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高二数学选修2-2、2-3综合测试题二



高二数学选修 2-2、2-3 测试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.过函数 y ? sin x 图象上点 O(0,0) ,作切线,则切线方程为 ( A. y ? x B. y ? 0
4



C. y ? x ? 1

D. y ? ? x ? 1

2.设 ?1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a12 x 12 ,则 a0 ? ( ) A.256 3.定义运算 A.3 B. 0 C. ? 1 D.1

a c i 2 ( i 是虚数单位)为 ( ) ? ad ? bc ,则 b d 1 i
B. ? 3 C. i 2 ? 1 D. i 2 ? 2

4.任何进制数均可转换为十进制数,如八进制 ?507413 ?8 转换成十进制数,是这样转 换 的 : ?507413 ?8 ? 5 ? 85 ? 0 ? 84 ? 7 ? 83 ? 4 ? 82 ? 1? 8 ? 3 ? 167691, 十 六 进 制 数

?2 (2,3,4,5,6)16 ? 2 ?164 ? 3 ?163 ? 4 ?162 ? 5 ?16 ? 6 ? 144470, 那么将二进制数 ?1101
转换成十进制数,这个十进制数是 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15

5.用数学归纳法证明: “两两相交且不共点的 n 条直线把平面分为 f (n) 部分,则
f ( n) ? 1 ? n(n ? 1) 。 ” 在证明第二步归纳递推的过程中, 用到 f (k ? 1) ? f (k ) + 2



( ) A. k ? 1 B. k C. k ? 1 D.
k ( k ? 1) 2

6. 记函数 y ? f ( 2) ( x) 表示对函数 y ? f ( x) 连续两次求导 , 即先对 y ? f ( x) 求导得

y ? f ' ( x) , 再对 y ? f ' ( x) 求导得 y ? f ( 2) ( x) , 下列函数中满足 f ( 2) ( x) ? f ( x) 的是
( ) A. f ( x) ? x B. f ( x) ? sin x C. f ( x) ? e x D. f ( x) ? ln x

7.甲、乙速度 v 与时间 t 的关系如下图, a(b) 是 t ? b 时的加速度, S (b) 是从 t ? 0 到
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t ? b 的路程,则 a甲 (b) 与 a乙 (b) , S甲 (b) 与 S乙 (b) 的大小关系是

( )

A. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) C. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) 8. 如图, 蚂蚁从 A 沿着长方体的棱以

B. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) D. a甲 (b) ? a乙 (b) , S甲 (b) ? S乙 (b) 的方向行走至 B, 不同的行走路线有( )

v
甲 第 8 题图 乙 第7题 图图

B

b
B. 7 条

t

A
C.8 条 D.9 条 )

A.6 条

9.如下图,左边的是导数 y ? f ' ( x) 的图象,则函数 y ? f ( x) 的图象是 (

y=f '(x) -1 1
-1

y=f(x) 1 A

y=f(x) -1 B
-1 C 1

y=f(x)
y=f(x)

1

-1

D

1

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10?,由 M 到 M 上的一一映射中,有 7 个数字和自身对 10.设 M ? ?
应的映射个数是 ( ) A.120 B.240 C. 107 D.360

第 2 页 共 12 页

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二.填空题(本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.公式 揭示了微积分学中导数和定积分之间的内在 联系;提供了求定积分的一种有效方法。 12 .若有一组数据的总偏差平方和为 100 ,相关指数 R 2 =0.75 ,则其残差平方和 为 。 13.已知数列 ?a n ? 为等差数列,则有

a1 ? 2a2 ? a3 ? 0, a1 ? 3a2 ? 3a3 ? a4 ? 0
aaaa ? 464 ? ? ? a ? 0 1 2 3 4 5
类似上三行,第四行的结论为__________________________。 14 . 已 知 长 轴 长 为 2 a , 短 轴 长 为 2b 椭 圆 的 面 积 为 ?ab , 则

?

3

?3

2 1?

x2 dx = 9



三.解答题(本大题 6 个小题,共 80 分) 15. (10 分)如图,阴影部分区域是由函数 y ? cos x 图象,直线 y ? 1, x ? ? 围成, 求这阴影部分区域面积。

y
y=1 x=? f?x? = cos?x?
第 1 题图

x

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16. (12 分)据研究,甲磁盘受到病毒感染, 感染的量 y(单位: 比特数)与时间 x(单位: 秒)的函数关系是 y ? e x ,乙磁盘受到病毒感染,感染的量 y(单位: 比特数)与时间 x(单位:秒)的函数关系是 y ? x 2 ,显然当 x ? 1 时, 甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁 盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之.

17.(13 分)(1)抛掷一颗骰子两次,定义随机变量

? ??

?0, (当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 ) ? 1, (当第一次向上一面的点 数等于第二次向上一面 的点数 )

试写出随机变量 ? 的分布列(用表格格式); (2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向 上一面点数也是偶数的概率.

第 4 页 共 12 页

18. (15 分)已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x (1)求 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x 的极值; (2) 请填好下表(在答卷),并画出 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x 的图象(不必写出作图步骤); (3)设函数 g ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? a 的图象与 x 轴有两个交点,求 a 的值。 x ? ? -2 -1 0 1 2 3 ? ? f ( x)

19. (15 分)编辑一个运算程序: 1@1 ? 2 , m @ n ? q , m @(n ? 1) ? q ? 2 . (1)设 an ? 1@ n ,求 a2 , a3 , a4 ; (2)由(1)猜想 an 的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想。

第 5 页 共 12 页

20. (15 分)为研究“在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率的和”这 个课题,我们可以分三步进行研究: (I)取特殊事件进行研究;(Ⅱ)观察分析上述 结果得到研究结论; (Ⅲ)试证明你得到的结论。现在,请你完成: (1)抛掷硬币 4 次,设 P0 , P 1, P 2,P 3, P 4 分别表示正面向上次数为 0 次,1 次,2 次,3 次,4 次 的概率,求 P0 , P 1, P 2,P 3, P 4 (用分数表示),并求 P 0 ?P 1 ?P 2 ?P 3 ?P 4; (2)抛掷一颗骰子三次,设 P0 , P 1, P 2, P 3 分别表示向上一面点数是 3 恰好出现 0 次,1 次,2 次,3 次的概率,求 P0 , P 1, P 2,P 3 (用分数表示),并求 P 0 ?P 1 ?P 2 ?P 3; (3)由(1)、(2)写出结论,并对得到的结论给予解释或给予证明.

第 6 页 共 12 页

答案 一.选择题 题号 1 答案 A

2 D

3 B

4 B

5 C

6 C

7 C

8 A

9 D

10 B

二.填空题(本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,只填结果,不要过程,把答 案填写在答题卡 上) ... 11.

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a), ( F ' ( x) ? f ( x))

12.25 13. a1 ? 5a2 ? 10a3 ? 10a4 ? 5a5 ? a6 ? 0 14. 3? 三.解答题(本大题 6 个小题,共 80 分,必需写出必要的文字说明、推理过程或计 算步骤,把答案填写在答题卡 上) ... 15. (10 分)如图,阴影部分区域是 由 函 数 y ? cos x 图 象 , 直 线
y ? 1, x ? ? 围成,求这阴影部分区域

y
y=1 x=? f?x? = cos?x?

面积。 解法一:所求图形面积为

?

?

0

(1 ? cos x)dx ----------(5 分)

x

? ( x ? sin x) -----------------(9 分) 0

?

? ? ------------------------------(10 分) 解法二:所求面积是以长为 ? ,宽为了 2 的矩形的面积的一半,所以所求的面积为 ?。 --------------------------------------(10 分) 16. (12 分)据研究,甲磁盘受到病毒感染, 感染的量 y(单位: 比特数)与时间 x(单位:
秒)的函数关系是 y ? e x ,乙磁盘受到病毒感染,感染的量 y(单位: 比特数)与时间 x(单位:秒)的函数关系是 y ? x 2 ,显然当 x ? 1 时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁 盘受到病毒感染增长率大.试根据上述事实提炼一个不等式,并证明之.
第 7 页 共 12 页

解:因为甲磁盘受到感染的感染增长率是 y ? e x 的导数 y ' ? e x ,乙磁盘受到病毒感染 增长率为 y ? x 2 的导数 y ' ? 2x 又因为当 x ? 1 时,甲磁盘受到病毒感染增长率比乙磁盘受到病毒感染增长率大

? e x ? 2x( x ? 1) ------------------------------------(8 分)
下面证明:? e x ? 2 x

设f ( x) ? e x ? 2x ,? x ? 1 ,? f ' ( x) ? e x ? 2 ? e ? 2 ? 0 ,所以? f ( x) ? e x ? 2x, 在 ?1,???
上是增函数, ? f ( x) ? f (1) ? 0 即? e x ? 2x( x ? 1) .-----------------------(12 分) 17 . (13 分 )(1) 抛 掷 一 颗 骰 子 两 次 , 定 义 随 机 变 量

? ??

?0, (当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 ) ? 1, (当第一次向上一面的点 数等于第二次向上一面 的点数 )

试写出随机变量 ? 的分布列(用表格格式); (2)抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,求第二次掷得向 上一面点数也是偶数的概率. 解(1)解法 1:当第一次向上的面的点数等于第二次向上的面点数时,有 6 种情况,所 以 6 1 5 P(? ? 0) ? ? ,由互斥事件概率公式得, P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? -------(5 分) 36 6 6 所以所求分布列是 0 1 ?
1 5 6 6 --------------------------------------------------------------------------------------------------------(8 分)

P

2 A6 30 5 ? ? 解法 2: P(? ? 1) ? 36 36 6

(2)设第一次掷得向上一面点数是偶数的事件为 A,第二次掷得向上一面点数是偶数 的事件为 B,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,第二次掷得向上一面点数 也是偶数的概率为
第 8 页 共 12 页

9 P( AB) n( AB) 9 1 P( AB) 36 1 P( B A) ? ? ? ? 或 P( B A) ? ? ? ------------(13 分) 18 2 P( A) n( A) 18 2 P( A) 36
18. (15 分)已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x (1)求 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x 的极值; (2)请填好下表,并画出 f ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x 的图象(不必写出作图步骤); (3)设函数 g ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? a 的图象与 x 轴有两个交点,求 a 的值。 解: (1) f ' ( x) ? 6x 2 ? 6x ? 12 ? 6( x ? 1)(x ? 2) ,令 f ' ( x) ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 2 -(2 分)

x
f ' ( x)
f ( x)

?? ?,?1?
+ 增函数+

-1 0 7

?? 1,2?
减函数-

2 0 -20

?2,???
+ 增函数+

-------------------------------------------------------------------------------------------------------(4 分) 由表知 ,当 x ? ?1 时 f ( x) 有极大值 7, 当 x ? 2 时 f ( x) 有极小值 -20。--------------( 5 分) (2) x
f ( x)

? ?

-2 -4

-1 7

0 0

1 -13

2 -20

3 -9

? ?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------(7 分) 画 对 图 ----------------------------------------------------------------------------------------------(10 分)
5

-20

-10

10

20

-5

第 9 页 共 12 页
-10

(3)由(1)知当 x ? ?1 时 g ( x) 有极大值 a ? 7 , 当 x ? 2 时 g ( x) 有极小值 a ? 20 , --------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 12 分) 再由(2)知,当 g ( x) 的极大值或极小值为 0 时,函数 g ( x) ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? a 的 图象与 x 轴有两个交点,即 a ? 7或20 。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 15 分) 19. (15 分)编辑一个运算程序: 1@1 ? 2 , m @ n ? q , m @(n ? 1) ? q ? 2 . (1)设 an ? 1@ n ,求 a2 , a3 , a4 ; (2)由(1)猜想 an 的通项公式; (3)用数学归纳法证明你的猜想。 解: (1)? a1 ? 1@1 ? 2 ,令 m ? 1, n ? 1 ,则 q ? 2 ----------------------(1 分) 由 m @ n ? q , m @(n ? 1) ? q ? 2 ,得 a2 ? 1@ 2 ? 2 ? 2 ? 4 --------------------(2 分) 再令 m ? 1, n ? 2 ,则 q ? 4 ,得 a3 ? 1@ 3 ? 4 ? 2 ? 6 --------------------------------(4 分) 再令 m ? 1, n ? 3 ,则 q ? 6 ,得 a4 ? 1@ 4 ? 6 ? 2 ? 8

? a2 ? 4, a3 ? 6, a4 ? 8 ------------------------------------------------- ( 5
分) (2)由(1)猜想: an ? 2n, (n ? N * ) ------------------------------------(8 分) (3)证明:①当 n ? 1 时, a1 ? 1@1 ? 2 ,另一方面, a1 ? 2 ?1 ? 2 ,所以当 n ? 1 时 等式成立。 ------------------------------------------------------(10
第 10 页 共 12 页

分) ②假设当 n ? k 时,等式成立,即 ak ? 1@ k ? 2k ,此时 q ? 2k ,---------(12 分) 那么,当 n ? k ? 1 时

ak ?1 ? 1@(k ? 1) ? 2k ? 2 ? 2(k ? 1)
所以当 n ? k ? 1 时等式也成立。 ----------------------------------------(14 分) 由①②知,等式对 n ? N * 都成立。--------------------------------------(15 分) 20. (15 分)为研究“在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k (k ? 0,1,2,3,?, n) 次 的概率的和”这个课题,我们可以分三步进行研究: (I)取特殊事件进行研究;(Ⅱ) 观察分析上述结果得到研究结论; (Ⅲ)试证明你得到的结论。现在,请你完成: (1)抛掷硬币 4 次,设 P0 , P 1, P 2,P 3, P 4 分别表示正面向上次数为 0 次,1 次,2 次,3 次,4 次 的概率,求 P0 , P 1, P 2,P 3, P 4 ,并求 P 0 ?P 1 ?P 2 ?P 3 ?P 4; (2)抛掷一颗骰子三次,设 P0 , P 1, P 2, P 3 分别表示向上一面点数是 3 恰好出现 0 次,1 次,2 次,3 次的概率,求 P0 , P 1, P 2,P 3 ,并求 P 0 ?P 1 ?P 2 ?P 3; (3)由(1)、(2)写出结论,并对得到的结论给予解释或给予证明. 解(1)用 Ai (i ? 1,2,3,4) 表示第 i 次抛掷硬币掷得正面向上的事件,则 Ai 发生的次数 X
? 1? 服从二项分布,即 X ∽ B? 4, ? ----------------------------------------(1 分) ? 2?

?1? 所以 Pi ? C ? ? ? 2?
i 4

i

?1? ? ? ? 2?

4?i

?1? ? C ? ? (i ? 0,1,2,3,4) ? 2?
i 4

4

所以 P0 ?

1 1 3 1 1 , P1 ? , P2 ? , P3 ? , P4 ? 16 4 8 4 16

P0 ? P 1 ?P 2 ?P 3 ?P 4 ? 1------------------------------------------------------------------(6 分)
(2)用 Ai (i ? 1,2,3) 表示第 i 次抛掷骰子掷得向上一面点数是 3 的事件,则 Ai 发生的次
? 1? i?1? 数 X 服从二项分布,即 X ∽ B? 3, ? ,所以 Pi ? C3 ? ? ? 6? ?6?
第 11 页 共 12 页
i

?5? ? ? (i ? 0,1,2,3) ?6?

3?i

所以 P0 ?

125 25 5 1 , P1 ? , P2 ? , P3 ? 216 72 72 216

? P0 ? P 1 ?P 2 ?P 3 ? 1 ----------------------------------------------------------------------(10 分)
(3)在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k (k ? 0,1,2,3,?, n) 次的概率的和为 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------(12 分) 证明:在 n 次独立重复试验中,事件 A 每一次发生的概率为 p ,
i i i i 则 X ∽ B?n, p ?,? Pi ? Cn p ?1 ? p ? p ?1 ? p? ,? ? Pi ? ? Cn

n?i

n

n

n ?i

? ??1 ? p ? ? p? ? 1
n

i ?0

i ?0

---------------------------------------------------------------------------------------------------(15 分) 或这样解释: A1 ? A2 ? ? ? Ai ? ? ? An 是必然事件,所以在 n 次独立重复试验中,事 件 A 恰好发生 k (k ? 0,1,2,3,?, n) 次的概率的和为 1.--------------------------------(15 分)

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