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湖北省八市2014届高三下学期3月联考数学文试题 Word版(含答案)



湖北省八市 2014 届高三下学期 3 月联考

数学(文)试题
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效.

3.填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,.答在 试题卷上无效, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是 符合题目要求的) 1.复数

i3 (i 为虚数单位)的虚部是 2i ? 1

A. i 2.设全集 U=R,A={x|2x 影部分表示的集合为 A.{x |x≥1} B.{x |x≤1} C.{x|0<x≤1} D.{x |1≤x<2}

1 5

B.
(x-2)

1 5

C. ? i

1 5

D. ?

1 5

<1},B={x|y=1n(l-x)},则右图中阴

3.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log3 a1+log3a2+…+log3 al0= A.12 B.10 C.8 D.2+log3 5 4.在某项测量中得到的 A 样奉数据如下:82、84、84、86、86、86、88、88、88、88,若 B 样本 数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得的数据,则 A、B 两样本的下列数字特征对应相同的 是. A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 5.己知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.

2 3 ?? 3

B.

2 3 ? 2? 3

C. 2 3 ? 2? 6.已知 M ? ? x, y | A.-2

D.2 3 ? ?

? ?

y ?3 ? ? 3? , N ? {x, y | ax ? 2 y ? a ? 0}M ? N ? ? ,且 a= x?2 ?
B.-6 C.2 D.一 2 或-6

?x ? y ? 2 ? 0 ? 7.设变量 x.y 满足约束条件 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 则目标函数 z ? 3x ? 4 y 的最大值和最小值分别为 ?x ? y ? 8 ? 0 ?
A.3,一 11 B.-3,一 11 C.11,—3 D.11,3 8.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过 1%.己知在过滤过程中废气 中的污染物数量尸(单位:毫克/升)与过滤时间 t(单位:小时)之间的函数关系为: - P= P0e kt, (k,P0 均为正的常数).若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被排除了 90%.那么, 至少还需( )时间过滤才可以排放. A.

1 小时 2
2

B.

5 小时 9

c.5 小时

D.10 小时

9.己知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰好是双曲线 曲线的交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为 A. 2 +1 C. 2 B.2 D. 2 -1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,且两条 a 2 b2

10.如图,已知正方体 ABCD 一 A1B1 C1 D1 中,P 为面 ABCD 上一动点, 且 tan ?PA1 A ? 2 tan ?PD1 D ,则点 P 的轨迹是 A.椭圆的一段 B.双曲线的一段 C.抛物线的一段 D.圆的一段 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答 错位置,书写不清,模棱两可均不得分。) 11.已知向量 a ? (2 x ? 1, x) 与 b=(1,2)共线,则 x= 。

4sin 2 ? ? 3sin ? cos ? ? 12.已知 tan ? =3,则 4 cos 2 ? ? sin ? cos ?



13.按照如图程序运行,则输出 K 的值是 . 14.已知圆 O:x2+y 2=4,直线 l :y=x+b.若圆 O 上恰有 3 个点到直线 l 的距离都等于 1,则正数 b= 。 3 15 . 已 知 函 数 y=x - 3x+c 的 图 像 与 x 轴 恰 好 有 两 个 交 点 , 则 c= 。 16.欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔 入,而钱不湿.己知铜钱是直径为 4cm 的圆面,中间有边长为 lcm 的正方形孔,若随机向铜钱 上滴一滴油(油滴整体落在铜钱边界内),则油滴整体(油滴是直径为 0.2cm 的球)正好落 入孔中的概率是 (不作近似计算)。 17.某地区为了绿化环境进行大面积植树造林,如图,在区域

{x , y )?| 0y , ?

内植树,第一棵树在点 Al(0,1),第二棵 0}

树在点.B1(l,l),第三棵树在点 C1(1,0),第四棵树在点 C2(2,0),接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树,那么 (1)第 n 棵树所在点坐标是(44,0),则 n= . (2)第 2014 棵树所在点的坐标是 。 三、解答题(本大题共 5 小题,,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin x cos 2 处取最小值. (I)求 ? 的值; (II)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,已知 a ? 1, b ?

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ?

2, f ( A) ?

3 ,求角 C。 2

19.(本小题满分 12 分)已知各项均不相等的等差数列 {an } 的前四项和 S 4 ? 14 ,且 al,a3,a7 成等比数列. (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)设 Tn 为数列 ? 最小值.

?

1 ? * ? 的前 n 项和,若 Tn ? ? an?1 对 ?n ? N 恒成立,求实数 ? 的 ? an an ?1 ?

20.(本小题满分 13 分)如图所示,在矩形 ABCD 中, AB=a,BC= 3 a,以对角线 AC 为折线将直角三角形 ABC 向上翻折到三角形 APC 的位置(B 点与 P 点 重合),P 点在平面 ACD 上的射影恰好落在边 AD 上的.H 处 (I)求证:PA⊥ CD; (Ⅱ)求直线 PC 与平面 ACD 所成角的正切值.

21. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,动点 P( x, y)( x ? 0) 满足:点 P 到定点 F ( , 0)

1 2

与到 y 轴的距离之差为

1 .记动点 P 的轨迹为曲线 C. 2 1 于点 D,求 2

(I)求曲线 C 的轨迹方程; (II)过点 F 的直线交曲线 C 于 A、B 两点,过点 A 和原点 O 的直线交直线 x ? 证:直线 DB 平行于 x 轴. 22.(本小题满分 14 分)定义在 R 上的函数 g ( x) 及二次函数 h( x ) 满足:

g ( x) ? 2 g ( ? x) ? e x ?

2 ? 9, h(?2) ? h(0) ? 1 且 h(?3) ? ?2 。 ex

(I)求 g ( x) 和 h( x ) 的解析式; (II) 对于x1 , x2 ? [?1,1], 均有h( x1 ) ? ax1 ? 5 ? g ( x2 ) ? x2 g ( x2 )成立, 求a的取值范围 ; (III)设 f ( x ) ? ?

? g ( x), ( x ? 0) ,讨论议程 f [ f ( x)] ? 2 的解的个数情况. ?h( x), ( x ? 0)

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) BDBDC DACAD 二、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 11.

2 3

12.45

13. 3

14.

2

15. ?2

16.

64 361π

17. 1936 , (10,44)第 1 问 2 分,第 2 问 3 分 三、解答题 18. ( Ⅰ ) f ( x) ? 2 sin x ?

1 ? cos? ? cos x sin ? ? sin x 2

= sin x ? sin x cos? ? cos x sin ? ? sin x = sin(x ? ? ) ………………………………3 分 因 为 f ( x) 在 x ? π 处 取 得 最 小 值 ,所 以 sin(x ? ? ) ? ?1 ,故 sin ? ? 1 ,又 0 ? ? ? π 所 以

??

π ……………………………………………………………………………6 分 2

( Ⅱ ) 由 ( 1 ) 知 f ( x) ? s i n ( x? 所以 A ?

3 π , 因 为 f ( A) ? c o sA ? , 且 A 为 △ ABC 内 角 , ) ? c ox s 2 2

b s i nA 2 π π 3π 由 正 弦 定 理 得 s i nB ? ,所以 B ? 或 B ? .…9 分 ? a 2 6 4 4 π 7π 3π π 当 B ? 时 C ?? ? A? B ? ,当 B ? 时 C ? π ? A? B ? . 4 12 4 12 7π π 综上, C ? …………………………………………………………12 分 或C ? 12 12
19.(Ⅰ)设公差为 d.由已知得 ?

?4a1 ? 6d ? 14

2 ?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) 解得 d ? 1或d ? 0(舍去) ,所以 a1 ? 2, 故a n ? n ? 1 ……………………………… 6 分

……………………………… 3 分

(Ⅱ)?

1 1 1 1 , ? ? ? an an ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 n 1 1 1 1 …………………………… 9 分 ? ? ?Tn ? ? ? ? ? … ? n ? 1 n ? 2 2(n ? 2) 2 3 3 4 n ?Tn ≤ ? an ?1 对 ?n ? N ? 恒成立,即 ≤ ?(n + 2)对 ?n ? N ? 恒成立 2(n ? 2)

n 1 1 1 ? ≤ ? 2 4 2(n ? 2) 2(n ? ? 4) 2(4 ? 4) 16 n 1 ∴ ? 的最小值为 …………………………………………………………… 12 分 16
又 20 . (Ⅰ) 证明: 由题设, PH ? 平面 ACD,?平面 PAD ? 平面 ACD,………………… 3 分 交线为 AD,又 CD ? AD,?CD ? 平面 PAD,PA ? 平面 PAD,?CD ? PA………… 6 分 (II)连接 CH,则 ? PCH 为直线 PC 与平面 ACD 所成的角。

作 HG ? AC,垂足为 G,连接 PG,则 AC ? 平面 PHG ?AC ? PG,………… 9 分 又在矩形 ABCD 中,AB=a,BC= 3 a, ?CAB ? 600 在 rt ? PGA 中,PA=a, ?PAG ? ?CAB ? 60 ?AG= a
0

1 2

在 rt ? HAG 中,AH=

3 AG a ,又 AC=2a, ………………………… 11 分 = 0 3 cos 30 21 a ,在 rt ? PHA 3

在 rt ? CAH 中,根据余弦定理可得,CH=

中可得 PH=

6 PH 14 a ,?tan ?PCH ? ? ………………………………13 分 3 CH 7
1 2
………………………………………………………………2 分

21. (Ⅰ)依题意: PF ? x ?

1 1 1 1 ? ( x ? )2 ? y 2 ? ? x ……………………4 分 ? ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( ? x) 2 2 2 2 2 ? y 2 ? 2 x ……………………………………………………………………………………6 分
注:或直接用定义求解. (Ⅱ)法Ⅰ:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x ? ty ?

1 2

1 ? ? x ? ty ? 由? 2 2 ? y ? 2x ? ? y1 y2 ? ?1

得 y ? 2ty ? 1 ? 0 …………………………………………………8 分
2

直线 AO 的方程为 y ?

y1 x x1

y 1 ?点 D 的坐标为 (? , ? 1 ) ……………………11 分 2 2 x1

??

y1 y 1 ?? 1 ? ? ? y2 2 2 x1 y1 y1 ?直线 DB 平行于 x 轴. ……………………………………………………………………14 分 y2 2 x ( y0 ? 0) 法Ⅱ:设 A 的坐标为 ( 0 , y0 ) ,则 OA 的方程为 y ? y0 2 1 ?点 D 的纵坐标为 y ? ? , ……………………………………………………………8 分 y0 y 1 1 2 ? 1) ? F ( , 0) ?直线 AF 的方程为 y ? 2 0 ( x ? ) ( y0 y0 1 2 2 ? 2 2 1 ?点 B 的纵坐标为 y ? ? .……………………………………………………………12 分 y0
2 ? 1 时,结论也成立, ? BD ∥ x 轴;当 y0

?直线 DB 平行于 x 轴.

…………………………………………………………………14 分

22. (Ⅰ) ? g ( x) ? 2 g (? x) ? e x ?

2 ? 9 ,① ex

g ( ? x) ? 2 g ( x) ? e ? x ?

2 1 ? 9, 即 g (? x) ? 2 g ( x) ? 2e x ? x ? 9, ② ?x e e
x

由①②联立解得: g ( x) ? e ? 3 .

………………………………………………………………2 分

? h( x) 是二次函数, 且 h(?2) ? h(0) ? 1 ,可设 h( x) ? ax?x ? 2? ? 1 ,
由 h(?3) ? ?2 ,解得 a ? ?1.? h( x) ? ? x?x ? 2? ? 1 ? ? x ? 2 x ? 1
2

? g ( x) ? e x ? 3, h( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 1 .……………………………………………………………5 分
(Ⅱ)设 ? ( x) ? h( x) ? ax ? 5 ? ? x ? ?a ? 2?x ? 6 ,
2

F ( x) ? e x ? 3 ? x e x ? 3 ? ?1 ? x ?e x ? 3x ? 3 ,
依题意知:当 ?1≤ x ≤1 时, ? ( x) min ≥ F ( x)max

?

?

? F ?( x) ? ?e x ? ?1 ? x ? ? e x ? 3? ? 3 ? ? xe x ? 3 ,在 ?? 1,1? 上单调递减,

? F ?( x)min ? F ?(1) ? 3 ? e ? 0

………………………………………………………………7 分

? F ( x) 在 ?? 1,1? 上单调递增, ? F ( x) max ? F ?1? ? 0
? ?? ? ?1? ? 7 ? a ≥ 0 ?? , 解得: ?3 ≤ a ≤ 7 ? 1 ? a ? 3 ≥ 0 ? ? ? ?

?实数 a 的取值范围为 ?? 3,7? .……………………………10 分

(Ⅲ) f ( x) 的图象如图所示: 令 T ? f ( x) ,则 f (T ) ? 2.

?T1 ? ?1, T2 ? ln 5 f ( x) ? ?1 有两个解, f ( x) ? ln 5 有 3 个解. ? f ? f ( x)? ? 2 有 5 个解.……………………………………………………………………14 分



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