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2013年全国高中数学联赛河南省预赛高一试题(含答案)(扫描版)



2013 年全国高中数学联赛河南预赛高一试题答案 一、填空题 1、 21501 ; 2、 ?1 ; 3、 3 ; 4、 2? ; 9 5、 [1, 7] ; 6、 (4, ??) 7、 [0, 3 4 (必修 3) b s ; (必修 4) [1, ] ; ] ; 8、 [2, ??) ; 9、 3 3 10、 1511 二、证明: (1) 延长 AE 交圆 O1 与 F1 , 连接 CF1 。 由 AE 平分 ?BAC ? ?BAE ? ?DAE , 结 合 A B? , 故 ?B A E AD ?? , DA E B ??B ? ?D ,而 ?CF1 A ? ?B ? ?CF1 E ? ?CF1 A ? ?D ? C , E , F1 , D 四点共圆 因此 F1 也是两圆的交点,从而 F1 和 F O1 E F O2 D 重合,即 A , E , F 共线。 A C ( 2 ) 由 A , E , F 共 线 , AE 平 分 图2 ?BAC ? B F? C , F 由对称性得出 BF ? DF ,故 CF ? BF ? DF ,因此 ?CFD 为等腰三角形, 由于 O2 为其外心,故 O2 F ? CD 即 O2 F ? AD 三、(1)由点到直线的距离公式得: d ? ax0 ? by0 ? 2b ? 1 a 2 ? b2 ? ax0 ? b( y0 ? 2) ? 1 因 d 是常数,故 ? ? x0 ? 0 ? x0 ? 0 ,即 P(0, 2) ,从而 d ? 1 ?? ? y0 ? 2 ? 0 ? y0 ? 2 (2)由(1)知, P(0, 2) 到直线系 M 中任一条直线的距离都是 1 ,因此直线系 M 中每 一条直线都是以 P 为圆心,以 1 为半径的圆(圆 x ? ( y ? 2) ? 1 )的切线 2 2 由平面几何知识,圆内的每一点都不被其切线经过,圆上的每一点只能作出一条切线, 而圆外的每一点均能作出该圆的两条切线,故 Q 点的轨迹是圆及其内部,即 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 四、(必修 3)解:设较长的一段长度为 a ,将 a 分成的两段长为 x , y , 1 a ? ( x ? y ) ? ( ,1) , 2 1 ? ? x? 2 ? 1 ? 若长度为 x , y , 1 ? a 的三段能构成三角形,则 ? y ? , 2 ? ?1 ?2 ? a ?1 ? 画出图形计算出 P ? 1 3 1 1 P 1 1 1 ? ?? ? ?? ) ? ln(3n ? 1) ? (1 ? ? ?? ? ?? ) 2 3 n 2 3 3n (2) ln(3n ? 1) ? (1 ? x 由 e ? x ? 1 ? x ? ln( x ? 1) 1 ? ln(1 ? 1) ? ln 2 ? ? 1 1 ? ? ln(1 ? ) ? ln 3 ? ln 2 2 2 ? ? 1 1 ? ?? ? ln(1 ? ) ? ln 4 ? ln 3 3 3 ? ? ??? ? ? 1 ? ln(1 ? 1 ) ? ln(3n ? 1) ? ln(3n) ? 3n ? 3n 以上各式相加得: ln(3n ? 1) ? (1 ? 1 1 1 1 1 P ? ?? ? ?? ) ,即 ln(3n ? 1) ? (1 ? ? ?? ? ?? ) 2 3 3n 2 3 n (必修 4) (1)注意到函数 f ( x) 的定义域是 R , ?x ? R , f (? x)


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