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6.2 一次函数


1、什么叫函数?
在某个变化过程中,有两个变量x和
y,如果给定一个x值,相应地就确定一个y

值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变
量,y是因变量.

2、函数的表示方法
可以用三种方法
①图象法、 ②列表法、 ③解析式法

给汽车加油的加油枪流量为25L/min.

如果加油前油箱里没有油,那么在加油
过程中,用y(L)表示油箱中的油量,x

(min)表示加油时间.
(1)y与x之间有怎样的函数表达式?

(2)如果加油前油箱里有6L油,y与x之
间有怎样的函数表达式?

解: (1)y=25x. (2)y=25x+6.

通过对函数的学习,我们得到了一些函数表达式:

s s ? 6n ? 2, y ? 100 t , Q ? 40 ? , y ? 25 x, y ? 25 x ? 6. 10

这些函数表达式有什么共同特点?
这三个函数表达式都具有 y ? kx ? b (k、b 为常 数,且k≠0 ) 的形式.

一次函数定义
一般地,形如 y=kx+b ( k, b为常数,k≠0)的函数叫 做一次函数,其中x是自变量,y是x 的函数。 特别地,当b=0时,y= kx( k为常数,k≠0), y 叫做 x 的正比例函数。
函数是一次函数 函数是正比例函数 解析式为:y=kx+b(k,b为常数,k≠0) 解析式为:y=kx (k≠0)

下列变化过程中,变量 y 是变量 x 的一
次函数吗?是正比例函数吗? (1)正方形面积 S 与边长 x 之间的函数关系;

(2)长方形的长为常量 a ,面积 S 与宽 x 之间的函数关系;

(3)如图, A、B两地相距 200 km,一列火车从B 地
出发沿 BC 方向以 120 km/h 的速度行驶,在行驶过程 中,这列火车离A 地的路程 y (km)与行驶时间 x (h)之间 的函数关系.

A

200 km

B

C

y km

y=120x+200

1. 下列函数中,哪些是一次函数,哪些是 正比例函数?
?5 2 ①y ? ; ②y ? 3 ? 1 ; ③y ? 3 x ? 1 ; x x?3 ④y ? ;⑤y ? 5 x ; ⑥y ? x ( x ? 6) ? x 2 . 3

一次函数 ④⑤⑥ 正比例函数 ⑤⑥

2.下列问题中,是正比例函数的是(



A.矩形面积固定,长和宽的关系
B.正方形面积和边长之间的关系 C.三角形的面积一定,底边和底边上的高 之间的关系 D.匀速运动中,速度固定时,路程和时间 的关系

y ? (m ? 3) x 已知: 求m的值.

m2 ?8

? m ? 1是 一次函数 ,

解:由题意得: ?m ? 3 ? 0 ? 2 ?m ? 8 ? 1 解之得: ?m ? ?3 ? ?m ? ?3

即 m ? ?3

2 1. 已知函数: y ? ? m ? 1? x ? (m ? 1),

当m取什么值时, y是x的一次函数?

当m取什么值时,y是x的正比例函数?
2. 若 y=(m-2)x+ m2 -4 是关于 x 的正比例 函数,则m ;若是关于x的一次函数, 则m .

3.

y ? (m ? 4) x

3?n

? ( m ? n)

(1) 当m、n为何值时,y是关于 x 的一
次函数. (2) 当m、n为何值时,y是关于 x 的正

比例函数.

V/(米/秒)

某物体沿一个斜坡下 滑,它的速度 v (米/秒) 与其下滑时间 t (秒) 的关系如右图所示: (1)写出 v 与 t 的关系 式; V=2.5t (2)下滑3秒时物体的速 度是多少?
V=7.5米/秒

(2,5)

O

t/秒

确定正比例函数的表达式需几个条件?
一个

确定一次函数的表达式呢?
两个

在弹性限度内,弹簧的长度 y(cm)是 所挂物体质量 x(kg)的一次函数。一根 弹簧不挂物体时长14.5cm;当所挂物体的 质量为3kg时,弹簧长16cm。
(1)请写出 y 与 x 之间的关系式.

(2)当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度。

解:设y=kx+b(k≠0)

由题意得:14.5=b
16=3k+b 解得:b=14.5 k=0.5

所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5 当x=4时,y=0.5× 4+14.5=16.5(厘米) 即物体的质量为4千克时,弹簧长度为16. 5厘米

1、设一次函数表达式y=kx+b; 2、找两点代入y=kx+b. 3、解关于k,b的方程组; 4、把求出的k、b代回表达式即可。

这种求函数解析式的 方法叫做待定系数法

怎样求一次函数的表达式?

1. 一个正比例函数的图象经过点

A(–2, 3),写出这个正比例函数的
表达式。

2. 已知 y 与 x–1 成正比例,当 x=3 时,y=4. 写出 y 与 x 关系式。

3. 若一次函数 y=2x+b 的图象经过 点 A(–1, 1), 则 b= ,该函数经过点

B(1,

) 和点 C(

, 0).

4.已知一次函数y=kx+b,当x =2时,y=4;

当x =4时,y =6.求这个一次函数的表达式.
解: 设一次函数的表达式为 y=kx+b 把x =2,y =4;当x =4,y =6代入得
2 k+b= 4 4 k+b= 6 解得, k=1 b= 2

y =x+2 所以,一次函数表达式为__________.

5.已知:一次函数的图象经过点(2,5)
和点(1,3),求出一次函数的表达式.
y=kx+b 解:设一次函数的表达式为_______________ (2,5) ,(1 ,3) 代入所设表达式得 把点_______ _______

2 k+b= 5

1 b=_____ y =2x+1 ∴ 一次函数表达式为__________.

1

k+b=

3

解得,

2 k=_____

6. 如图,直线 l 是一次函数 y=kx+b

的图象, 请写出该函数的表达式。
思考: (1)当 x=30时,y= (2)当 y=30时,x= ; 。

7.酒泉市出租车计费方法如图所示,请根

据图象回答下面的问题:
(1)用恰当的方式表示费用y与 路程s之间的关系?(s≥3 ) (2)某外地客人坐出租车游 览本市,车费为31元,试求 出他乘车的里程?

y费用(元) 9 5 0

3

5

s(km)

直线 l 与直线 y=1+2x 交点的
横坐标为2,与直线 y=-x+2 的交 点的纵坐标为1,求直线 l 的解析 式。

你在本节课当中收获 了哪些知识?


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