – 3)×2 + 1 [造术原理] 按照现代数学的观点,这是关于等差数列的问题。 S 已知:a1 = 3, d = 1, n ? 100 ,求:项数 n; n 解法:a1 = 3,an = (n - 1)d,
? Sn ? ? ? a1 ? ? 2 ? d n ( a1 ? a n ) a1 ? a1 ? ( n ? 1)d S n n ? Sn ? ? , ,n ? ? 。 2 2 n d

这与以上解法比较,其结果是相等的,但是,如果公差不等于1, “术文”的解法 就容易产生歧义,这是中国传统数学中的“术文”过于简略所致。 7. 如图,

取KL上任一点Z,使 FZ ? FM ,由于NO非常小,设 MO ? FM , 则有 DH FT NO FT MO FZ (1) ? NO DH 有 NO ? FZ ? MO ? DH ,即 GF ? FZ ? CE ? EX ;类似地,可以得到曲边四边形 AFZK 面积
S AFZK ? DE ? DH

(2)

要求:用上例说明巴罗已经认识到微分与积分的互逆关系。 设

AF ? x, FM ? y, NO ? dx, MO ? dy, FZ ? z, DH ? 1 , 则 上 述 (1) 式 相 当 于
x x

dy z ? , dy ? zdx ,而 (2) 式相当于 dx 1

? zdx ? ? dy ? y
0 0

巴罗把“求切线”与“求面积”的问题集中在一起来考虑,从上述(1)式到(2)式的推 导,可见巴罗已经认识到微分与积分的互逆关系。 8、 《九章算术》均输第16问 “今有客马日行三百里。客去忘持衣,日已三分之一,主人乃觉。持衣追及与之而还,至 家视日四分之三。问主人马不休,日行几何。 答曰:七百八十里。 术曰:置四分日之三,除三分日之一,半其余以为法。副置法,增三分日之一,以三百里 乘之,为实。实如法得主人马一日行。 ” 要求:将题文、术文翻译成现代汉语,注释题文、术文,论述其造术原理。 现代表达式注释: 13 300? 13 3 1 5 5 5 5 1 13 x 24 24 。 ? ? , ?2 ? , ? ? , ? , x? 5 4 3 12 12 24 24 3 24 300 5 24 24 这与上述解法的表达完全一样,可见造术原理。



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