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【2016版】新步步高 人教B版 大一轮复习讲义 数学(文)精品课件:第二章 2.9函数模型及其应用


数学 B(文)

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.9 函数模型及其应用

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

基础知识·自主学习
1.几类函数模型及其增长差异

知识梳理

(1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 函数解析式 f(x)=ax+b (a,b为常数,a≠0)

反比例函数模型 f(x)= k+b (k,b为常数且k≠0) x 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

基础知识·自主学习

知识梳理

指数函数模型

f(x) = bax + c(a , b , c 为常数, b≠0 ,

a>0且a≠1)
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数, b≠0,a>0且a≠1) f(x)=axn+b (a,b为常数,a≠0)

对数函数模型 幂函数模型

基础知识·自主学习
(2)三种函数模型的性质
函数 性质 y=ax(a>1)

知识梳理

y=logax(a>1) y=xn(n>0) 递增 单调_____

在(0,+∞)
上的增减性

递增 单调_____ 越来越快

单调递增 相对平稳

增长速度

越来越慢

基础知识·自主学习

知识梳理

随x的增大 随x的增大

图像的变化 逐渐表现为 逐渐表现为
与 y轴 平行 与 x轴 平行

随n值变化 而各有不同

值的比较

存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax

基础知识·自主学习
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)

知识梳理

(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步 选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符 号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.

基础知识·自主学习
以上过程用框图表示如下:

知识梳理

基础知识·自主学习
? 思考辨析

知识梳理

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( × )
(2)幂函数增长比直线增长更快.( × )
n ? loga x0 .( × ) (3)不存在x0,使 a x ? x0
0

基础知识·自主学习

知识梳理

(4)美缘公司2013年上市的一种化妆品,由于脱销,在2014年 曾提价25%,2015年想要恢复成原价,则应降价25%.( × 库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( √ h(x)<f(x)<g(x).( √ ) ) (5) 某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25% 出售,后因 ) (6)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有

基础知识·自主学习 题号
1

考点自测

答案
D A A B

解析

2
3

4

根据图表,把 (t , p) 的三组数据 (3,0.7) , (4,0.8) , (5,0.5) 分别 代入函数关系式,
?0.7=9a+3b+c, ? 联立方程组得?0.8=16a+4b+c, ? ?0.5=25a+5b+c,
?7a+b=0.1, 消去 c 化简得? ?9a+b=-0.3,

1 2 15 225 45 所以 p=-0.2t +1.5t-2.0=- (t - t+ )+ -2 = 5 2 16 16 1 15 2 13 - (t- ) + , 5 4 16 15 所以当 t= =3.75 时, p 取得最大值, 即最佳加工时间为 4
2

?a=-0.2, ? 解得?b=1.5, ? ?c=-2.0.

3.75 分钟.

题型分类·深度剖析 题型一
例1

二次函数模型

某跳水运动员在一次跳水训练时的跳

水曲线为如图所示的抛物线的一段,已知跳

水板AB长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为
3 m,CE=5 m,CF=6 m,为安全和空中姿态优美,训练时

跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m,
规定:以CD为横轴,CB为纵轴建立直角坐标系.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(1)当h=1时,求跳水曲线所在 的抛物线方程;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(1)当h=1时,求跳水曲线所在 的抛物线方程;

解 由题意知最高点为 (2+h,4),h≥1, 设抛物线方程为 y=a[x-(2+h)]2+4,

当h=1时,最高点为(3,4),
方程为y=a(x-3)2+4,

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(1)当h=1时,求跳水曲线所在 的抛物线方程;

将A(2,3)代入, 得3=a(2-3)2+4,

解得a=-1.
∴当h=1时,

跳水曲线所在的抛物线方程为
y=-(x-3)2+4.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(1)当h=1时,求跳水曲线所在 的抛物线方程;

实际生活中的二次函数问题 (如面积、利润、产量等),可 根据已知条件确定二次函数 单调性、零点解决,解题中

模型,结合二次函数的图象、

一定要注意函数的定义域.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(2)若跳水运动员在区域EF内入水
时才能达到压水花的训练要求, 求达到压水花的训练要求时h的取 值范围.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(2)若跳水运动员在区域EF内入水
时才能达到压水花的训练要求, 求达到压水花的训练要求时h的取 值范围.

解 将点A(2,3)代入 y=a[x-(2+h)]2+4

得 ah2=-1, 1 所以 a=- 2. h
由题意,得方程 a[x - (2 + h)]2 +4=0在区间[5,6]内有一解.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(2)若跳水运动员在区域EF内入水
时才能达到压水花的训练要求, 求达到压水花的训练要求时h的取 值范围.

令 f(x)=a[x-(2+h)]2+4= 1 - 2[x-(2+h)]2+4, h

1 则 f(5)=- 2(3-h)2+4≥0, h
1 且 f(6)=- 2(4-h)2+4≤0. h

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(2)若跳水运动员在区域EF内入水

4 解得 1≤h≤ . 3 时才能达到压水花的训练要求, 所以达到压水花的训练要求 求达到压水花的训练要求时h的取 4 时 h 的取值范围为[1, ]. 3 值范围.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(2)若跳水运动员在区域EF内入水 实际生活中的二次函数问题
时才能达到压水花的训练要求, (如面积、利润、产量等),可 求达到压水花的训练要求时h的取 值范围.
根据已知条件确定二次函数 单调性、零点解决,解题中

模型,结合二次函数的图象、

一定要注意函数的定义域.

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关

系是y=3 000+20x-0.1x2 (0<x<240,x∈N+),若每台产品的 售价为25万元,则生产者不亏本时 (销售收入不小于总成本 )的 最低产量是( A.100台 ) B.120台 C.150台 D.180台

题型分类·深度剖析
解析 设利润为f(x)万元,则
f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3 000 (0<x<240,x∈N+). 令f(x)≥0,得x≥150, ∴生产者不亏本时的最低产量是150台.

答案 C

题型分类·深度剖析 题型二 指数函数模型
解析 答案 思维升华

例2 (1)一个人喝了少量酒后,血液 中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL, 在停止喝酒后,血液中的酒精含量 以每小时 25% 的速度减少,为了保 障交通安全,某地根据《道路交通 安全法》规定:驾驶员血液中的酒 精含量不得超过 0.09 mg/mL ,那么, 此人至少经过 ________ 小时才能开 车.(精确到1小时)

题型分类·深度剖析 题型二 指数函数模型
解析 答案 思维升华

例2 (1)一个人喝了少量酒后,血液 设经过x小时才能开车. 中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL, 在停止喝酒后,血液中的酒精含量 由题意得 以每小时 25% 的速度减少,为了保 0.3(1-25%)x≤0.09, 障交通安全,某地根据《道路交通 ∴0.75x≤0.3, 安全法》规定:驾驶员血液中的酒 精含量不得超过 0.09 mg/mL ,那么,x≥log0.750.3≈4.19. 此人至少经过 ________ 小时才能开 ∴x最小为5. 车.(精确到1小时)

题型分类·深度剖析 题型二 指数函数模型
解析 答案 思维升华

例2 (1)一个人喝了少量酒后,血液 设经过x小时才能开车. 中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL, 在停止喝酒后,血液中的酒精含量 由题意得 以每小时 25% 的速度减少,为了保 0.3(1-25%)x≤0.09, 障交通安全,某地根据《道路交通 ∴0.75x≤0.3, 安全法》规定:驾驶员血液中的酒 精含量不得超过 0.09 mg/mL ,那么,x≥log0.750.3≈4.19. 此人至少经过 ________ 5 小时才能开 ∴x最小为5. 车.(精确到1小时)

题型分类·深度剖析 题型二
例2 (1)一个人喝了少量酒后,血液 一般地,涉及增长率问题、 中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL, 存蓄利息问题、细胞分裂问 在停止喝酒后,血液中的酒精含量 题等,都可以考虑用指数函 以每小时 25% 的速度减少,为了保 障交通安全,某地根据《道路交通 数的模型求解.求解时注意 安全法》规定:驾驶员血液中的酒 指数式与对数式的互化,指

指数函数模型

解析

答案

思维升华

精含量不得超过 0.09 mg/mL ,那么, 数函数的值域的影响以及实 此人至少经过 ________ 5 小时才能开 际问题中的条件限制. 车.(精确到1小时)

题型分类·深度剖析
例2 (2) 里氏震级 M 的计算公式:
解析 答案 思维升华

M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记 录的地震曲线的最大振幅, A0 是相 应的标准地震的振幅.假设在一次 地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000 , 此 时 标 准 地 震 的 振 幅 为 0.001 , 则 此 次 地 震 的 震 级 为 ________ 级; 9 级地震的最大振幅

是5级地震最大振幅的_______倍.

题型分类·深度剖析
例2 (2) 里氏震级 M 的计算公式:
解析 答案 思维升华

M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记 录的地震曲线的最大振幅, A0 是相 应的标准地震的振幅.假设在一次

由M=lg A-lg A0知, M=lg 1 000-lg 0.001

地震中,测震仪记录的最大振幅是 =3-(-3)=6, 1 000 , 此 时 标 准 地 震 的 振 幅 为 ∴此次地震的震级为6级. 0.001 , 则 此 次 地 震 的 震 级 为 设9级地震的最大振幅为A 1, ________ 级; 9 级地震的最大振幅 5级地震的最大振幅为A2, 是5级地震最大振幅的_______倍.

题型分类·深度剖析
例2 (2) 里氏震级 M 的计算公式:
解析 答案 思维升华

M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记 则 lgA1=lg A1-lg A2 A2 录的地震曲线的最大振幅, A0 是相 =(lg A1-lg A0)-(lg A2-lg A0) 应的标准地震的振幅.假设在一次 =9-5=4. 地震中,测震仪记录的最大振幅是 A 1 000 , 此 时 标 准 地 震 的 振 幅 为 ∴ 1=104=10 000, A2 0.001 , 则 此 次 地 震 的 震 级 为 ∴9 级地震的最大振幅是 5 级 ________ 级; 9 级地震的最大振幅 是5级地震最大振幅的_______倍. 地震最大振幅的10 000倍.

题型分类·深度剖析
例2 (2) 里氏震级 M 的计算公式:
解析 答案 思维升华

M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记 则 lgA1=lg A1-lg A2 A2 录的地震曲线的最大振幅, A0 是相 =(lg A1-lg A0)-(lg A2-lg A0) 应的标准地震的振幅.假设在一次 =9-5=4. 地震中,测震仪记录的最大振幅是 A 1 000 , 此 时 标 准 地 震 的 振 幅 为 ∴ 1=104=10 000, A2 0.001 , 则 此 次 地 震 的 震 级 为 ∴9 级地震的最大振幅是 5 级 6 ________ 级; 9 级地震的最大振幅 10 000 倍. 地震最大振幅的10 000倍. 是5级地震最大振幅的_______

题型分类·深度剖析
例2 (2) 里氏震级 M 的计算公式:
解析 答案 思维升华

M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记 一般地,涉及增长率问题、 录的地震曲线的最大振幅, A0 是相 存蓄利息问题、细胞分裂问 应的标准地震的振幅.假设在一次 题等,都可以考虑用指数函 地震中,测震仪记录的最大振幅是 数的模型求解.求解时注意 1 000 , 此 时 标 准 地 震 的 振 幅 为 0.001 , 则 此 次 地 震 的 震 级 为

指数式与对数式的互化,指 数函数的值域的影响以及实

6 ________ 级; 9 级地震的最大振幅
10 000 倍. 是5级地震最大振幅的_______

际问题中的条件限制.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的
繁殖规律为 y =ekt(其中 k 为常数,t 表示时间,单位:小时, y 表 2ln 2 ,经过 5 小时, 1 个病毒能繁殖为 示病毒个数 ) ,则 k = ________

1 024 个. ________ 解析 当t=0.5时,y=2,∴2=e ,
∴k=2ln 2,∴y=e2tln 2, 当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
1 k 2

题型分类·深度剖析 题型三
例3

分段函数模型

中共十八届三中全会提出要努力建设社会主义文化强

国.为响应中央号召.某市2016年计划投入600万元加强民族
文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内 (以

30天计),民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系 1 近似满足f(x)=4(1+ ),人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数 x 关系近似满足g(x)=104-|x-23|.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(1) 求该市旅游日收益 p(x)( 万元 ) 与 时 间 x(1≤x≤30 , x∈N) 的 函

数关系式;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(1) 求该市旅游日收益 p(x)( 万元 ) 与 时 间 x(1≤x≤30 , x∈N) 的 函 解 由题意知p(x)=f(x)g(x) =4(1+ 1 )(104-|x-23|) x (1≤x≤30,x∈N+).

数关系式;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(1) 求该市旅游日收益 p(x)( 万元 ) 与 时 间 x(1≤x≤30 , x∈N) 的 函
(1) 分段函数的特征主要是每
一段自变量变化所遵循的规 律不同.分段函数模型的最 值问题,应该先求出每一段 上的最值,然后比较大小.

数关系式;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(1) 求该市旅游日收益 p(x)( 万元 ) 与 时 间 x(1≤x≤30 , x∈N) 的 函

(2) 构造分段函数时,要力
求准确、简洁,做到分段 合理,保证不重不漏.

数关系式;

题型分类·深度剖析
(2) 若以最低日收益的 15% 为纯收入,该市对纯收入按 1.5% 的
税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.
1 ? ?4?1+x ??81+x??1≤x≤23,x∈N+?, 由 p(x)=? ?4?1+1??127-x??23<x≤30,x∈N ?. + x ?
81 x· )=400, x



①当 1≤x≤23 时, 1 81 p(x)=4(1+ )(81+x)=4(82+x+ )≥4(82+2 x x

题型分类·深度剖析
(2) 若以最低日收益的 15% 为纯收入,该市对纯收入按 1.5% 的
税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.
81 当且仅当 x= ,即 x=9 时 p(x)取得最小值 400. x 1 127 ②当 23<x≤30 时,p(x)=4(1+ )(127-x)=4(126+ -x ). x x 127 127 设 h(x)= -x,则有 h′(x)=- 2 -1<0, x x

题型分类·深度剖析
(2) 若以最低日收益的 15% 为纯收入,该市对纯收入按 1.5% 的
税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.
所以 h(x)在(23,30]上为减函数,则 p(x)在(23,30]上也是减函数, 127 14 所以当 x=30 时,p(x)min=4(126+ -30)=400 >400. 30 15 所以当x=9时,p(x)取得最小值400万元.

则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,

所以600万元的投资可以在两年内收回.

题型分类·深度剖析
(2) 若以最低日收益的 15% 为纯收入,该市对纯收入按 1.5% 的
税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.
思维升华 (1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不 同.分段函数模型的最值问题,应该先求出每一段上的最值, 然后比较大小. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理,

保证不重不漏.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 某学校制定奖励条例,对在教育教学中取得优异

成绩的教职工实行奖励,其中有一个奖励项目是针对学生高

考成绩的高低对任课教师进行奖励的 .奖励公式为 f(n) =
k(n)(n-10),n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该 任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的

题型分类·深度剖析
?n≤10?, ? ?0 ?100 ?10<n≤15?, ? 单位为元),而k(n)= ?200 ?15<n≤20?,现有甲、乙两位数学 ? ?300 ?20<n≤25?, ? ?400 ?n>25?. 任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分 18分,

而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分 21分.则乙所得

奖励比甲所得奖励多(
A.600元 B.900元

)
C.1 600元 D.1 700元

题型分类·深度剖析
解析 ∵k(18)=200(元),

∴f(18)=200×(18-10)=1 600(元).
又∵k(21)=300(元), ∴f(21)=300×(21-10)=3 300(元),

∴f(21)-f(18)=3 300-1 600=1 700(元).故选D.
答案 D

题型分类·深度剖析 答题模板系列2 函数应用问题
典例: (12 分 ) 某工厂统计资料显示,一种产品次品率 p 与日产量 x(x∈N+,80≤x≤100)件之间的关系如下表所示: 日产量x 80 81 82 ? x ? 98 99 100

1 1 1 1 1 1 次品率p 28 27 26 ? p(x) ? 9 10 8 1 其中 p(x)= (a 为常数). 已知生产一件正品盈利 k 元, 生产一 a-x k 件次品损失 元(k 为给定常数). 3

题型分类·深度剖析
(1)求出a,并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的
函数;
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
(1)求出a,并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的
函数;
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

首先根据图表确定次品率p(x),利用“日盈利额=正品盈
利总额-次品损失总额”求出y关于x的函数;

题型分类·深度剖析
(1)求出a,并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的
函数;
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

1 由题意,当日产量为 x 时,次品数为 · x, 108-x 1 正品数为(1- )· x, 108-x

解 根据列表数据可得a=108, 1 所以 p(x)= (x∈N+,80≤x≤100), 108-x

2分

3分

题型分类·深度剖析
(1)求出a,并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的
函数;
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒
5分

1 1 1 所以 y=(1- )· x· k- · x · k, 108-x 108-x 3
1 4 整理得 y= kx(3- )(x∈N+,80≤x≤100). 3 108-x

6分

题型分类·深度剖析
(1)求出a,并将该厂的日盈利额y(元)表示为日生产量x(件)的
函数;
思 维 点 拨 解 析 温 馨 提 醒

本题函数模型的建立分为两个阶段:先求次品率p(x),再求日盈 利额关于日产量x的函数,要在充分理解题意的基础上建模;

题型分类·深度剖析
(2)为了获得最大盈利,该厂的日生产量应该定为多少件?
思 维 点 拨 解 析 答 题 模 板 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
(2)为了获得最大盈利,该厂的日生产量应该定为多少件?
思 维 点 拨 解 析 答 题 模 板 温 馨 提 醒

求第(1)步建立函数模型的最大值.

题型分类·深度剖析
(2)为了获得最大盈利,该厂的日生产量应该定为多少件?
思 维 点 拨 解 析 答 题 模 板 温 馨 提 醒
7分



令t=108-x,t∈[8,28],t∈N+.

1 4 1 144 则 y= k(108-t)(3- )= k[328-3(t+ )] 3 t 3 t
1 144 256 ≤ k(328-3×2· t· )= k. 3 t 3
10分

题型分类·深度剖析
(2)为了获得最大盈利,该厂的日生产量应该定为多少件?
思 维 点 拨 解 析 答 题 模 板 温 馨 提 醒

144 当且仅当 t= ,即 t=12 时取得最大盈利,此时 x=96. t

答 为了取得最大盈利,该工厂的日生产量应定为96件.
12分

题型分类·深度剖析
(2)为了获得最大盈利,该厂的日生产量应该定为多少件?
思 维 点 拨 解 析 答 题 模 板 温 馨 提 醒

解函数应用题的一般程序:

第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量
关系; 第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知 识建立相应的数学模型;

题型分类·深度剖析
(2)为了获得最大盈利,该厂的日生产量应该定为多少件?
思 维 点 拨 解 析 答 题 模 板 温 馨 提 醒

第三步:解模——求解数学模型,得到数学结论; 第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题 的意义; 第五步:反思——对于数学模型得到的数学结果,必须验证 这个数学结果对实际问题的合理性.

题型分类·深度剖析
(2)为了获得最大盈利,该厂的日生产量应该定为多少件?
思 维 点 拨 解 析 答 题 模 板 温 馨 提 醒

求函数模型的最值时一定要考虑函数的定义域;解题步骤的最
后要对所求问题作答.

题型分类·深度剖析
1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用

方 法 与 技 巧

问题的基础. 2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以 利用二次函数的最值、函数的单调性、均值不等 式等求得最值.

3.解函数应用题的四个步骤:①审题;②建模;
③解模;④还原.

题型分类·深度剖析

1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,

失 误 与 防 范

要正确理解题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合 理确定函数的定义域.

3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证
这个数学解对实际问题的合理性.

题型分类·深度剖析
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10

题型分类·深度剖析
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10

1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%), 仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是( D ) A.118元 C.106元 B.105元 D.108元

解析 设进货价为a元,
由题意知132×(1-10%)-a=10%· a,解得a=108.

题型分类·深度剖析
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10

2.若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的
高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( B )

解析 根据题意得解析式为h=20-5t(0≤t≤4),其图象为B.

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3.已知A、B两地相距150 千米,某人开汽车以60 千米/小时
的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50 千米/小时的 速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数,解 析式是( A.x=60t
?60t?0≤t≤2.5?, ? C.x=?150?2.5<t≤3.5?, ? ?150-50?t-3.5??3.5<t≤6.5?

) B.x=60t+50t
? ?60t?0≤t≤2.5?, D.x=? ? ?150-50t?t>3.5?

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解析 应分三段建立函数关系,当0≤t≤2.5时,x=60t;
当2.5<t≤3.5时,汽车与A地的距离不变是150;
当3.5<t≤6.5时,x=150-50(t-3.5).

答案 C

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4. 某电信公司推出两种手机收费方式: A种方式是月租20元,
B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间 t(分钟) 与打出电话费 s( 元 ) 的函数关系如图,当打出电话 150 分钟时, 这两种方式电话费相差(
A.10 元 C.30 元

)

B.20 元 40 D. 元 3

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5.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A 地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利 润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆),若该公

司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车,则能获得的最大利润
是( )

A.10.5万元
C.43万元

B.11万元
D.43.025万元

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6 .如图是某质点在 4 秒钟内作直线运动时,速度函数 v = 11 v(t)的图象,则该质点运动的总路程为________cm.

解析

1 1 总路程为(2+4)×1× +4×1+ ×2×4=11. 2 2

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7.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底下一个细微的小

孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),
经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________ min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.

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-8b

8

9

10

解析
-8b

当 t=0 时,y=a,当 t=8 时,y=ae

1 = a, 2

1 ∴e = ,容器中的沙子只有开始时的八分之一时, 2 1 -bt 即 y=ae = a, 8 1 -bt e = =(e-8b)3=e-24b,则 t=24, 8
所以再经过 16 min.

答案 16

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8.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km (不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过

部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米
2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一 次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了________ km.

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解析 设出租车行驶x km时,付费y元,
?9,0<x≤3, ? 则 y=?8+2.15?x-3?+1,3<x≤8, ? ?8+2.15×5+2.85?x-8?+1,x>8,

由y=22.6,解得x=9.
答案 9

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9.某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年
度计划将电价调至0.55元~0.75元之间,经测算,若电价调 至x元,则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x-0.4)(元)成反

比例.又当x=0.65时,y=0.8.

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(1)求y与x之间的函数关系式;

解 ∵y与(x-0.4)成反比例,
k ∴设 y= (k≠0). x-0.4

k 把 x=0.65,y=0.8 代入上式,得 0.8= ,k=0.2. 0.65-0.4 0.2 1 1 ∴y= = , 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y= . x-0.4 5x-2 5x-2

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(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度
电力部门的收益将比上年度增加 20% ?[收益=用电量×(实际 电价-成本价)]
解 1 根据题意,得(1+ )· (x-0.3) 5x-2

=1×(0.8-0.3)×(1+20%).
整理,得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5,x2=0.6.

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经检验x1=0.5,x2=0.6都是所列方程的根. ∵x的取值范围是0.55~0.75,

故x=0.5不符合题意,应舍去.∴x=0.6.
∴当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增 加20%.

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10 . “ 活水围网 ” 养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特 点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下, 每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾 /立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年; 当4<x≤20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺 氧等原因,v的值为0千克/年.

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(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数表达式;



由题意得当0<x≤4时,v=2;

当4<x≤20时,设v=ax+b,

显然v=ax+b在(4,20]内是减函数,
1 ? ?a=-8, ?20a+b=0, 由已知得? 解得? ?4a+b=2, ?b=5, 2 ?

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1 5 所以 v=- x+ , 8 2
?2, ? 故函数 v=? 1 5 - x+ , ? 2 ? 8

0<x≤4, 4<x≤20.

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(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米) 可以达到最大?并求出最大值.

解 设年生长量为f(x)千克/立方米,
?2x, ? 依题意并由(1)可得 f(x)=? 1 2 5 - x + x, ? 2 ? 8

0<x≤4, 4<x≤20,

当0<x≤4时,f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=4×2=8;

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1 2 5 1 2 1 当 4<x≤20 时, f(x)=- x + x=- (x -20x)=- (x-10)2 8 2 8 8 100 + ,f(x)max=f(10)=12.5. 8

所以当0<x≤20时,f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最 大,最大值为12.5千克/立方米.

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11.某种新药服用x小时后血液中的残留量为 y毫克,如图所
示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克

时,治疗有效.设某人上午 8 : 00 第一次服药,为保证疗效,
则第二次服药最迟的时间应为( )

A.上午10:00
C.下午4:00

B.中午12:00
D.下午6:00

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解析 当x∈[0,4]时,设y=k1x,
把(4,320)代入,得k1=80,∴y=80x.
当x∈[4,20]时,设y=k2x+b. 把(4,320),(20,0)分别代入
?k2=-20, 可得? ?b=400.

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∴y=400-20x.
?80x, ∴y=f(x)=? ?400-20x,

0≤x≤4, 4<x≤20.

由y≥240,
? ?0≤x≤4 得? ? ?80x≥240

?4<x≤20, 或? ?400-20x≥240.

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解得3≤x≤4或4<x≤8,
∴3≤x≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午4:00.故选C.

答案 C

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12.我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还 征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年 大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率 x%) ,则每年销售量将减少 10x 万瓶,如果要使每年在此项经营

中所收取的附加税额不少于112万元,则x的最小值为(
A.2 B.6 C .8 D.10

)

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13.某工厂采用高科技改革,在两年内产值的月增长率都是 a ,则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增 长率为( A.a12-1 C.a ) B.(1+a)12-1 D.a-1

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解析

不妨设第一年8月份的产值为b,则9月份的产值为b(1+a),

10月份的产值为b(1+a)2,依次类推,到第二年8月份是第一年8
月份后的第12个月,

即一个时间间隔是1个月,这里跨过了12个月,
故第二年8月份产值是b(1+a)12.

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答案 B

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14 .某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门 审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产 n年的累计产量
1 为f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给 2

环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线 拟定最长的生产期限是________年.

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解析 设第n(n∈N+)年的年产量为an,
1 则 a1= ×1×2×3=3; 2
1 1 当 n≥2 时,an=f(n)-f(n-1)= n(n+1)· (2n+1)- n(n-1)· 2 2 (2n-1)=3n2.

又a1=3也符合an=3n2,

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所以an=3n2(n∈N+). 令an≤150,即3n2≤150,
解得-5 2≤n≤5 2,所以 1≤n≤7,n∈N+,

故最长的生产期限为7年.

答案 7

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15.某厂生产某种产品的年固定成本为 250万元,每生产x千件, 1 2 需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)= x 3 +10x(万元);当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+ 10 000 x -1 450( 万元).通过市场分析,若每件售价为500元时,该厂
年内生产的商品能全部销售完.

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(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;

解 当0<x<80,x∈N+时,
500×1 000x 1 2 1 2 L(x)= - x -10x-250=- x +40x-250; 10 000 3 3

当x≥80,x∈N+时,
500×1 000x 10 000 L(x)= -51x- +1 450-250 10 000 x

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10 000 =1 200-(x+ ), x
? 1 2 ?-3x +40x-250?0<x<80,x∈N+?, ∴L(x)=? ?1 200-?x+10 000??x≥80,x∈N ?. + x ?

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(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润 最大?
1 解 当 0<x<80,x∈N+时,L(x)=- (x-60)2+950, 3 ∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.

当x≥80,x∈N+时,
10 000 L(x)=1 200-(x+ )≤1 200-2 x 10 000 x· x

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=1 200-200=1 000,
10 000 ∴当 x= ,即 x=100 时, x L(x)取得最大值L(100)=1 000>950.

综上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1 000,

即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润
最大.

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