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2008--2012年浙江近五年高考数学(理科)试卷word版(含答案)



2012 浙江省高考数学(理科)试卷 word 版(含答案) 2012 年普通高等学校招生全国统一考试



学(理科)

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部 分 4 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答

题纸上。

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一个项是符合题目要求的。
2 1.设集合 A ? ?x |1 ? x ? 4? ,集合 B ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 A ? (CR B) ?

?

?

4) A. (1,

4) B. (3 ,
3?i ? 1? i B. 2 ? i

3) C. (1 ,

2) 4) D. (1, ? (3 ,

2.已知 i 是虚数单位,则 A. 1 ? 2i

C. 2 ? i

D. 1 ? 2i

3.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平 行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.把函数 y ? cos 2 x ? 1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后 向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

5.设 a , b 是两个非零向量 A.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则 a ? b B.若 a ? b ,则 | a ? b |?| a | ? | b | C.若 | a ? b |?| a | ? | b | ,则存在实数 ? ,使得 b ? ? a

D.若存在实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 | a ? b |?| a | ? | b | 6.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共 有 A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种 7.设 Sn 是公差为 d ( d ? 0 )的无穷等差数列 ?an ? 的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d ? 0 ,则数列 {Sn } 有最大项 B.若数列 {Sn } 有最大项,则 d ? 0 C.若数列 {Sn } 是递增数列,则对任意 n ? N * ,均有 Sn ? 0 D.若对任意 n ? N * ,均有 Sn ? 0 ,则数列 {Sn } 是递增数列

8.如图, F , F2 分别是双曲线 C : 1

x2 y 2 ? ? 1(a , ? 0) 的 b a 2 b2

左、右两焦点, B 是虚轴的端点,直线 F1 B 与 C 的两条渐近 线分别交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点

M .若 | MF1 |?| F1F2 | ,则 C 的离心率是

A.

2 3 3

B.

6 2

C. 2

D. 3

9.设 a ? 0 , b ? 0
a b A.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b a b C.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b

B. 2 ? 2a ? 2 ? 3b 若,则 a ? b
a b

D.若 2 ? 2a ? 2 ? 3b ,则 a ? b
a b

10.已知矩形 ABCD , AB ? 1 , BC ? 2 .将 ?ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进 行翻折,在翻折过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“ AC 与 BD ”“ AB 与 CD ”“ AD 与 BC ”均不垂直 , ,

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知某三棱锥的三视图(单位: cm )如图所示,则该三棱锥 的体积等于

cm3 .


12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 13.设公比为 q(q ? 0) 的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn . 若 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q ? 14.若将函数 f ( x) ? x5 表示为 .

f ( x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x)2 ? a3 (1 ? x)3 ? ?a4 (1 ? x)4 ? ?a5 (1 ? x)5 ,
其中 a0 , a1 , a2 ,?, a5 为实数,则 a3 ? .

15.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 , BC ? 10 , 则 AB ? BC ?

??? ??? ? ?



16.定义:曲线 C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l
2 的距离.已知曲线 C1 : y ? x ? a 到直线 l : y ? x 的距离等于曲线

C2 : x2 ? ( y ? 4)2 ? 2 到直线 l : y ? x 的距离,则实数 a ?
2 17.设 a ? R ,若 x ? 0 时均有 ?? a ? 1? x ? 1? x ? ax ? 1 ? 0 , ? ?



?

?

则a ? . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

C b c 已知 cos A ? 18. (本题满分 14 分) ?ABC 中, 在 内角 A ,B , 的对边分别为 a , , .

2 , 3

sin B ? 5 cos C .
(Ⅰ)求 tan C 的值; (Ⅱ)若 a ?

2 ,求 ?ABC 的面积.

19. (本题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分, 取出一个黑球得 1 分.现从箱中任取(无放回,且每球取道的机会均等)3 个球,记随机变 量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E ( X ) .

20. (本题满分 15 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面是 边长为 2 3 的菱形, ?BAD ? 120? ,且 PA ? 平面 ABCD ,

PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB , PD 的中点.
(Ⅰ)证明: MN ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)过点 A 作 AQ ? PC ,垂足为点 Q ,求二面角

A ? MN ? Q 的平面角的余弦值.

21. (本题满分 15 分)如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

离心率为

1 ,其左焦点到点 P(2 , 1) 的距离为 10 ,不过原点 O 的 .... 2

直线 l 与 C 相交于 A , B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 ?ABP 面积取最大值时直线 l 的方程. 22. (本题满分 14 分)已知 a ? 0 , b ? R ,函数 f ( x) ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0 ? x ? 1 时, (i)函数 f ( x ) 的最大值为 | 2a ? b | ?a ; (ii) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? 0 ;

1] (Ⅱ)若 ?1 ? f ( x) ? 1 对 x ? [0 , 恒成立,求 a ? b 的取值范围.

数学(理科)试题参考答案
一、选择题:本题考察基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1.B 2.D 3.A 4.A 5.C 6.D 7.C 8.B 9.A 10.B 二、填空题:本题考察基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11.1 15.-16 12.

1 120 9 16. 4

13. 17.

3 2

14.10

3 2

三、解答题:本题共小题,满分 72 分。 18.本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。

(Ⅰ)因为 0 ? A ? ? , cos A ?

2 ,得 3

sin A ? 1 ? cos 2 A ?


5 3

5 cos C ? sin B ? sin( A ? C)
? sin A cos C ? cos A sin C

?
所以 tan C ? 5 (Ⅱ)由 tan C ? 5 ,得

5 2 cos C ? sin C 3 3

sin C ?
于是

1 5 , cos C ? , 6 6

sin B ? 5 cos C ?
由a ?

5 . 6

2 及正弦定理

a c ? ,得 sin A sin C

c ? 3.
设 ?ABC 的面积为 S ,则

1 5 S ? ac sin B ? . 2 2
19.本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查 抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分 14 分。 (Ⅰ)由题意得 X 取 3,4,5,6,且

P( X ? 3 ) ?

3 C5 5 , ? 3 C9 42

P( X ? 4) ?

1 C4 ? C52 10 ? , 3 C9 21

2 C4 ? C52 5 P( X ? 5) ? ? , 3 C9 14

4 C4 1 P( X ? 6) ? 3 ? . C9 21

所以 X 的分布列为

X
P

3

4

5

6

5 42

10 21

5 14

1 21

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

E ( X ) ? 3 ? P( X ? 3) ? 4 ? P( X ? 4) ? 5 ? P( X ? 5) ? 6 ? P( X ? 6) ?

13 . 3

20.本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用, 同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ)因为 M , N 分别是 PB , PD 的中点,所以 MN 是 ?PBD 的中位线,所以

MM / / BD 又因为 MN ? 平面 ABCD ,所以 MM / / 平面 ABCD .
(Ⅱ)方法一: 连结 AC 交 BD 于 O ,以 O 为原点, OC , OD 所在直线为 x , y 轴,建立空 间直角坐标系 Oxyz ,如图所示 在菱形 ABCD 中, ?BAD ? 120? ,得

AC ? AB ? 2 3 , BD ? 3 AB ? 6 .
又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 P A? A C . 在直角 ?PAC 中, AC ? 2 3 , PA ? 2 6 , AQ ? PC ,得

QC ? 2 , PQ ? 4 .
由此知各点坐标如下,

A(? 3 , 0 , 0) , B(0 , ? 3 , 0) , C( 3 , 0 , 0) , D(0 , 3 , 0) , P(? 3 , 0 , 2 6) , M (?
3 3 , ? , 6) , 2 2

N (?

3 3 3 2 6 , , 6) , Q( ,0, ). 2 2 3 3

设 m ? ( x , y , z ) 为平面 AMN 的法向量.

由 AM ? (

???? ?

???? 3 3 3 3 , ? , 6) , AN ? ( , , 6) 知 2 2 2 2

? ? ? ? ? ? ?

3 3 x ? y ? 6z ? 0 2 2 3 3 x ? y ? 6z ? 0 2 2

取 x ? ?1 ,得

m ? (2 2 , 0 , ?1)
设 n ? ( x , y , z ) 为平面 QMN 的法向量.

由 QM ? (?

???? ?

???? 5 3 3 6 5 3 3 6 ,? , ) , QN ? (? , , )知 6 2 3 6 2 3

? 5 3 3 x? y? ?? ? 6 2 ? ?? 5 3 x ? 3 y ? ? 6 2 ?
取 z ? 5 ,得

6 z?0 3 6 z?0 3

n ? (2 2 , 0 , 5)
于是

cos ? m , n ??

m?n 33 . ? | m | ? | n | 33
33 . 33

所以二面角 A ? MN ? Q 的平面角的余弦值为 方法二: 在菱形 ABCD 中, ?BAD ? 120? ,得

AC ? AB ? BC ? DA , BD ? 3 AB ,
有因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? AC , PA ? AD , 所以 PB ? PC ? PD . 所以 ?PBC ? ?PDC . 而 M , N 分别是 PB , PD 的中点,所以

MQ ? NQ ,且 AM ?

1 1 PB ? PD ? AN . 2 2

取线段 MN 的中点 E ,连结 AE , EQ ,则

AE ? MN , QE ? MN ,
所以 ?AEQ 为二面角 A ? MN ? Q 的平面角.

由 AB ? 2 3 , PA ? 2 6 ,故 在 ?AMN 中, AM ? AN ? 3 , MN ?

1 BD ? 3 ,得 2

AE ?

3 3 . 2

在直角 ?PAC 中, AQ ? PC ,得

AQ ? 2 2 , QG ? 2 , PQ ? 4 ,
在 ?PBC 中, cos ?BPC ?

PB 2 ? PC 2 ? BC 2 5 ? ,得 2 PB ? PC 6

MQ ? PM 2 ? PQ 2 ? 2 PM ? PQ cos ?BPC ? 5 .
在等腰 ?MQN 中, MQ ? NQ ? 5 , MN ? 3 ,得

QE ? MQ2 ? ME 2 ?

11 . 2

在 ?AEQ 中, AE ?

3 3 11 , QE ? , AQ ? 2 2 ,得 2 2

cos ?AEQ ?

AE 2 ? QE 2 ? AQ2 33 . ? 2 AE ? QE 33
33 . 33

所以二面角 A ? MN ? Q 的平面角的余弦值为

21.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解 析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分 15 分。

0) (Ⅰ)设椭圆左焦点为 F (?c , ,则由题意得

? (2 ? c) ? 1 ? 10 ? , ?c 1 ? ? ?a 2
得?

?c ? 1 ?a ? 2
所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)设 A( x1 ,1 ) , B( x2 , 2 ) ,线段 AB 的中点为 M . y y 当直线 AB 与 x 轴垂直时, 直线 AB 的方程为 x ? 0 , 与不过原点的条件不符, 舍去. 故 可设直线 AB 的方程为

y ? kx ? m(m ? 0) ,
由?

? y ? kx ? m
2 2 ?3x ? 4 y ? 12

消去 y ,整理得

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ,


(1)

8km ? ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 , ? 2 ? x x ? 4m ? 12 ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
所以 AB 线段的中点 M (?

8km 4m2 ? 12 , ), 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为 M 在直线 OP 上,所以

3m ?2km ? , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2


3 m ? 0 (舍去)或 k ? ? , 2
此时方程(1)为 3x ? 3mx ? m ? 0 ,则
2 2

? x1 ? x2 ? m ? ? ? 3(12 ? m ) ? 0 , ? m2 ? 3 x1 x2 ? ? 3 ?
2

所以

| AB |? 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 |?

39 ? 12 ? m2 , 6

设点 P 到直线 AB 距离为 d ,则

d?

| 8 ? 2m | 32 ? 22

?

2| m?4| , 13

设 ?ABP 的面积为 S ,则

S?

1 3 | AB | ?d ? ? (m ? 4) 2 (12 ? m2 ) , 2 6

其中 m? (?2 3,0) ? (0, 2 3) , 令 u(m) ? (12 ? m2 )(m ? 4)2 , m?[?2 3, 2 3]

u '(m) ? ?4(m ? 4)(m2 ? 2m ? 6) ? ?4(m ? 4)(m ?1 ? 7)(m ?1 ? 7) ,
所以当且仅当 m ? 1 ? 7 , u ( m) 取到最大值, 故当且仅当 m ? 1 ? 7 , S 取到最大值. 综上,所求直线 l 方程为 3x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0 . 22.本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识,同时考查推理 论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分 14 分。 (Ⅰ) (i) f '( x) ? 12ax ? 2b ? 12a ( x ?
2 2

b ) 6a

当 b ? 0 时,有 f '( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 [0, ??) 上单调递增 所以当 0 ? x ? 1 时,

?3a ? b, b ? 2a f ( x)max ? max{ f (0), f (1)} ? max{?a ? b,3a ? b} ? ? ?| 2a ? b | ?a ??a ? b, b ? 2a
(ii)由于 0 ? x ? 1 ,故 当 b ? 2a 时,

f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f ( x) ? 3a ? b ? 4ax3 ? 2bx ? 2a ? 4ax3 ? 4ax ? 2a ? 2a(2x3 ? 2x ? 1)
当 b ? 2a 时,

f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f ( x) ? a ? b ? 4ax3 ? 2b(1 ? x) ? 2a ? 4ax3 ? 4a(1 ? x) ? 2a ? 2a(2x3 ? 2x ?1)

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1,0 ? x ? 1 ,则
3

g '( x) ? 6 x 2 ? 2 ? 6( x ?
于是

3 3 )( x ? ), 3 3

x
g '( x )

0

(0,

3 ) 3

3 3
-

(

3 ,1) 3
0

1

+

g ( x)
所以, g ( x)min ? g ( 所以

1



极小值



1

3 4 3 ) ? 1? ?0, 3 9

3 当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0

故 f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f ( x) ? a ? b ? 2a(2 x3 ? 2 x ? 1) ? 0 (Ⅱ)由(i)知,当 0 ? x ? 1 , f ( x)max ?| 2a ? b | ?a ,所以

| 2a ? b | ?a ? 1
若 | 2a ? b | ?a ? 1 ,则由(ii)知

f ( x) ? ?(| 2a ? b | ?a) ? ?1
所以 ?1 ? f ( x) ? 1 对任意 0 ? x ? 1 恒成立的充要条件是

?| 2a ? b | ?a ? 1 , ? ?a ? 0
? 2a ? b ? 0 ? 2a ? b ? 0 ? ? 即 ?3a ? b ? 1 ,或 ?b ? a ? 1 (1) ?a ? 0 ?a ? 0 ? ?
在直角坐标系 aOb 中, (1)所表示的平面区域为如图所示的阴影部分, 其中不包括线段 BC , 作一组平行直线 a ? b ? t (t ? R) ,得

?1 ? a ? b ? 3 .
所以的取值范围是 (?1,3] .

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 理科数学
一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)设函数 f ( x) ? ? (A)-4 或-2 【答案】B

?? x, x ? 0,
2 ? x , x? 0.

若f (? ) ? 4 ,则实数 ? =
(C)-2 或 4 (D)-2 或 2

(B)-4 或 2

【解析】当 ? ? 0 时, f (? ) ? ?? ? 4, ? ? ?4 ; 当 ? ? 0 时, f (? ) ? ? 2 ? 4, ? ? 2 . (2)把复数 z 的共轭复数记作 z , i 为虚数单位,若 z ? 1 ? i ,则 (1 ? z) ? z ? (A)3-i 【答案】A (B)3+i (C)1+3i (D)3

【解析】∵ z ? 1 ? i ,∴ z ? 1 ? i ,∴ (1 ? z) ? z ? (1 ? 1 ? i)(1 ? i) ? 3 ? i .

(3)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是

【答案】D 【解析】由正视图可排除 A、B 选项;由俯视图可排除 C 选项.

(4)下列命题中错误的是
(A)如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? (B)如果平面 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? (C)如果平面 ? ? 平面? ,平面 ? ? 平面? , ? ? ? =l ,那么 l ? 平面? (D)如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 【答案】D 【解析】因为若这条线是 平面? 和平面? 的交线 L,则交线 L 在平面 ? 内,明显可得交线 L 在平面 ? 内,所以交线 L 不可能垂直于平面 ? ,平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 是错

误的

? x ? 2 y ? 5>0 ? (5)设实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7>0, 若 x , y 为整数,则 3x ? 4 y 的最小值是 ? x≥0,y≥0, ?
(A)14 (B)16 (C)17 【答案】B 【解析】可行域如图所示
2x+y-7=0

(D)19

y

X+2y-5=0 o x

联立 ?

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?x ? 3 ,解之得 ? ,又∵边界线为虚线取不到,且目标函数线的斜率为 ?2 x ? y ? 7 ? 0 ?y ? 1

?

3 ,∴当 z ? 3x ? 4 y 过点(4,1)时,有最小值 16. 4

(6)若 0<?<

?
2

,-

?

? 1 ? ? ? 3 <?<0 ,cos( ? ? ) ? ,cos( ? ) ? ,则 cos( ? ? ) ? 2 4 3 2 4 2 3
3 3
(C)

(A)

3 3

(B) ?

5 3 9

(D) ?

6 9

【答案】C 【解析】 cs ∵ o(

?
4

??) ?

1 ? ? 2 2 ? ? 3 ,0 ? ? ? , sin( ? ? ) ? ∴ , 又∵ cos( ? ) ? , 3 2 4 3 4 2 3

?

?

? ? ? ? ? ? 6 ? ? ? 0 , ∴ s i n (? ) ? , ∴ cos( ? ? ) ? cos[( ? ? ) ? ( ? )] = 2 2 4 4 2 4 2 3

cos(

?
4

? ? ) cos(

?
4

?

?
2

) ? sin(

?
4

? ? ) sin(

?
4

?
1 b

?

1 3 2 2 6 5 3 )= ? = . ? ? 2 3 3 3 3 9
1 a

(7)若 a , b 为实数,则“ 0<ab<1”是 a< 或b> 的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1 成立;当 a ? 0, b ? 0 时, b 1 1 1 两边同除以 a 可得 b ? 成立,∴“ 0 ? ab ? 1 ”是“ a ? 或 b ? ”的充会条件,反过 a b a 1 1 来 ab ? 0 ,由 a ? 或 b ? 得不到 0 ? ab ? 1 . b a
【解析】当 a ? 0, b ? 0 时,由 0 ? ab ? 1 两边同除 b 可得 a ?

(8)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 y2 ? 2 ? 1(a>b>0) 与双曲线 C2 : x 2 ? ? 1 有公共的焦点,C2 的一 a2 b 4

条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则
2 (A) a ?

13 2

2 (B) a ? 13

2 (C) b ?

1 2

2 (D) b ? 2

【答案】 C 【解析】由双曲线 x ?
2
2 2

y2 =1 知渐近线方程为 y ? ?2 x ,又∵椭圆与双曲线有公共焦点, 4

2 2 2 2 ∴椭圆方程可化为 b x + b ? 5 y = b ? 5 b ,联立直线 y ? ?2 x 与椭圆方程消 y 得,

?

?

?

?

x2 ?

?b

? 5 b2 b 2 ? 5 b 2 2a 2 ? ,又∵ C1 将线段 AB 三等分,∴ 1 ? 2 ? 2 , 5b 2 ? 20 3 5b 2 ? 20
2
2

?

?

?

解之得 b ?

1 . 2

(9)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机的并排摆放 到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率
[

(A)

1 5

(B)

2 5

(C)

3 5

D

4 5

【答案】B 【解析】由古典概型的概率公式得 P ? 1 ?
2 2 3 2 2 2 A2 A2 A32 ? A3 A2 A2 2 ? . 5 5 A5

(10)设 a,b,c 为实数, f ( x) ? ( x ? a)(x 2 ? bx ? c), g ( x) ? (ax ? 1) cx2 ? bx ? 1) .记集 ( 合 S= x f (x) ? 0, x ? R , T ? x g (x) ? 0, x ? R , 若 S , T 分别为集合元素 S,T 的元素 个数,则下列结论不可能的是 ... (A) S =1 且 T =0 (C) S =2 且 T =2 【答案】D 【解析】 a ? b ? c ? 0 时,s ? 1 且 | T |? 0 ; a ? 0 且 b2 ? 4ac?0 时, s ? 1 且 T ? 1 ; 当 当 当 a ? 0, b2 ? 4ac?0 且 b=a+c(例如 a=1 c=3,b=4)时, s ? 2 且 T ? 2 . (B) S ? 1且 T =1 (D) S =2 且 T =3

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 (11)若函数 f ( x) ? x2 ? x ? a 为偶函数,则实数 a ? 【答案】0 【解析】∵ f (x) 为偶函数,∴ f (? x) ? f ( x) , 即 。

x 2 ? | x ? a |? (?x) 2 ? | ?x ? a |? x ? a ? x ? a ,



a ? 0.
(12)若某程序图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的 值是 。 【答案】5
3 4 【解析】 k ? 3 时, a ? 4 =64, b ? 3 =84, a ? b ;

k ? 4 时, a ? 4 4 =256, b ? 4 4 =256, a ? b ; k ? 5 时, a ? 4 5 =256 ? 4 , b ? 5 4 =625, a ? b .

(13)设二项式 ( x ?

a 6 ) (a ? 0) 的展开式中 x 3 的系数为 A, x
。 题
3

常数项为 B,若 B=4A,则 a 的值是 【答案】2 【 解 析
k









Tk ?1 ? C x
k 6

6? k

6? k ? a ? k ?? ? ? ?? a ? C 6k x 2 , ? ? x? ?

2 4 ∴ A ? ?? a? C6 , B ? ?? a? C6 ,又∵ B ? 4 A , 2 4
2 4 2 ∴ ?? a ? C6 ? 4?? a? C6 ,解之得 a ? 4 ,又∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 .

4

2

(14)若平面向量α ,β 满足|α |≤1,|β |≤1,且以向量α ,β 为邻边的平行四边形的面积 为

1 ,则α 与β 的夹角 ? 的取值范围是 2 ? 5 【答案】 [ , ? ] 6 6
【解析】由题意得: ? ? sin ? ?



1 1 1 ? , ,∵ ? ? 1 , ? ? 1 ,∴ sin ? ? 2 2? ? 2

又∵ ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? [

? 5?
6 , 5

].

(15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业

2 ,得到乙公司面试的概率为 p ,且三个公司是否让其面试是 3 1 相互独立的。记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。若 P( X ? 0) ? ,则随机变量 X 的 12
生得到甲公司面试的概率为 数学期望 E ( X ) ? 【答案】

5 3

【解析】∵ P? X ? 0? ? ?1 ?
2

? ?

1 2? 2 1 ? p ? ,∴ p ? . 2 3? 12
2

2 ?1? 1 ?1? 1 ∴ P? X ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? , 3 ? 2? 3 ? 2? 3 2 ?1? 1 ?1? 5 P? X ? 2? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? , 3 ? 2? 3 ? 2? 12 P? X ? 3? ? 2 ?1? 1 ?? ? ? , 3 ? 2? 6
1 1 5 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 3 12 6 3
2 2 2

∴ E?X ? ? 0 ?

2 2 (16)设 x , y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1, 则 2x ? y 的最大值是

.。

【答案】

2 10 5
2

2 2 2 【解析】∵ 4 x ? y ? xy ? 1,∴ (2 x ? y) ? 3xy ? 1 ,即 (2 x ? y ) ?

3 ? 2 xy ? 1 , 2

∴ (2 x ? y ) ?
2

3 2x ? y 2 8 2 10 2 10 ( ) ? 1 ,解之得: ( 2 x ? y ) 2 ? ,即 ? ? 2x ? y ? . 2 2 5 5 5

x2 ? y 2 ? 1的焦点,点 A, B 在椭 (17)设 F1 , F2 分别为椭圆 3

圆上,若 F A ? 5F2 B ;则点 A 的坐标是 1 【答案】 ?0,1?

????

???? ?

.

【解析】设直线 F1 A 的反向延长线与椭圆交于点 B ? ,又∵ F1 A ? 5F2 B ,由椭圆的对称性 可得 F1 A ? 5B?F1 ,设 A?x1 , y1 ? , B??x2 , y 2 ? , 又∵ F1 A ?

6 3 2 6 3 2 x1 ? x2 ? , F1 B ' ? , 3 2 3 2

6 3 2 6 3 2 x1 ? ? x2 ? 2 3 2 解之得 x1 ? 0 ,∴点 A 的坐标为 (0,1)或(0,-1) ∴ 3 . x1 ? 2 ? 5(? 2 ? x2 )
三、解答题;本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (18) (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且 ac ? (Ⅰ)当 p ?

1 2 b . 4

5 , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4

(Ⅱ)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;

(19) (本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 为 a( a ? R ),设数列的前 n 项和为 Sn ,且

1 1 1 , , 成等比数列 a1 a2 a4

(1)求数列 {an } 的通项公式及 Sn (2) An ? 记

1 1 1 1 1 1 1 1 , n ? 2 时, 当 试比较 An ? ? ? ... ? ,Bn ? ? ? ? ... ? S1 S 3 S Sn a1 a2 a22 a2n 2

与 Bn 的大小. (20)本题满分 15 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ)证明:AP⊥BC; (Ⅱ)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由。

(21) (21) (本题满分 15 分)已知抛物线 C1 : x = y ,圆 C2 : x ? ( y ? 4) ? 1的圆心为
2

2

2

点 M。 (Ⅰ)求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (Ⅱ)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂足于 AB,求直线 l 的方程.

2 (22) (本题满分 14 分)设函数 f ( x ) = ( x ? a) ln x , a ∈R

(Ⅰ)若 x = e 为 y ? f ( x) 的极值点,求实数 a ; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ∈(0,3 e ],恒有 f ( x ) ≤4 e 成立. 注: e 为自然对数的底数。
2

数学(理科)试题参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。
(1)B(2)A(3)D(4)D(5)B(6)C(7)A(8)C(9)B(10)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。

(11)0(12)5(13)2(14)[ ? , 56? ] 6
5 (15) 3

2 10 (16) 5 (17)(0,±1)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。 (Ⅰ)解:由题设并利用正弦定理,得 ?
?a ? 1 ? a ? 1 4 解得 ? 或? 1 ?c ? 4 ?c ? 1
(Ⅱ)解:由余弦定理,b2=a2+c2-2ac cosB =(a+c)2-2ac cosB =p2b2- 1 b2 ? 1 b2 cos B, 即 p ? 2 2
2
2

?a ? c ? ?ac ?
1 4

5 4

3 1 ? cos B, 2 2

因为 0 ? cos B ? 1, 得 p ? ( , 2) ,由题设知 p ? 0 ,所以

3 2

6 ? p? 2 2

(19)本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同事考查分类 讨论思想。满分 14 分。

(Ⅰ)解:设等差数列{an}的公差为 d,由 ( 2 )2 ?

1 a

1 1 ? , a1 a4

得 (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) 。因为 d ? 0 ,所以 d ? a1 ? an 所以 an ? na, S n ? (Ⅱ)解:因为 所以

an(n ? 1) , 2

1 2 1 1 ? ( ? ), Sn a n n ? 1

An ?

1 1 1 1 2 1 ? ? ? ... ? (1 ? ). S1 S2 S3 Sn a n ?1
n ?1

因为 a2n?1 ? 2

a, 所以

1 1 ? ( )n 1 1 1 1 1 2 ? 2 (1 ? 1 ). Bn ? ? ? ? ... ? . a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 a 2n 2
0 1 2 n 当 n≥2 时, 2n ? Cn ? Cn ? Cn ? ...Cn ? n ?1 ,即 1 ?

1 1 ? 1? n , n ?1 2

所以,当 a>0 时, An ? Bn ;当 a<0 时, An ? Bn 。 (20)本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事 考查想象能力和运算求解能力。满分 15 分。 方法以:

(Ⅰ)证明:如图,以 O 为原点,以射线 OP 为 z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系 O-xyz 则 O(0,0,0) ,A(0,-3,0) ,B(4,2,0) ,C(-4,2,0) P(0,0,4) AP ? (0,3, 4), BC ? (?8,0,0), 由此可得 AP ? BC ? 0 所以
? ??? ??? ? AP ⊥ BC ,即 AP⊥BC.
(Ⅱ) 设 PM ? ? PA, ? ? 1, PM ? ? (0, ?3, ?4), 解:

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

???? ?

??? ?

???? ?

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ??? ? BM ? BP ? PM ? BP ? ? PA
? ( ?4 , ? 2 , 4 ? ? ) ( ?, ? , 4 ) 0 3

? (?4, ?2 ? 3? , 4 ? 4? ),

??? ? ??? ? AC ? (?4,5,0), BC ? (?8,0,0).
设 平 面 BMC 的 法 向 量

?? n1 ? ( x1, y1, z1 ),
平面 APC 的法向量 n1 ? ( x2 , y2 , z2 ),

??

???? ?? ? ? BM ? n1 ? 0, ? 由 ? ??? ?? ? ? BC ? n1 ? 0, ?
得?

??4 x1 ? (2 ? 3? ) y1 ? (4 ? 4? ) x1 ? 0, ??8 x1 ? 0,

? x1 ? 0, ? 2 ? 3? ? ), 即? 可取 n ? (0,1, 2 ? 3? 4 ? 4? ? z1 ? 4 ? 4? y1 , ?
5 ? ??? ?? ? ? ?? ? ? AP ? n2 ? 0, ?3 y2 ? 4 z2 ? 0, ? x2 ? 4 y2 , ? ? 由 ? ???? ?? 即? 得? 可取 n2 ? (5, 4, ?3), ? AC ? n1 ? 0, ??4 x2 ? 5 y2 ? 0, ? z ? 3 y , ? ? 2 4 2 ?
由 n1 ? n2 ? 0 ,得 4 ? 3 ? 解得 ? ?

?? ?? ?

2 ? 3? ?0 4 ? 4?

2 ,故 AM=3 5

综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3。 方法二:

(Ⅰ)证明:由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC, 又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC。 因为 PO∩BC=0,所以 BC⊥平面 PAD 故 BC⊥PA.
(Ⅱ)解:如图,在平面 PAD

内作 BM⊥PA 于 M,连 CM.

由(Ⅰ)中知 AP⊥BC,得 AP⊥平面 BMC. 又 AP ? 平面 APC,所以平面 BMC⊥平面 APC。 在 Rt⊿ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB= 41 在 Rt⊿POD 中, PB2=PO2+OD2, 在 Rt⊿PDB 中, PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2+OD2+BD2=36,得 PB=6. 在 Rt⊿POA 中, PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5
PA2 ? PB 2 ? AB 2 1 ? , 又 cos ?BPA ? 2 PA ? PB 3
从而 PM ? PBCOS ?BPA ? 2, 所以 AM ? PA ? PM ? 3

综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3.

(21)本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线,圆的位置关系等 基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能 力。满分 15 分。 (Ⅰ)解:由题意可知,抛物线的准线方程为: y ? ? , 所以圆心 M(0,4)
到抛物线的距离是

1 4

17 , 4

(Ⅱ) 解: P(x0, x02), ( x1, x12 ) ( x2 , x22 ) 由题意得 x0 ? ?1, x1 ? x2 设 A B , 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y-x0=k(x- x0) 即 y ? x02 ? k ( x ? x0 ) ,
则 ①

| kx0 ? 4 ? x0 2 | 1? k 2

?1

即 ( x02 ?1)k 2 ? 2x0 (4 ? x02 )k ? ( x02 ? 4)2 ?1 ? 0

设 PA,PB 的斜率为 k1, k2 (k1 ? k2 ) ,则 k1 , k2 是上述方程的两根,所以
2 x0 ( x0 2 ? 4) ( x0 2 ? 4)2 ? 1 , k1 ? k2 ? k1 ? k2 ? x0 2 ? 1 x02 ? 1
将①代入 y ? x 得 x2 ? kx ? kx0 ? x02 ? 0 ,
2

由于 x0 是此方程的根,故 x1 ? k1 ? x0 , x2 ? k2 ? x0 , 所以

k AB ?

2 x ( x 2 ? 4) x 2 ?4 x12 ? x22 ? x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2 x0 ? ( 0 20 ) ? 2 x0 kMP ? 0 x1 ? x2 x0 ? 1 x0 2 x ( x 2 ? 4) x 2 ?4 ? ( 0 20 ? 2 x0 ) ? ( 0 ) ? ?1 ,解得 x0 ? 1 x0
x0 2 ? x0 3 5

由 MP⊥AB,得 k AB ? kMP

即点 P 的坐标为 (?

23 23 3 115 x ? 4。 , ) ,所以直线 l 的方程为 y ? ? 115 5 5

(22)本题主要考查函数极限的概念、导数运算法则、导数运用,不等式等基础知识, 同时考查推理论证能力。分类讨论等分析问题和解决问题的能力。满分 14 分。

(Ⅰ)解:求导得 f’(x)=2(x-a)lnx+
因为 x=e 是 f(x)的极值点,所以

a ( x ? a)2 =( x ? a )(2ln x+1- ). x x

a f’(e)= ? e ? a ? ? 3 ? ? ? 0 ,解得 ? ? ? e?

a ? e 或 a ? 3e ,经检验,符合题意,所以 a ? e 或 a ? 3e 。

(Ⅱ)解:①当 0 ? x ? 1 时,对于任意的实数 a,恒有 f '( x) ? 1 ? 4c2 成立,
②当 1 ? x ? 3e ,由题意,首先有 f (3e) ? (3e ? a)2 ln(3e) ? 4e2 , 解得 3e ?

2e 2e ? a ? 3e ? ln(3e) ln(3e)
a x

由(Ⅰ)知 f '( x) ? ( x ? a )(2 ln x ? 1 ? ) ,

a h( x) ? 2 ln x ? 1 ? ,则 h(1) ? 1 ? a ? 0 , h(a) ? 2ln xa ? 0 , x

且 h(3e) ? 2 ln(3e) ? 1 ?

a ? 2 ln(3e) ? 1 ? 3e

3e ?

2e ln(3e) 3e

= 2(ln 3e ?

1 )?0 3 ln(3e)

又 h( x) 在(0,+∞)内单调递增,所以函数 h( x) 在(0,+∞)内有唯一零点,记此零点 为 x0 , 1 ? x0 ? 3e ,1 ? x0 ? a 。 从而, x ? (0, x0 ) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (x 0,a) 时, 则 当

f '( x) ? a ;当 x ? (a, ??) 时, f '( x ) ? 0 ,即 f ( x) 在 (0, x0 ) 内单调递增,在 ( x0, a) 内单
调 递 减 , 在 (a, ??) 内 单 调 递 增 。 所 以 要 使 f ( x) ? 4e2 对 x ? (1,3e

? 恒成立,只要
a ?0 , 知 x0

? f ( x0 ) ? ( x0 ? a) 2 ln x0 ? 4e 2 , (1) ? ? 2 2 ? f (3e) ? (3e ? a) ln(3e) ? 4e , (2) ?

成 立 。 h( x0 ) ? 2ln x0 ? 1 ?

a ? 2ln x0 ? x0(3)将(3)代入(1)得 4 x02 ln3 x0 ? 4e2 ,又 x0 ? 1 ,注意到函数 x 2 ln 3 x
在[1,+∞)内单调递增,故 1 ? x0 ? e 。再由(3)以及函数 2xlnx+x 在(1.+ +∞)内单调递增, 可得 1 ? a ? 3e 。

由(2)解得, 3e ?

2e 2e 2e ? a ? 3e ? ? a ? 3e 。所以 3e ? ln(3e) ln(3e) ln(3e)

综上,a 的取值范围为 3e ?

2e ? a ? 3e 。 ln(3e)

绝密★考试结束前

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学(理科)
本资料由《七彩教育网提供》www.7caiedu.cn 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔讲所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分(共 50 分) 主要事项: 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定 的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 柱体的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、B 相互独立,那么

V ? Sh
其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

V?

1 Sh 3

h n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 S 表示锥体的底面积, 表示锥体的高
k P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k (k ? 0,1, 2,…n) n

球的表面积公式

台体的体积公式

S ? 4? R 2

1 V ? h S1 ? S1S 2 ? S 2 3

?

?

球的体积公式

其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积,

4 V ? ? R3 3
其中 R 表示球的半径

h 表示台体的高

一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四项中,只有一项 是符合题目要求的。 (1)设 P={x︱x<4},Q={x︱ x <4} ,则 (A) p ? Q (C) p ? (B) Q ? P (D) Q ?
2

CQ
R

CP
R

(2)某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内位 (A) K>4? (C) K>6? (B)K>5? (D)K>7?

(3)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 (4)设 0<x< (D) ?11

S5 ? S2

?
2

1 1 ,则“ x sin x< ”是“ x sin x< ”的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(5)对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是 (A) z ? z ? 2 y (C) z ? z ? 2 x (B) z 2 ? x2 ? y 2 (D) z ? x ? y

(6)设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 (A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l //? , m ? ? ,则 l //m (B)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? (D)若 l //? , m//? ,则 l //m

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? (7)若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9,则实数 m ? ? x ? my ? 1 ? 0, ?

(A) ?2

(B) ?1

(C)1

(D)2

(8)设 F 、 F2 分别为双曲线 1

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存 a 2 b2

在点 P ,满足 PF2 ? F F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的 1 渐近线方程为 (A) 3x ? 4 y ? 0 (B) 3x ? 5 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (D) 5x ? 4 y ? 0 (9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存在零点的是 . (A) ? ?4, ?2? (B) ? ?2,0? (C) ?0, 2? (D) ? 2, 4?

(10)设函数的集合

? ? 1 1 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?
平面上点的集合

? ? 1 1 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?
则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x ) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 .. (A)4 (B)6 (C)8 (D)10

绝密★考试结束前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理科)

非选择题部分(共 100 分) 注意事项: 1. 2. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11) 函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ? 2 2 sin 2 x 的最

小正周期是__________________ . (12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是___________ cm . (13) 设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , A( ,2 点 0) 则 B 到该抛物线准线的距离为__________________ . (14)设 n ? 2, n ? N , (2 x ? ) ? (3 x ? ) ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ????? anx n ,将
n n

3

.若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,

1 2

1 3

, 则 ak (0 ? k ? n) 的最小值记为 Tn , T2 ? 0T3 ?

1 1 1 1 ? 3, T4? 0 T5? ? , , ? , , ? T 3 2 3 25 35

n

其中

Tn =__________________ .
(15)设 a1 , d 为实数,首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足

S5 S6 ? 15 ? 0 ,则 d 的取值范围是__________________ .
(16)已知平面向量 ? , ? (? ? 0, ? ? ? ) 满足 的取值范围是__________________ . (17)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、 “台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复. 若上午不测“握力” 项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有 __________________种(用数字作答). ,则 ? ? ? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的夹角为 120°

三、解答题本大题共 5 小题.共 72 分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 (18) (本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、 c 所对的边分别为 a,b,c. B、 已

COS 2C ? ?


1 4

(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2.2sinA=sinC 时.求 b 及 c 的长.

(19)(本题满分 l4 分)如图.一个小球从 M 处投入,通过管道自

上而下落 A 或 B 或 C 已

知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到 A,B,c.则分别设为 l,2, 3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%.70%.90%.记 随变量 ? 为获得(k=I,2,3)等奖的折扣率.求随变量 ? 的分布列 及期望 E? ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动.记随机变量? 为获 得 1 等奖或 2 等奖的人次。求 P(? ? 2) .

(20) (本题满分 15 分)如图, 在矩形 ABCD 中,点 E , F 分别 在线段 AB, AD 上, AE ? EB ? AF ?

2 FD ? 4 .沿直线 EF 将 3

V AEF 翻折成 V A' EF ,使平面 A' EF ? 平面BEF .
(Ⅰ)求二面角 A ? FD ? C 的余弦值;
'

(Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形

MNCD 向上翻折,使 C 与 A' 重合,求线段 FM 的长 A'

(21) (本题满分 15 分) 已知 m f 1 , 直线 l : x ? my ?

m2 ?0, 2

椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 , F1, F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. 2 m

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, VAF F2 , 1

VBF1F2 的重心分别为 G , H .若原点 O 在以线段
GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围. GH O G , H

(22)(本题满分 14 分)已知 a 是给定的实常数,设函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ( x ? b)c2 , b ? R ,

x ? a 是 f ( x) 的一个极大值点.
(Ⅰ xi1 , xi2 , xi3 , xi4 f ( x)bx4 ? R?i1, i2 , i3 , i4 ??1,2,3,4?b )求 b 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 , x2 , x3 是 f ( x ) 的 3 个极值点,问是否存在实数 b .可找到 x4 ? R ,使得

x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列 xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 ?i1, i2 , i3 , i4? = ?1,2,3,4? )依次成等差数列?若存
在,求所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,说明理由. s

绝密★考试结束前

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2009 年普通高等学校招生全国统一考试

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学(理科)
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本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 5 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部 分 3 至 5 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
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选择题部分(共 50 分)
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注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
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参考公式:

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如果事件 A, B 互斥,那么

棱柱的体积公式

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P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A, B 相互独立,那么
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V ? Sh

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其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件

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A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

1 V ? Sh 3

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n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
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其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高

k Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p)n ? k ,(k ? 0,1, 2,?, n)

棱台的体积公式

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球的表面积公式
S ? 4? R 2


V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

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其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高

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球的体积公式

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V ?

4 3 ?R 3

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其中 R 表示球的半径

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一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
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1.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A ?? B ? U A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1}

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C. {x | x ? 0}

D. {x | x ? 1}

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2.已知 a , b 是实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的

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A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i
2

B.必要而不充分条件

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D.既不充分也不必要条件

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2 ? z2 ? z B. ?1 ? i

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C. 1 ? i
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D. ?1 ? i

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4 4.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是
5

1 x

A. ?10 C. ?5

B. 10 D. 5
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5.在三棱柱 ABC ? A B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂 1

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直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与 平面 BB1C1C 所成角的大小是 A. 30 C. 60
?
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B. 45

?
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?

D. 90

?
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6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 A. 4 B. 5 C. 6

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D. 7

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7.设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的模为边长构成三角 形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 A. 3 B. 4
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C. 5

D. 6

8.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是 ...

9.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2
??? ? ? 1 ??? BC ,则双曲线的离心率是 2

两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 10

10. 对于正实数 ? , M ? 为满足下述条件的函数 f ( x ) 构成的集合: x1 , x2 ? R 且 x2 ? x1 , 记 ? 有

?? ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x2 ? x1 ) .下列结论中正确的是
A.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2 B.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 g ( x) ? 0 ,则

f ( x) ? M ?1 g ( x) ?2

C.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M?1?? 2 D.若 f ( x) ? M?1 , g ( x) ? M? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? M? 1?? 2

非选择题部分(共 100 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.设等比数列 {an } 的公比 q ? 则

1 ,前 n 项和为 Sn , 2

S4 ? a4



12.若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则此几何体的体积是

cm3 .

? x ? y ? 2, ? 13.若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 4, ? x ? y ? 0, ?
则 2 x ? 3 y 的最小值是 .

14. 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价. 该地区的电网销售电价 表如 下:

高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 高峰电价 (单位: 元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668

低谷时间段用电价格表 低谷月用电量 (单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷电价 (单位: 元/千瓦时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦 时, 则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元(用数字作答) .

15.观察下列等式:
1 C5 ? C55 ? 2 3? 2 , 1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 , 1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 , 1 3 1 C1 7 ? C 5 ? C 9?7C 1?1C ? 7 7 ? 1 5 , 2 2 17 1 7 1 7

……… 由以上等式推测到一个一般的结论:
1 5 9 4 n?1 对于 n ? N , C4n?1 ? C4n?1 ? C4n?1 ? ?? C4n?1 ?
*



16.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不 区分 站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答) .

17.如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 1 , E 为 DC 的中点, F 为线段 EC (端 点除 外)上一动点.现将 ?AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD ? 平面 ABC .在平面 ABD 内 过点 D 作 DK ? AB , K 为垂足.设 AK ? t ,则 t 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. 本题满分 14 分) ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , ( 在 角 且满足 cos

A 2 5 , ? 2 5

??? ??? ? ? A B? A C 3 . ?
(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

19. (本题满分 14 分)在 1, 2, 3,? , 9 这 9 个自然数中,任取 3 个数. (I)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (II)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2,3 ,则有两组相邻的 数

1, 2 和 2, 3 ,此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? .
20. (本题满分 15 分)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 2 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E , F , O 分别为 PA , 0

PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 . 9
0 (I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; 4 (II)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM 2? 平面 BOE , 3 并求点 M 到 OA , OB 的距离. 2 0 y 2 x2 ( 21. (本题满分 15 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 0a ? b ? 0) 的右 a b 9 0 顶点为 A(1, 0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 . 4 2 3 2 0

0

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h (h ? R) 上, C2 在点 P 处 的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中 点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? (k 2 ? k ? 1) x2 ? 5x ? 2 , g ( x) ? k 2 x 2 ? kx ? 1 , 其中 k ? R . (I)设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调,求 k 的取值范围; ... (II)设函数 q( x) ? ?

? g ( x), x ? 0, ? f ( x), x ? 0.

是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一

的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,使得 q?( x2 ) ? q?( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不 存 在,请说明理由.

2009 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷
2 0 数 学(理科)答案 0 一、选择题: 9 (1)B (2)C (3)D (4)B (5)C 0 (6)A (7)B (8)D (9)C (10)C 4 2 非选择题部分 3 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11)15 (12)18 (13)4 (14)148.4 (15) 2 (17) t ? (
4 n ?1

? (?1) n 2 2n?1 (16)336

3 9 , ) 2 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(18) (1) 2 (19) (1)

, (2) 2 5 (2)

10 , 21

2 3

20. 解:如图,连结 OP,以点 O 为坐标原点,分别 以 OB,OC,OP 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立 空间直角坐标系 Oxyz,则 O(0,0,0) ,A(0,-8, 0) ,B(8,0,0) ,C(0,8,0) ,P(0,0,6) ,E (0,-4,3) ,F(4,0,3) 。 由题意得 G(0,4,0) 。 因为 BOE 的法向量 n=(0,3,4) 。 再由向量 FG=(-4,4,-3) ,得 n ? FG ? 0 , 又直线 FG 不在平面 BOE 内,所以 FG//平面 BOE. (2)设点 M(x0,y0,0) ,则 2 0 0 9 9 因此 x 0 ? 4, y 0 ? ? , 4 0 9 2 4 即点 M 的坐标是(4, ? ,0 ) 4 0 2 ? x?0 0 3 ? 在平面直接坐标系中,三角形 AOB 的内部区域可表示为不等式组 ? y ? 0 , 9 ?x ? y ? 8 0 ? 4 经检验, M 的坐标满足上面不等式组。 点 所以在三角形 AOB 内存在一点 M , FM ? 使 2 9 3 平面 BOE ,由点 M 的坐标,得到点 M 到 OA , OB 的距离分别为 4, . 所以平面

?

?

4

21. 【答案】 (1)

y2 ? x 2 ? 1 , (2)1 4

【解】 (1)由题意得 ?

? b ?1 ?a ? 2 ? b2 ,因此,所求的椭圆方 从而? 2? ?1 b ?1 ? ? a ?

程为

y2 ? x2 ? 1。 4

(2)如图,设 M( x1 , y1 ),N( x2 , y2 ),P( t , t 2 ? h ), 则抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 2t .直线 MN 的方程为 y ? 2tx ? t 2 ? h ,将上式代入 椭圆 C1 的方程中,得 4 x 2 ? (2tx ? t 2 ? h) 2 ? 4 ? 0 。 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点,所以 ?1 ? 16[?t 4 ? 2(h ? 2)t 2 ? h 2 ? 4] ? 0 , 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3 ? 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4 ,则 x 4 ? 由题意得 x3=x4 , t 2 ? (1 ? h)t ? 1 ? 0 , 则 ? 2 ? (1 ? h) 2 ? 4 ? 0 得 h ? 1或者h ? ?3 。 当 h ? ?3 时,h+2<0,4-h2<0,不合题意舍去。 所以 h ? 1 。 当 h=1 时,代入方程得 t= -1 ,将 h=1,t= -1 代入不等式检验成立, 所以 h 的最小值为 1. (22) 【答案】 (1) k ? (?5,?2)
3

x1 ? x2 t (t 2 ? h) , ? 2 2(1 ? t 2 )

t ?1 , 2

, (2)k=5
2 / 2

【解】(1)p(x)=f(x)+g(x)= x ? (k ? 1) x ? (k ? 5) x ? 1 , p ( x) ? 3x ? 2(k ? 1) x ? (k ? 5) 因为 p(x)在(0,3)上不单调,所以 p1(x)=0 在(0,3)上有实数解,且无重根。

3x 2 ? 2 x ? 5 3 9 10 ? ? [(2 x ? 1) ? ? ] 则 k (2 x ? 1) ? ?(3x ? 2 x ? 5) ? k ? ? 2x ? 1 4 2x ? 1 3
2

令 t=2x+1 ,有 t ? (1,7), 记h (t ) ? t ?

9 , t
,则 k ? (?5,?2],

则 h(t)在(1,3] 上单调递减,在[3,7) 上单调递增。 所以, h(t ) ? [6,10), 于是 (2 x ? 1) ?

9 ? [6,10) 2x ? 1

而当 k= -2 时 ,p1(x)=0 在(0,3)上有两个相等的实数解 x=1 ,故舍去。 所以 k ? (?5,?2) 。 (2)由题意得: 当 x<0 时, q ( x) ? f ( x) ? 3x ? 2(k ? k ? 1) x ? 5 ;
/ / 2 2

当 x>0 时, q

/

( x) ? g / ( x) ? 2k 2 x ? k .

因为当 k=0 时不合题意,所以 k ? 0 下面讨论 k ? 0 的情形。 记 A ? g / ( x) | x ? 0 , B ? f / ( x) | x ? 0 , 则 A ? (k ,??), B(5,??) 。 (i) 当 x1>0 时, g / ( x) 在在(0,+ ? )上单调递增,

?

?

?

?

所以要使得 q' ( x2 ) ? q' ( x1 ) 成立,只能 x2<0,且 A ? B ,因此 k ? 5 , (ii) 当 x2<0 时

q / ( x)在(??,0) 上单调递减。
使得 q' ( x2 ) ? q' ( x1 ) 成立,只能 x2>0,且 B ? A ,因此 k ? 5 , 综合(i) (ii)可得 当 k=5 时,有 A=B .则 ?x1 ? 0, q( x1 ) ? B ? A. , 即 ?x2 ? 0, 使得 q' ( x2 ) ? q' ( x1 ) 成立。

q' ( x因为q' ( x1 ) 在(0,+ ? )上单调递增,所以 x2 是惟一的。 2) ?
同理, ?x1 ? 0 ,存在惟一的非零实数 x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 q' ( x2 ) ? q' ( x1 ) 成立。 所以 k=5 满足题意。

008 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学(理科) 本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共 4 页,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页. 满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 第Ⅰ卷(共 50 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式:

如果事件 A,B 互斥,那么

球的表面积公式 S ? 4πR 其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V ?

2

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

4 3 πR 3

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率:
k P (k ) ? Cn pk (1 ? p)n?k n

其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 a 是实数, A. 1

a ?i 是纯虚数,则 a ? ( 1? i
C. 2 D. ? 2



B. ?1

2.已知 U ? R , A ? ?x | x ? 0? , B ? x | x ≤ ?1 ,则 ( A ? 痧 ) ?( B ? UB A. ? B. x | x ≤ 0

?

?

U

A) ? (



?

?

C. ?x | x ? ?1 ?

D. x | x ? 0或x ≤ ?1 )

?

?

2 2 3.已知 a, b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ a ? b ”的(

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4

4.在 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5) 的展开式中,含 x 的项的系数是( A. ?15 B. 85 C. ?120 D. 274



5.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos ? 交点个数是( ) A.0 B.1

1 ? x 3π ? 2π] ? ?( x ?[0, )的图象和直线 y ? 的 2 ?2 2 ?

C.2

D.4

6.已知 ?an ? 是等比数列, a2 ? 2 , a5 ? A. 16(1 ? 4 )
?n

B. 16(1 ? 2 )

?n

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ? ( ) 4 32 32 (1 ? 4? n ) (1 ? 2? n ) C. D. 3 3

7.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3 : 2 ,则双曲线的离心率是 a 2 b2

( A.3

) B.5 C. 3 D. 5 )

8.若 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 ,则 tan ? ? ( A.

1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ?2

9. 已知 a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 c 满足 (a ? c)? b ? c) ? 0 , c 的 则 ( 最大值是( A. 1 ) B. 2 C. 2 D.

2 2

10.如图, AB 是平面 ? 的斜线段, A 为斜足,若点 P 在平面 ? 内运动,使得 △ ABP 的 ... 面积为定值,则动点 P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 B C.一条直线 D.两条平行直线

?

A

P

(第 10 题)

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理科) 第Ⅱ卷(共 100 分) 注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2. 在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 已知 a ? 0 , 若平面内三点 A(1 ? a),B(2,a2 ),C(3,a3 ) 共线, a ? 则 , 12.已知 F1,F2 为椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,若 25 9


F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ?

13.在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c .若 ( 3b ? c)cos A ? a cos C , 则 cos A ? . 14.如图,已知球 O 的面上四点 A,B,C,D , D A C B (第 14 题)

DA ? 平面 ABC , AB ? BC , DA ? AB ? BC ? 3 ,
则球 O 的体积等于 .

2 3] 15.已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间 [0, 上的最大值为 2,则 t ?



16.用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶性不 同,且 1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是 (用数字作答)

? x ≥ 0, ? 17.若 a ≥ 0,b ≥ 0 ,且当 ? y ≥ 0, 时,恒有 ax ? by ≤1 ,则以 a, b 为坐标的点 ? x ? y ≤1 ?
P(a,b) 所形成的平面区域的面积等于


三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题 14 分)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE ∥ CF ,

?BCF ? ?CEF ? 90? , AD ? 3 , EF ? 2 .
(Ⅰ)求证: AE ∥ 平面 DCF ; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 ?
?

D A B F E (第 18 题) C

19. (本题 14 分)一个袋中装有若干个大小相同的黑球,白球和红球.已知从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是

2 7 ;从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 5 9

(Ⅰ)若袋中共有 10 个球, (ⅰ)求白球的个数; (ⅱ)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的数学期望 E? . (Ⅱ)求证:从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球的概率不大于 种颜色的球个数最少.

7 .并指出袋中哪 10

20. (本题 15 分) 已知曲线 C 是到点 P ? ? , ? 和到直线 y ? ?

? 1 3? ? 2 8?

5 距离相等的点的轨迹. 8

l 是过点 Q(?1, 的直线,M 是 C 上 0) (不在 l 上) 的动点;A,B 在 l 上,MA ? l ,MB ? x
轴(如图) . y M l BA Q O (第 20 题) x

(Ⅰ)求曲线 C 的方程;

QB (Ⅱ)求出直线 l 的方程,使得 为常数. QA

2

21. (本题 15 分)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

x ( x ? a) .

2] (Ⅱ)设 g (a ) 为 f ( x ) 在区间 [0, 上的最小值.
(ⅰ)写出 g (a ) 的表达式; (ⅱ)求 a 的取值范围,使得 ?6 ≤ g (a) ≤ ?2 . 22. (本题 14 分)已知数列 ?an ? , an ≥ 0 , a1 ? 0 , an?12 ? an?1 ?1 ? an 2 (n ?N* ) . 记: Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , Tn ? 求证:当 n ? N 时,
*

1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an )

(Ⅰ) an ? an?1 ; (Ⅱ) Sn ? n ? 2 ; (Ⅲ) Tn ? 3

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学(理科)参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分 1.A 2.D 3.D 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. 11. 1 ? 2 12. 8 13.

3 3

14.

9π 2

15.1

16.40

17.1

三、解答题 18.本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象 能力和推理运算能力.满分 14 分. 方法一: (Ⅰ)证明:过点 E 作 EG ? CF 交 CF 于 G ,连结 DG , D 可得四边形 BCGE 为矩形, A 又 ABCD 为矩形, C 所以 AD ∥EG ,从而四边形 ADGE 为平行四边形, H 故 AE ∥ DG . 因为 AE ? 平面 DCF , DG ? 平面 DCF , 所以 AE ∥ 平面 DCF . (Ⅱ)解:过点 B 作 BH ? EF 交 FE 的延长线于 H ,连结 AH . 由平面 ABCD ? 平面 BEFC , AB ? BC ,得 B E G F

AB ? 平面 BEFC , 从而 AH ? EF . 所以 ? AHB 为二面角 A ? EF ? C 的平面角.
? 在 Rt△EFG 中,因为 EG ? AD ? 3 , EF ? 2 ,所以 ?CFE ? 60 , FG ? 1 .

又因为 CE ? EF ,所以 CF ? 4 , 从而 BE ? CG ? 3 . 于是 BH ? BE ? ?BEH ? sin 因为 AB ? BH ?tan ?AHB , 所以当 AB 为

z D A x B E C F y

3 3 . 2

9 ? 时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 . 2

方法二:如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别作为 x 轴, y 轴和 z 轴,建立 空间直角坐标系 C ? xyz . 设 AB ? a,BE ? b,CF ? c ,

0, 0) 则 C (0, 0) , A( 3, a) , B( 3,0) , E( 3,b, , F (0,c, . 0, 0, 0)
(Ⅰ)证明: AE ? (0,b, a) , CB ? ( 3,0) , BE ? (0,b, , ? 0, 0) 所以 CB? CE ? 0 , CB?BE ? 0 ,从而 CB ? AE , CB ? BE , 所以 CB ? 平面 ABE . 因为 CB ? 平面 DCF , 所以平面 ABE ∥ 平面 DCF . 故 AE ∥ 平面 DCF . (Ⅱ)解:因为 EF ? (? 3,c ? b,0) , CE ? ( 3,b, , 0) 所以 EF ? CE ? 0 , | EF |? 2 ,从而

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??3 ? b(c ? b) ? 0, ? ? 2 ? 3 ? (c ? b) ? 2, ? 解得 b ? 3,c ? 4 .
4, 所以 E( 3,0) , F (0, 0) . 3,
, 设 n ? (1 y,z ) 与平面 AEF 垂直,
则 n?AE ? 0 , n?EF ? 0 ,

??? ?

??? ?

, 解得 n ? (1 3,

3 3 ). a

又因为 BA ? 平面 BEFC , BA ? (0, a) , 0,

??? ?

??? ? ??? ? | BA?n | 3 3a 1 ? 所以 | cos ? n, ?|? ??? BA ? ? , | BA |? n | a 4a 2 ? 27 2 |
得到 a ?

9 . 2
9 ? 时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 . 2

所以当 AB 为

19.本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期 望等概念,同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)解: (i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件 A,设袋中白球的 个数为 x ,则 P( A) ? 1 ? 得到 x ? 5 . 故白球有 5 个. (ii)随机变量 ? 的取值为 0,1,2,3,分布列是
2 C10? x 7 ? , 2 C10 9

?
P

0

1

2

3

1 12

5 12

5 12

1 12

? 的数学期望
E? ? 1 5 5 1 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? . 12 12 12 12 2
2 n, 5

(Ⅱ)证明:设袋中有 n 个球,其中 y 个黑球,由题意得 y ? 所以 2 y ? n , 2 y ≤ n ? 1 ,故

y 1 ≤ . n ?1 2

记“从袋中任意摸出两个球,至少有 1 个黑球”为事件 B,则

2 3 y ? ? 5 5 n ?1 2 3 1 7 ≤ ? ? ? . 5 5 2 10 P( B) ?
所以白球的个数比黑球多,白球个数多于

2 n n ,红球的个数少于 . 5 5

故袋中红球个数最少. 20.本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的 基本思想方法和综合解题能力.满分 15 分. (Ⅰ)解:设 N ( x,y ) 为 C 上的点,则

1? ? 3? ? | NP |? ? x ? ? ? ? y ? ? , 2? ? 8? ?
5 5 N 到直线 y ? ? 的距离为 y ? . 8 8

2

2

1? ? 3? 5 ? 由题设得 ? x ? ? ? ? y ? ? ? y ? . 2? ? 8? 8 ?
化简,得曲线 C 的方程为 y ? (Ⅱ)解法一: 设 M ? x,

2

2

1 2 ( x ? x) . 2
y M l BA Q O x

? ?

x2 ? x ? ? ,直线 l : y ? kx ? k ,则 2 ?

B( x,kx ? k ) ,从而 | QB |? 1 ? k 2 | x ? 1| .
在 Rt△QMA 中,因为

? x2 ? | QM |2 ? ( x ? 1) 2 ?1 ? ? , 4? ?
x? ? ( x ? 1)2 ? k ? ? 2? ? | MA |2 ? . 2 1? k
2

( x ? 1)2 所以 | QA | ?| QM | ? | MA | ? (kx ? 2)2 . 2 4(1 ? k )
2 2 2

| QA |?

| x ? 1|? kx ? 2 | | 2 1? k 2



| QB |2 2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 . ? ? 2 | QA | |k| x? k
| QB |2 当 k ? 2 时, ?5 5 , | QA |
从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . 解法二:设 M ? x,

? ?

x2 ? x ? ? ,直线 l : y ? kx ? k ,则 B( x,kx ? k ) ,从而 2 ?

| QB |? 1 ? k 2 | x ? 1| .
, 过 Q (?1 0) 垂直于 l 的直线 l1 : y ? ?
因为 | QA |?| MH | ,所以 | QA |?

1 ( x ? 1) . k
, l1 H Q O y M l BA x

| x ? 1|? kx ? 2 | | 2 1? k 2

| QB |2 2(1 ? k 2 ) 1 ? k 2 x ? 1 . ? ? 2 | QA | |k| x? k
当 k ? 2 时,

| QB |2 ?5 5 , | QA |

从而所求直线 l 方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . 21.本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识,同时考查分类讨论思想以 及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.满分 15 分.

? (Ⅰ)解:函数的定义域为 [0, ?) ,

f ?( x) ? x ?

x ? a 3x ? a ? (x ? 0) . 2 x 2 x

若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,

f ( x) 有单调递增区间 [0, ?) . ?
若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

a , 3

a 时, f ?( x) ? 0 , 3

a 时, f ?( x) ? 0 . 3

? a? ?a ? f ( x) 有单调递减区间 ?0, ? ,单调递增区间 ? , ? ? . ? ? 3? ?3 ?
2] (Ⅱ)解: (i)若 a ≤ 0 , f ( x ) 在 [0, 上单调递增,
所以 g (a) ? f (0) ? 0 . 若 0 ? a ? 6 , f ( x ) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? ,? 上单调递增, 2

? a? ? 3?

?a ? ?3 ?

所以 g (a) ? f ?

2a a ?a? . ??? 3 3 ?3?

2] 若 a ≥ 6 , f ( x ) 在 [0, 上单调递减,
所以 g (a) ? f (2) ? 2(2 ? a) .

a ≤ 0, ?0, ? ? 2a a 综上所述, g (a ) ? ?? , 0 ? a ? 6, 3 3 ? ? 2(2 ? a), a ≥ 6. ?
(ii)令 ?6 ≤ g (a) ≤ ?2 . 若 a ≤ 0 ,无解. 若 0 ? a ? 6 ,解得 3 ≤ a ? 6 . 若 a ≥ 6 ,解得 6 ≤ a ≤ 2 ? 3 2 . 故 a 的取值范围为 3 ≤ a ≤ 2 ? 3 2 . 22.本题主要考查数列的递推关系,数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能,同时 考查逻辑推理能力.满分 14 分. (Ⅰ)证明:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,因为 a2 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的正根,所以 a1 ? a2 .
2

②假设当 n ? k (k ?N ) 时, ak ? ak ?1 ,
*

2 因为 ak ?12 ? ak ? (ak ?22 ? ak ?2 ?1) ? (ak ?12 ? ak ?1 ?1)

? (ak ?2 ? ak ?1 )(ak ?2 ? ak ?1 ? 1) ,
所以 ak ?1 ? ak ?2 . 即当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 也成立. 根据①和②,可知 an ? an?1 对任何 n ? N 都成立.
*

2 2 ,? n (Ⅱ)证明:由 ak ?1 ? ak ?1 ?1 ? ak , k ? 1 2, , ? 1 ( n ≥ 2 ) ,

得 an ? (a2 ? a3 ? ?? an ) ? (n ?1) ? a1 .
2 2

因为 a1 ? 0 ,所以 Sn ? n ?1 ? an .
2

由 an ? an?1 及 an?1 ? 1 ? an ? 2an?1 ? 1得 an ? 1 ,
2 2

所以 Sn ? n ? 2 . (Ⅲ)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 ≥ 2ak ,得

a 1 ≤ k ?1 (k ? 2,?, ? 1 ,n ≥ 3) 3, n 1 ? ak ?1 2ak
所以

a 1 ≤ n?2n (a ≥ 3) , (1 ? a3 )(1 ? a4 )?(1 ? an ) 2 a2 an a 1 1 ≤ n?2 2 ? nn 2 ? n ?2 (n ≥ 3) , ? (1 ? a2 )(1 ? a3 )? (1 ? an ) 2 (a2 ? a2 ) 2 2
1 1 ? ? ? n?2 ? 3 , 2 2

于是

故当 n ≥ 3 时, Tn ? 1 ? 1 ? 又因为 T1 ? T2 ? T3 , 所以 Tn ? 3 .



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