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2011年11月10日考研第三章 中值定理专题(上)



第三章
中值定理及其应用

1

中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、洛比达法则及其应用 三、导数应用---研究曲线的性态

2

中值定理及其应用
一、几个中值定理 二、中值定理的应用

3

一、 几个中

值定理 1. 微分中值定理 罗尔定理:? (1) f ( x ) ? C[a, b]

? ? (2) f ( x ) ? D(a, b) ? ? (3) f (a ) ? f (b)

??(? ) ? 0 f

拉格朗日定理:

? ? ?
柯西定理:
? ? ? ? ?

f (b) ? f (a ) , ? f ?(? ) ? b?a

且F ?( x ) ? 0

f ?(? ) f (b) ? f (a ) ? F ?(? ) ? F (b) ? F (a ) ,
4

若函数 泰勒中值定理:

内具有 n + 1 阶导数,

f ??( x0 ) f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? ( x ? x0 ) 2 ? ? ? 2! ( n) f ( x0 ) ( x ? x0 )n ? Rn ( x ) (? 在 x0 与 x 之间) n!

其中余项

f ( n?1) (? ) n ?1 Rn ( x ) ? ( x ? x0 ) ? o(( x ? x )n ) 0 ( n ? 1) !

当 x0 ? 0 时为麦克劳林公式 .
( n) ??(0) 2 f f (0) n f ( x ) ? f (0) ? f ?(0) x ? x ??? x ? ? ( xn ) 2! n!

5

微分中值定理之间的相互关系 罗尔定理
f (a ) ? f (b )

拉格朗日中值定理
f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? b?a

f ?(? ) ? 0
F ( x) ? x y ? f (x) f (a ) ? f (b )
y

F ( x) ? x
y

n?0

o

y ? f (x)

a? b x 柯西中值定理

f (b) ? f (a ) f ?(? ) ? F (b) ? F (a ) F ?(? )

a? b? xx )n ? ? ? f ( x0 )( x 0 1 ? ( n?1)! f ( n?1) (? )( x ? x0 )n?1
1 n! ( n)
6

泰勒中值定理 o f ( x ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 )

2. 零点定理与介值定理 1)零点定理 :



则至少有一点 ? ? ( a , b ) , 使 f (? ) ? 0 . (又叫根的存在定理). 即方程f ( x ) ? 0在(a, b)内至少存在一个实根.

设 2)介值定理: f ( x ) ? C [ a , b ] , 且f (a ) ? A , f (b) ? B , A ? B ,
则对 A 与 B 之间的任一数 C ,

推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最 大值 之间的任何值 .

即:f ( x) ? C [ a , b ] , m ? C ? M ? ?? ? (a, b), 使f (? ) ? C
或 f ( x) ? C [ a , b ] , m ? C ? M ? ?? ? [a, b], 使f (? ) ? C
7

3. 费马定理 f 设函数f ( x )在点x0处可导,且在点x0处 取得极值 ??( x0 ) ? 0. 4. 积分中值定理

若 f ( x ) ? C[a , b] ? ?? ? [a , b] , 使? f ( x )dx ? f (? )(b ? a )
b a

实质:把积分转化为被积函数在某点的函数值.

P 241例6.若 f ( x ) ? C[a , b],证明在开区间(a,b)内
至少存在一点? , 使? f ( x )dx ? f (? )(b ? a ) .
b a

说明: f ( x )d x ? f (? )(b ? a ) ?
b a

? F ?(? )(b ? a )? F (b) ? F (a )
微分中值定理
8

积分中值定理

牛顿 – F ?( x ) ? f ( x ) 设 莱布尼茨公式

二、中值定理的主要应用 关键: 1. 证明恒等式. 利用逆向思维 2. 证明不等式. 设辅助函数 3. 证明有关中值问题的结论. 经验1:欲证x ? I时f ( x ) ? C0 ,只需证明在I 上f ?( x) ? 0, 研究函数或导数的性态—导数的应 且 ? x0 ? I ,使 f ( x0 ) ? C0 . 用及求不定式的极限 经验2: 利用中值定理证明不等式的步骤: (1) 设出辅助函数和区间, (2) 利用中值定理, (3) 根据 a <ξ< b 的关系,证明出不等式. 经验3: 欲证 ?? ? (a, b)使? ?(? ) ? 0. (1)设函数 ? ( x ), (2)验证函数 ? ( x ) 在区间[a , b] 上满足罗尔定理.

9

典型例题分析
? 例1. 证明等式 arcsin x ? arccos x ? , x ? [?1, 1]. 2 证 设f ( x ) ? arcsin x ? arccos x ,
1.证明恒等式

由推论可知 令x=0,得 又

(常数)

? ? arcsin x ? arccos x ? , x ? [?1, 1]. 2

10

an a1 a2 ?0 例2 设a0 , a1 ,? , an是满足方程a0 ? ? ? ? ? 2 3 n?1 证明方程a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ? 0 的一组实数,
至少有一个小于1的正根. 分析: ? 是a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ? 0的根, 若
则构造一函数,使 则有a0 ? a1? ? a2? 2 ? ? ? an? n ? 0,

?(? ) ? a0 ? a1? ? a2? 2 ? ? ? an? n ? 0, ?

? ?( x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n,
an n ? 1 a1 2 a2 3 即? ( x ) ? a0 x ? x ? x ? ? ? x , 2 3 n?1
用罗而定理
11

an a1 a2 ?0 例2 设a0 , a1 ,? , an是满足方程a0 ? ? ? ? ? 2 3 n?1 证明方程a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ? 0 的一组实数,

an n ? 1 a1 2 a2 3 x ? x ??? x , 证明 设? ( x ) ? a0 x ? 2 3 n?1 则? ( x )在[0,1]上连续, 0,1)上可导, 在( an a1 a2 且? (0) ? 0,? (1) ? a0 ? ? ? ? ? ?0 2 3 n?1 由罗而定理,?? ? (0,1),使得? ?(? ) ? 0,

至少有一个小于1的正根.

?( x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n, 而? ?(? ) ? a0 ? a1? ? a2? 2 ? ? ? an? n ? 0. 证毕 ??
12

例3 设f ( x )在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,0 ? a ? b,

且af (b) ? bf (a ), 证明:必?? ? (a,b), 使得f ?(? ) ? ? f (? ) ? 0, 难! 分析: (1)分析法 ? ?(? ) ? f ?(? ) ?

f (? )

.

? 从结论出发,把结论改写为 ? ?(? ) ? ? f ?(? ) ? f (? ) ? 0,

f ( x) , 则得? ?( x) ? xf ?( x) ? f ( x) ? 0, ?? ( x ) ? x f ( x) f ?( x ) 1 ? ? (2)积分法 从结论出发 f ?( x ) ? x f ( x) x f ?( x ) 1 ? f ( x ) dx ? ? xdx ? ln f ( x) ? ln x ? ln C ,
14

例3 设f ( x )在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,0 ? a ? b,

且af (b) ? bf (a ), 证明:必?? ? (a,b), 使得f ?(? ) ?

f (? )

f ( x) f ?( x ) 1 ? f ( x ) dx ? ? xdx ?ln f ( x) ? ln x ? ln C ? x ? C , f ( x) ? 令? ( x ) ? . x f ( x) 证明 设? ( x ) ? 则 , ? ( x )在[a, b]上连续, x f (a ) f (b) ? af (b) ? bf (a), ? ? , a b f (a ) f (b) ? ? (a ) ? = =? (b), a b
15

?

.

例3 设f ( x )在[a, b]上连续,在(a, b)内可导,0 ? a ? b,

且af (b) ? bf (a ), 证明:必?? ? (a,b), 使得f ?(? ) ? . ? f (a ) f (b) f ( x) ? ? (a ) ? = =? (b), 设? ( x ) ? , a b x 由罗而定理,?? ? (a, b),使得? ?(? ) ? 0,
xf ?( x ) ? f ( x ) ? f ?(? ) ? f (? ) 而 ? ?( x ) ? ,? ? 0, 2 2 x ? f (? ) 则有? f ?(? ) ? f (? ) ? 0, 即有f ?(? ) ? .

f (? )

?

16

例4 设f ( x )可导,证明:在f ( x )的任何两个点之间必

有函数? f ( x) ? f ?( x)的零点.(其中?为实数)
分析: 零点:f ( x ) ? 0根叫f ( x )的零点.

若? 是? f ( x ) ? f ?( x )的零点, 则必有? f (? ) ? f ?(? )=0,

? ?(? ) ? ?[? f (? ) ? f ?(? )], 于是设? ( x) ? e ? ? x f ( x),
并设x1 , x2为f ( x)的两个零点,且x1 ? x2 , ?( x) ? e? ? x f ?( x) ? ?e? ? x f ( x), ? 则? ( x)在[ x1 , x2 ]上连续, ? e ? ? x [ f ?( x ) ? ? f ( x )]在( x1 , x2 )内存在,
17

例4 设f ( x )可导,证明:在f ( x )的任何两个点之间必

有函数? f ( x) ? f ?( x)的零点.(其中?为实数) ?? x ? e [ f ?( x ) ? ? f ( x )]在( x1 , x2 )内存在,
并且有 ? ( x1 ) ? e
? ? x1 ? ? x2

f ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? e f ( x2 )? 0, 由罗而定理, ? ? ( x1 , x2 ),使得? ?(? ) ? 0, ?
?( x) ? e? ? x [ f ?( x) ? ? f ( x)], 又? ?? ?(? ) ? e ? ?? [ f ?(? ) ? ? f (? )] ? 0, ? ?? 又e ? 0,?[ f ?(? ) ? ? f (? )] ? 0,
?? 是函数? f ( x) ? f ?( x)的零点.
18

例5 设f ( x )在[a, b]上二阶可导,连接点(a, f (a )),

(b, f (b))的直线与曲线y ? f ( x )交于点(c, f (c )), 其中 a ? c ? b, 证明 : 必?? ? (a, b), 使得f ??(? ) ? 0.
分析 由拉格朗日中值定理得

(b, f (b))

???1 ? (a, c), ??2 ? (c, b), (c , f (c )) f (c ) ? f (a ) ? ? f ?(?1 ), c?a f (a ) f (b) ? f (c ) a c ? f ?(? 2 ), b?c f (c ) ? f (a ) f (b) ? f (c ) ? ? , ? f ?(?1 ) ? f ?(?2 ), c?a b?c

b

19

例5 设f ( x )在[a, b]上二阶可导,连接点(a, f (a)),

(b, f (b))的直线与曲线y ? f ( x )交于点(c, f (c )), 其中 a ? c ? b, 证明 : 必?? ? (a, b), 使得f ??(? ) ? 0.

? f ?( x)在[?1 , ?2 ]上满足罗而
定理的条件,于是

(b, f (b)) (c , f (c ))

?? ? (?1 , ?2 ), 使得
f ??(? ) ? 0.

f (a )

a

c

b

20

在讲完第二章后又讲了以上内容

这是2011年11月10号讲过的

21



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