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福建省福州市八县2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题



2014~2015 学年度第二学期八县(市)一中期末考联考

高中一年 数学 科试卷
一.选择题(每小题各 5 分, 共 60 分) 1. 计算 sin( ?600 0 ) 的值是( )
3 3 1 1 B. C. ? D. ? 2 2 2 2 2. 若角 ? 满足条件 sin ? cos ? ? 0 ,且 cos ? ? sin ? ?

0 ,则 ? 在( )
A. A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

3. 在下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( A. e1 ? (0,0) e2 ? (1, ?6)

?? ? e2 ? (6,10) ?? ? 1 3 ? ? ?? ? ? ? C. e1 ? (?1, 2) e2 ? (5, ?1) D. e1 ? (2, ?3) e2 ? ( , ? ) 2 4 4.已知三点 A(?1,?1) 、 B(3,1) 、 C (1,4) ,则向量 BC 在向量 BA 方向上的投影为(
B. e1 ? (3,5)

? ?

?? ?

??

)

5 5 2 13 C. 13
A.

5 5 2 13 D. ? 13
B. ?

5.下列四个函数中,以 ? 为最小正周期,且在区间 ( A. y ? sin 2 x C. y ? cos

, ? ) 上单调递减函数的是( 2 B. y ? 2 cos x
D. y ? tan(? x)

?

)

x 2

6. 把函数 y ? sin x 的图象上所有点向右平移 标缩小到原来的

? 个单位,再将图象上所有点的横坐 3

?

?
2

1 (纵坐标不变),所得函数 解析式为 y ? sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 , 2
) B. ? ? 2, ? ? ?

?? ? 0) ,则 (

3 6 1 ? 1 ? C. ? ? , ? ? ? D. ? ? , ? ? ? 2 6 2 3 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 7.若 a ? 2sin15 , b ? 4cos15 , a 与 b 的夹角为 30 ,则 a ? b 的值是(
A. 3 B.

A. ? ? 2, ? ? ?

?

?



1 2

C.

3 2

D. 2 3

4 ? 2 cos ? 等于( ,那么 sin(? ? ) ? ) 5 4 2 2 2 2 2 A. B. ? 5 5 3 2 3 2 C. D. ? 10 10 1 1 1 9. sin 、 cos 、 tan 的大小关系为( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 A. sin ? cos ? tan B. cos ? tan ? sin 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 C. tan ? sin ? cos D. tan ? cos ? sin 2 2 2 2 2 2 ? ? ? 10.关于平面向量 a, b, c .下列判断中正确的是( ) ? ? ? ? ? ? A.若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; ? ? ? ? 1 B.若 a ? (1, k ) , b ? (?2,6) , a / / b ,则 k ? ; 3 ? ? ? ? ? ? C. a ? b ? a ? b ,则 a ? b ? 0 ; ? ? ? ? D. 若 a 与 b 是单位向量,则 a ? b ? 1. 11. 函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为( )
8. 如果 cos ? ?

A.

B.

12. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

C.

D.

) 的部分图像如图所示,A、B、C 分别是函

数图像与 x 轴交点、图像的最高点、图像的最低点。若 f ? 0? ? 3 , 且 AB ? BC ?

??? ? ??? ?

?2
8

? 8 .则 f ( x) 的解析式为(

)

?? ? ? 3? ? ?? ? C. f ? x ? ? 2sin ? 3x ? ? 3? ?
A. f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

B. f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

?? ? ? 6? ? ?? ? D. f ? x ? ? 2sin ? 3x ? ? 6? ?
? ?

二、填空题(每小题各 5 分, 共 20 分) 13.若角 α 的终边经过点(1,-2) ,则 tan ? ? ? 14.计算 cos(

??

?

? ) ? sin(?? ? ) 的值 2 3 6

?

?

? 的值为_______. 4?
.

15.已知 ?ABC 的三个顶点的直角坐标分别为 A(2, ?1), B(0,0), C (2 ? m, ?2) ,且 ?BAC 为

钝角,则实数 m 的取值范围为____________. 16.给出下列四个结论: ①存在实数 ? ? (0,
2

?

2 ②函数 y ? 1 ? sin x 是偶函数 ? 5 ③ 直线 x ? 是函数 y ? sin( 2 x ? ? ) 的一条对称轴方程 8 4 ④ 若 ?、? 都是第一象限的角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ?
其中正确 结论的序号是____________________.(写出所有 正确结论的序号) .. .. 三、解答题(请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出证明过程或演算步骤.共 70 分) 17. (本题满分 10 分,每小题各 5 分)

) ,使 sin ? ? cos ? ?

1 3

1 ? sin 200 cos100 ? sin1700 x (2) 求证: cos x ? sin x tan ? 1 , ( x ? ? ? 2k? , k ? z ) 2
(1)求值:

18. (本题满分 12 分) (1)用 CA 、 CB 向量表示向量 CM . (2)求 CM

如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,且 AC=BC=3,点 M 满足 BM ? 2MA ,

???? ?

????

??? ?

??? ?

???? ?

19. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos

?

x? R.

? 3x 3x x x , sin ) , b ? (cos ,? sin ) , 2 2 2 2
(2)当 a / / b 时,





(1)当 a ? b 时,求 x 值的集合; 的集合;

?

?

?

?

求x值

20.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) (其中 A ? 0 , 0 ? ? ? π , x ? R ) .当 x ? 得最小值 ?2 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间.

1 时, f ( x) 取 3

21. (本小题满分 12 分)

3 ? 3 sin 2 ?x ? sin ?x cos?x(? ? 0) , 且 y ? f ( x) 图象的一个对称中 2 π 心到离它最近的对称轴的距离为 . 4
设函数 f ( x ) = (1)求 ? 的值; (2)求 f ( x ) 在区间 ? π, 值.

? ?

3π ? 上的最大值和最小值,并求取得最大值与最小值时相应的 x 的 2? ?

22. (本小题满分 12 分) 学校生活区内建有一块矩形休闲区域 ABCD,AB=100 米,BC=50 3 米,为了便于同学 们平时休闲散步,学校后勤部门将在这块区域内铺设三条小路 OE、EF 和 OF,考虑到学校整 体规划,要求 O 是 AB 的中点,点 E 在边 BC 上,点 F 在边 AD 上,且 OE⊥OF,如图所示. (1) 设∠BOE= ? , 试将△OEF 的周长 l 表示成 ? 的函数关系式, 并求出此函数的定义域; (2)经核算,三条路每米铺设费用均为 800 元,试问如何设计才能使铺路的总费用最低? 并求出最低总费用.

2014~2015 学年度第二学期八县(市)一中期末考联考

高中一年 数学 科试卷(答案)
一.选择题: (各 5 分, 共 60 分) 二 . 5 共 20 分) 13. ? 填 空 题 (各 分 ,

题号 答题

1 B

2 B

3 C

4 A

5 D
15.

6 A

7 A

8 D

9 B

10 C

11 C

12 A

1 ; 3

14. ?

3 1 ? ; 2 2

1 (? ,2) ? (2, ??) ; 2

16. ②③

三、解答题:共 70 分 17. (1)解:原式=

sin 2 10 ? cos2 10 ? 2sin10? cos10? cos10? ? sin170?

…………………2 分

?

sin10? ? cos10? cos10? ? sin10? cos10? ? sin10? ? ?1 cos10? ? sin10?

…………………4 分 ………………5 分

x 2 (2)证明:方法一∵左边= cos x ? sin x ? x cos 2 x x cos x cos ? sin x sin 2 2 = x cos 2 x cos( x ? ) 2 = x cos 2 =1 =右边 ∴原式成立 sin

…………………6 分

……………………7 分

…………………8 分

…………………9 分 ……………………10 分

x sin x x x x 2 2 ………………6 分 方法二:∵左边= cos ? sin 2 ? 2sin cos 2 2 2 2 cos x 2 x x x x = cos 2 ? sin 2 ? 2sin sin ………………7 分 2 2 2 2 x x = cos 2 ? sin 2 ……………………8 分 2 2 =1 =右边 …………………9 分 ∴原式成立 ……………………10 分 ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 2 ??? ? 18.解: 法一 (1) CM ? CB ? BM ? CB ? BA ……………3 分 3

??? ? 2 ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? 2 ??? ? CB ? (CA ? CB ) ? CA ? CB ……………6 分 3 3 3 ? 1 ??? ? 2 4 ??? ?2 ??? ? ??? ? 1 ??? ?2 ???? ?2 2 ??? CB ? CB ……9 分 (2) CM ? ( CA ? CB ) ? CA ? 2CA? 3 3 9 9 ??? ? ??? ? 2 2 4 1 4 1 ? CA ? 0 ? CB ? ? 32 ? ? 32 ? 5 ……11 分 9 9 9 9 ???? ? ∴ CM = 5 ……………12 分
法二: 如图建立平面直角坐标系.由题意知:A(3,0),B(0,3),…………………1 分

???? ? ???? 设 M(x,y),由 BM ? 2MA 得: ( x, y ? 3) ? 2(3 ? x, ? y)

? x ? 2(3 ? x) ? x ? 2 ?? ?? ? M (2,1) …………………4 分 y ? 3 ? ? 2 y y ? 1 ? ? ???? ? ??? ? ??? ? 2 1 (1) 设CM ? ?1CA ? ?2 CB ,可求出 ?1 ? , ?2 ? 3 3 ???? ? 2 ??? ? 1 ??? ? ? CM ? CA ? CB …………………8 分 3 3 ???? ? (2)?CM ? (2,1) ???? ? ? CM ? 22 ? 12 ? 5 ……………………12 分
19. 解 :( 1 ) 由 a ? b , 得 a ? b ? 0 , 即

?

?

? ?

3x x 3x x c o s c o s ? s i n s i n ? 0 .……4 分 2 2 2 2
则 cos 2 x ? 0 ,得 x ?

kπ π ? ( k ? Z) . 2 4

……………………………5 分



kπ π ? ? ? ,k ? Z? 为所求. ?x | x ? 2 4 ? ?

…………………………6 分

(2)由 a ? b ,得 cos

x 3x x 3x sin ? sin cos ?0 …………………10 分 2 2 2 2 kπ ( k ? Z ) .…………………………………11 分 则 sin 2 x ? 0 ,得 x ? 2


? ?

kπ ? ? ? x | x ? ,k ? Z ? 为所求.…………………………………12 分 2 ? ?

20. 解: (1)由 f ( x) 最小值 ?2 ,且 A ? 0 ,所以 A ? 2 .………………………2 分

因为 f ( ) ? ?2 ,所以 cos(

1 3

π ? ? ) ? ?1 , ………………………………………4 分 3

由 0 ? ? ? π 可得

π π 4π π 2π ? ?? ? ,所以 ? ? ? π ,所以 ? ? . …………6 分 3 3 3 3 3 2π ). 3
………………………7 分

故 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2 cos(? x ? (2) f ( x ) ? cos(? x ?

2? ) 3 2? ? 2k? , k ? Z , 由 ?? ? 2k? ? ? x ? 3 5 2 解得 ? ? 2k ? x ? ? ? 2k , k ? Z , 3 3
∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ?

…………………………9 分 ………………………11 分

2 ? 5 ? ? 2k , ? ? 2k ? , k ? Z .……………12 分 3 ? 3 ?

21. 解:(1) f ( x ) =

3 ? 3 sin 2 ?x ? sin ?x cos?x 2



3 1 ? cos 2? x 1 ? 3? ? sin 2? x 2 2 2

……………………2 分



1 3 π? ? cos 2?x - sin 2?x = ?sin ? 2? x ? ? . ………………4 分 2 2 3? ?
π , 4
……………………6 分

因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为
又?

? 0 ,所以

2π π =4 ? . 2? 4

因此 ?

? 1.

(2)由(1)知

π? ? f ( x) = ?sin ? 2 x ? ? .……………………7 分 3? ?
3? 2
时,

5π π 8π ≤ 2x ? ? .………………8 分 3 3 3 3 3 π? ? . ?? ? sin ? 2 x ? ? ? 1, 因此-1≤ f ( x) ≤ 2 2 3? ?
当? ? x ? 故 f ( x) 在区间 ? π,

3 ? 3π ? 上的最大值和最小值分别为 ? 2 ? 2?

,-1. ……………10 分

5? , 即x ? ? 时, f ( x) 取最大值. ……………11 分 3 3 ? 5? 17? 当2 x ? ? , 即x ? 时, f ( x) 取最小值. ……………12 分 3 2 12 50 22. 解:⑴在 Rt△ BOE 中, OE ? , ……………………………1 分 cos ? 当2 x ? ?

?

50 ……………………………2 分 sin ? 50 , ……………………………3 分 在 Rt△ OEF 中, EF ? sin ? cos ? 50(sin ? ? cos ? ? 1) , 所以 l ? ……………………………5 分 sin ? cos ?
在 Rt△ AOF 中, OF ? 当点 F 在点 D 时,角 ? 最小, ? ?

?

? 函数的定义域为 [ , ] 6 3
⑵ 设 t ? sin ? ? cos ? , ? ? [ 则t ?

? ?

6

;

当点 E 在点 C 时,角 ? 最大, ? ?

?
3

………………………………………………………7 分

? ?

, ], 6 3

), ? ? [ , ], 4 6 3 5 0 t( ? 1 ) 1 0 0 l? 2 ? t ?1 t ?1 2 ?l ?[100( 2 ? 1),100( 3 ? 1)] 2 sin(? ?
答: 当 ? ?

?

? ?

?

3 ?1 ?t ? 2 2

…………9 分

……………………………10 分 ……………………………11 分 ……12 分

?
4

时, lmin ? 100( 2 ? 1) ,总费用最低为 80000( 2 ? 1) 元



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