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2011北京师大附中高二数学期中试卷高三期中



高三期中考试试卷

2010.11





注意事项及说明:本卷考试时间为 120 分钟,全卷满分为 160 分.

一.填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上 .......
1. 函数 f ( x) ? log

2 (1 ? x) 的定义域为 ▲ . ▲ ▲ 个. . .

2. 若复数 z 满足 iz ? ?2 ? 3i (i 是虚数单位) ,则复数 z= 3. 函数 y ? sin( x ?

?
3

) (? ? x ? 2? ) 的值域为


4. 函数 f ( x) ? 2 x ? log3 x ? 8 的零点有

5 . 若 直 线 m 被 两 平 行 线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所 截 得 的 线 段 的 长 为 ▲ °.

2 ,则直线 m 的倾斜角是

6.四天的气温分别是 16℃,18℃,13℃,17℃.若从这四天中任选两天的气温,则这两天的平均气温与这四天的平均气温相差 不超过 1℃的概率为 7.已知向量 a ? ( ,? ▲ .

3 2

3 3 ) b ? ( , ? ) ,若 a // b ,则实数 λ 的值为__ _▲______. 2 2
▲ .

2 8.数列{an}是等差数列,且 an ? 0,2a3- a7 +2a11=0;数列{bn}是等比数列,且 b7 ? a7 ,则 b6b8=

? x ? y ? 3, ? 9.设实数 x、y 满足条件 ? x ? y ? 1, 则点(x,y)构成的平面区域面积为 ▲ . ? y ? 0, ?
开始 10.如图所示的流程图,输出的结果为 ▲ . n=1,s=0 否 输出 s

n≤2010 是 s=s+sin

n? 3

结束

n=n+1
2 2 11. 已知命题 p : 关于 x 的不等式 x ? 2 x ? a ? 0 解集为 R ; 命题 q: 曲线 y ? x ? ?2a ? 3?x ? 1 与 x 轴交于不同的两点. 如

果“ p且q ”为假命题, “ p或q ”为真命题,则实数 a 的取值范围为





12. 给定两个长度为 1 且互相垂直的平面向量 OA 和 OB ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动,若 OC ? xOA ? yOB , 其中 x、y ? R,则 ( x ? 1) ? y 的最大值为
2 2





13 . 已知函数 f ( x) ( x ? R )满足 f (1) = 2 ,且 f ( x) 在 R 上的导数 f ?( x) ? 1 ,则不等式 f (2 x) ? 2 x ? 1 的解集为 ▲ .

14.已知数列{an}的形成规则为:若 an 是偶数,则除以 2 便得到 an+1;若 an 是奇数,则加上 1 除以 2 便得到 an+1,依此法则 直至得到 1 为止.如果数列中只有 5 个不同的数字,则这样的数列{an}共有 ▲ 个.

二.解答题: (本大题共 6 小题,满分为 90 分.解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤)
15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,∠B=45° , AC ? 10 , cos 2C ?

3 . 5

(Ⅰ)求 AB 边的长度; (Ⅱ)若点 D 是 AB 的中点,求中线 CD 的长度.

16. (本小题满分 14 分) 某校迎接校庆中有一项工作是请 20 位工人制作 100 只灯笼和 20 块展板. 已知一名工人在单位时间内可制作 10 只灯笼或 3 块展板.现将 20 名工人分成两组,一组制作灯笼,一组制作展板,同时开工.设制作灯笼的工人有 x 名( 1 ? x ? 19 ) . (Ⅰ)用 x 分别表示制作 100 只灯笼和 20 块展板所用的单位时间; (Ⅱ)求当 x 为何值时,完成此项工作时间最短.

17. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AD⊥CD. (Ⅰ)求证:CD⊥PD; (Ⅱ)若 AD=2,BC=3,F 为 PD 中点, BE= 求证:EF∥平面 PAB. A D P

1 BC , 3

·F

B 18. (本小题满分 16 分) 如图,圆 O 的方程为 x ? y ? 2 ,直线 l 是椭圆
2 2

·

E

C

x2 ? y 2 ? 1 的左准线,A、B 是该椭圆的左、右焦点,点 P 为直线 l 2

上的一个动点,直线 AQ⊥OP 交圆 O 于点 Q. (Ⅰ)若点 P 的纵坐标为 4,求此时点 Q 的坐标,并说明此时直线 PQ 与圆 O 的位置关系; (Ⅱ)求当 ? APB 取得最大值时 P 点的坐标. P y

A O l 19. (本小题满分 16 分)

B

x

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S n ? n ? (Ⅰ)求证:数列{an-1}是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?

3 a n (n ? N * ) .数列{bn}是等差数列,且 b2 ? a2 , b20 ? a4 . 2

? bn ? ? 的前 n 项和 Tn; ? a n ? 1?

(Ⅲ)若不等式 Tn ?

? n 2 ? 11n ? 6 ? loga x (a>0 且 a≠1)对一切 n ? N * 恒成立,求实数 x 的取值范围. n 2?3

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? kx2 ? 5x ? 1 , g ( x) ? ? ln x ? kx ,其中 k ? R . (Ⅰ)当 k=1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) =0 在区间(1,2)上有解,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设函数 q( x) ? ?

? f ( x), x ? 0 ,是否存在正实数 k ,使得对于函数 q( x) 上任一点(横坐标不为 0) ,总能找到另外惟 g ( x ), x ? 0 ?

一一点使得在这两点处切线的斜率相等?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由.



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