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高中数学课件 1.4正弦、余弦函数的性质2 (2)



正弦、余弦函数的性质 (2)
楚水实验学校高一数学备课组

知识回顾:
正弦、余弦函数的性质: 1、定义域 R 2、值域 [ - 1, 1 ] 3、周期性 T = 2?
4、奇偶性与单调性:
函数 奇偶性 [? 正弦函数 奇函数 单调性(单调区间)
? ? +2k?, +2k?],k?Z 单调递增 2 2 ?

3? [ +2k?, +2k?],k?Z 单调递减 2 2

余弦函数

偶函数

[ ?? +2k?, 2k?],k?Z [2k?, 2k? + ?], k?Z

单调递增 单调递减

正弦函数的单调性
y=sinx (x?R)
?
2

y
1

-3?

?

5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

? ? ?? ? 增区间为 [[? +2k?, 2 +2k?],k?Z , ] 2 2 2 3? ? ? 3? 减区间为 [[ +2k?, +2k?],k?Z , ] 2 2 2

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

余弦函数的单调性
y=cosx (x?R)
-3?
? 5? 2

y
1

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z 减区间为 [2k?, 2k? + ?], k?Z ,

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

课堂练习:

课本 P32

No.4、5、6、7.

正弦、余弦函数的性质

y=sinx (x?R) 图象关于原点对称

y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=sinx

正弦、余弦函数的性质 六、正弦、余弦函数的对称性 y
1 -4? -3? -2? -?

y ? sin x( x ? R)
4? 5?

o
-1

?

2?

y=sinx的图象对称轴为: x ? k? ?

?
2

3?

6?

,k ? Z;

x

0 y=sinx的图象对称中心为: (k?, ),k ? Z . 任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期; 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.
y=cosx的图象对称轴为:
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx的图象对称中心为:(k? y
o
-1 ?

x ? k?,k ? Z;
?
2?
3? 4?

? , ),k ? Z . 0 2
5? 6?

y ? cos x( x ? R)

x

例题讲解:
例1、求下列函数的单调区间:
(1) y=2sin(-x ) 解:y=2sin(-x ) = -2sinx ? ? [ ? +2k?, +2k?],k?Z 上单调递减 函数在

(2) y=3sin(2x? 3? ? ? ? 解:k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? k? ? ? x ? k? ? 2
2 4 ? ? 3? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2 4 2 2
k? ?

所以:单调增区间为 [k? ?

?

函数在 [

2 ? 2

2 3? +2k?, 2 ? ) 4

+2k?],k?Z上单调递增

8 3?
8

? x ? k? ?

8 7?
8

3? , k? ? ],k ? Z 8 8 3? 7? , k? ? ],k ? Z 单调减区间为 [k? ? 8 8

?

例2、若△ABC是锐角三角形,试比较sinA与 cosB的大小. 若△ABC是钝角三角形,且∠C 为钝角,则sinA与cosB的大小关系又如何?

注:⑴三角形中角的认识、表示、转化; ⑵三角函数单调性的应用.

例3、求函数 y ? cos x ? 2 sin x ? 2 的值域. 2 2 ? 解: y ? cos x ? 2 sin x ? 2 ? ? sin x ? 2 sin x ?1
2

? ?(sin x ?1) 又∵-1≤sinx≤1

2

0? ∴原函数的值域为:?? 4, 1 2 变题:已知函数 y ? sin x ? a sin x ? (a为常 2 数,且a<0),求该函数的最小值. a2 1 当-2≤ a <时, ymin ? ? 4 ? 2 ; 1 当 a <-2时,ymin ? a ? 2 .

5? 1、y ? sin(2 x ? )的一条对称轴是 C ) ( 4 5? A、x ? ? B、x ? ? C、x ? D、x ? 2 4 8 4 k? ? ? , ),k ? Z . 0 该函数的对称中心为 ( 2 8

补充例题:
?

?

?

2、若y ? sin 2 x ? a cos 2 x关于x ? ?

?
8

对称,

-1 则a ? __________ . _

课堂小结:
正弦、余弦函数的性质: 1、定义域 R 2、值域 [ - 1, 1 ] (二次最值问题) 3、周期性 T = 2?
4、奇偶性与单调性:
函数 奇偶性 [? 正弦函数 奇函数 单调性(单调区间)
? ? +2k?, +2k?],k?Z 单调递增 2 2 ? 3? [ +2k?, +2k?],k?Z 单调递减 2 2

余弦函数

偶函数

[ ?? +2k?, 2k?],k?Z [2k?, 2k? + ?], k?Z

单调递增 单调递减

课堂小结:
注: ⑴求函数的单调区间:
1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间

⑵函数的单调性应用

5、对称性: ? y=sinx的图象对称轴为: x ? k? ? ,k ? Z; 2 对称中心为: (k?, ),k ? Z . 0 y=cosx的图象对称轴为: x ? k?,k ? Z; 对称中心为:(k?

? , ),k ? Z . 0 2

?

任意两相邻对称轴(或对称中心)的间距为半个周期; 对称轴与其相邻的对称中心的间距为四分之一个周期.

行动才是果实,言论只是叶子!

课后作业: 课课练 P22 第11课时.



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