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1.3空间几何体的表面积与体积课件



1.3

空间几何体的表面积与体积

1.3.1

柱体、锥体、台体的表 面积与体积

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.对于空间几何体,我们分别从结 构特征和视图两个方面进行了研究,为 了度量一个几何体的大

小,我们还须进 一步学习几何体的表面积和体积. 2.柱、锥、台、球是最基本、最简 单的几何体,研究空间几何体的表面积 和体积,应以柱、锥、台、球的表面积 和体积为基础.那么如何求柱、锥、台、 球的表面积和体积呢?

知识探究(一)柱体、锥体、台体的表面积

思考1:面积是相对于平面图形而言的, 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗? 面积:平面图形所占平面的大小

体积:几何体所占空间的大小

思考2:所谓表面积,是指几何体表面的 面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面 积?

各个侧面和底面的面积之和 或展开图的面积.

思考3:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 面,侧面都是曲面,怎样求它们的侧面 面积? 思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征?如果圆柱的底面半径为r,母线长 为l,那么圆柱的表面积公式是什么?

S ? 2? r (r ? l )

思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征?如果圆锥的底面半径为r,母线长 为l,那么圆锥的表面积公式是什么?

S ? ? r (r ? l )

思考6:圆台的侧面展开图的形状有哪些 特征?如果圆台的上、下底面半径分别 为r′、r,母线长为l,那么圆台的表面 积公式是什么?

S ? ? (r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

思考7:在圆台的表面积公式中,若 r′=r,r′=0,则公式分别变形为什么?

S ? ? (r ? ? r ? r ?l ? rl )
2 2

r′=r

r′=0

S ? 2? r (r ? l )

S ? ? r (r ? l )

知识探究(二)柱体、锥体、台体的体积

思考1:你还记得正方体、长方体和圆柱 的体积公式吗?它们可以统一为一个什 么公式? 思考2:推广到一般的棱柱和圆柱,你猜 想柱体的体积公式是什么?

V ? Sh

高h

底面积S

思考3:关于体积有如下几个原理: (1)相同的几何体的体积相等;

(2)一个几何体的体积等于它的各部分 体积之和;
(3)等底面积等高的两个同类几何体的 体积相等;

(4)体积相等的两个几何体叫做等积体.

将一个三棱柱按如图所示分解成三 个三棱锥,那么这三个三棱锥的体积有 什么关系?它们与三棱柱的体积有什么 关系?
3 2

3
2 1

1

思考4:推广到一般的棱锥和圆锥,你猜 想锥体的体积公式是什么?
1 V ? Sh 3

高h

底面积S

思考5:根据棱台和圆台的定义,如何计 算台体的体积? 设台体的上、下底面面积分别为S′、 S,高为h,那么台体的体积公式是什么?
上底面 积S′

1 高h V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3
下底面 积S

思考6:在台体的体积公式中,若S′=S, S′=0,则公式分别变形为什么?
1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

S′=S

S′=0
1 V ? Sh 3

V ? Sh

理论迁移

例1 求各棱长都为a的四面体的表面积.

S ? 3a

2

例2 一个圆台形花盆盆口直径为20cm, 盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为 1.5cm,盆壁长15cm,为了美化花盆的外 观,需要涂油漆. 已知每平方米用100毫 升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油 漆(精确到1毫升)?
20

S ? 1000cm ? 0.1m
2
15

2

15

例3 有一堆规格相同的铁制六角螺帽 共重5.8kg(铁的密度是7.8g/cm3),已 知螺帽的底面是正六边形,边长为12mm, 内孔直径为10mm,,高为10mm,问这堆 螺帽大约有多少个? V≈2956(mm3) =2.956(cm3) 5.8×100÷7.8×2.956 ≈252(个)

作业:

P28习题1.3 A组: 1,2,3,4,5.

1.3

空间几何体的表面积与体积

1.3.2

球的表面积和体积

问题提出

1.柱体、锥体、台体的体积公式分 别是什么?圆柱、圆锥、圆台的表面积 公式分别是什么? 2.球是一个旋转体,它也有表面积 和体积,怎样求一个球的表面积和体积 也就成为我们学习的内容.

知识探究(一):球的体积

思考1:从球的结构特征分析,球的大小 由哪个量所确定? 思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥 的体积分别是什么?

V柱 ? ? R

3

V锥

1 3 ? ?R 3

思考3:如图,对一个半径为R的半球,其 体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小 关系?

思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积,你 猜想半球的体积是什么? 2 3 V球 ? ? R 3

思考5:由上述猜想可知,半径为R的球的 4 3 体积 V ? ? R ,这是一个正确的结论,你 3 能提出一些证明思路吗?

知识探究(二):球的表面积

思考1:半径为r的圆面积公式是什么?它 是怎样得出来的?
a4

S圆 ? ?r

2

a3 an
a1

a2

思考2:把球面任意分割成n个“小球面 片”,它们的面积之和等于什么?

o

思考3:以这些“小球面片”为底,球心 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥, 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等 于什么?它们的体积之和近似地等于什 么?

o

思考4:你能由此推导出半径为R的球的 表面积公式吗?

S ? 4? R

2

思考5:经过球心的截面圆面积是什么? 它与球的表面积有什么关系?

球的表面积等于球的大圆面积的4倍

理论迁移

例1 如图,圆柱的底面直径与高都等 于球的直径,求证: 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 3 ; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

例2 已知正方体的八个顶点都在球O 的球面上,且正方体的表面积为a2,求 球O的表面积和体积. C′ o
A

例3 有一种空心钢球,质量为142g (钢的密度为7.9g/cm3),测得其外径 为5cm,求它的内径(精确到0.1cm).

例4 已知A、B、C为球面上三点, AC=BC=6,AB=4,球心O与△ABC的外心M 的距离等于球半径的一半,求这个球的 表面积和体积.
O A M B

C

3 6 R? , S ? 54? ,V ? 27 6? 2

作业: P28练习:1,2,3.



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