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选修1-1 3.3.3函数最值与导数



3.3.3

函数的最值与导数

在极大值点附近
y

y=f(x)

f ?(x)<0

f ?(x)>0
f ?(x)>0
x1 x2 b x

f ?(x)<0
O a

>在极小值点附近

1.极值的判定
(1) f ?( x ) 由正变负,那么 x 0 是极大 值点;

(2) f ?( x ) 由负变正,那么 x 0 是极小 值点; (3) f ?( x ) 不变号,那么 x 0不是极 值点.

y
?

左正右负极大
?
x0

o
y
?

x
?

y
? ?
x0

o

x0

x

左负右正极小

x 左右同号无极值
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o

2.求可导函数 f (x) 的极值点和 极值的步骤:
(2) 求出导数 f ?(x); (3) 令f ?(x)=0,解方程;

(1) 确定函数的定义域 ( 一般可省 ) ; 。

(4) 列表:把定义域划分为部分区间,

考察每个部分区间内 f ?(x) 的符号,
判断f (x)的单调性从而确定极值点;

(5)下结论,写出极值

y

观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 y=f(x)的图象.

a

x1

o

X2

X3

b

x

发现图中是 f(x1)f(x 3)极小值, f(x2) 是极大值,在区间上的函数的最大值 是f(b),最小值是 f(x3)。

如果在没有给出函数图象的情况 下,怎 样才能判断出f(x3)是最小 值,而f (b)是最大值呢?

设函数f(x)在[a,b]上连续,则求 f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下: ①:求y=f(x)在(a,b)内的极值(极 大值与极小值); ②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)作比较,其中 最大的一个为最大 值,最小的一个为最小值.

注意 1) 函数的最值概念是全局性的

2) 函数的最大值(最小值)唯一 3) 函数的最大值大于等于最小值 4) 函数的最值可在端点上取

回顾练习:求函数 y = x? + 3 x?-9x 在上[-4 , 4 ]的极大值和极小值。

解:y' = 3 x ? 6 x ? 9 = 3( x ? 2 x ? 3)
2 2

当y' = 0时,解得x = ?3或x = 1 当x变化时,y, y'的变化情况如下表 x ( ?4,?3) ? 3 ( ?3,1) 1 (1,4) 0 ? ? 0 ? y'
y 27

?5

?当x = ?3时 ,y有 极 大 值 , 且极大值为 27

x = 1时 ,y有 极 小 值 , 且y的 极 小 值 为 ?5

例 的最大值和最小值。

求函数 y = x? + 3 x? -9x在上[-4 , 4 ]

解:y' = 3 x ? 6 x ? 9 = 3( x ? 2 x ? 3)
2 2

当y' = 0时,解得x = ?3或x = 1 当x变化时,y, y'的变化情况如下表 x ? 4 ( ?4,?3) ? 3 ( ?3,1) 1 (1,4) 4 ? ? y' 0 ? 0
y

20

27

?5

76

所以函数在[-4 , 4 ]上,当x=4时取 得最大值,且最大值为f (4) =76,
当x=1时,取得最小值,且最小值为 f (1)=-5 。

1 3 练习:求函数 f ( x ) = x ? 4 x ? 4 3

在[0,3]上的最值.

答案:参考书本P97例题5

题组练习1:P98 练习
1) f max = f ( 2) = 20, f min 1 49 = f( )=? 12 24 1 55 = f (? ) = 3 27

2) fmax = f (?3) = 54, fmin = f (3) = ?54
3) f max = f ( 2) = 22, f min

4) fmax = f (2) = ?2, fmin = f (3) = ?18

题组练习2:金榜P59 变式1

作业: P99 A组6
: 金榜: P58-59

求f ( x) = ( x ? 1) ( x ? 2) 的极值
2 3

解:f ?( x ) = 2( x ? 1)( x ? 2) ? 3( x ? 2) ( x ? 1)
3 2

2

= ( x ? 1)( x ? 2) (5 x ? 7)
2

7 由f ?( x ) = 0 得 f ( x ) x1 = 1, x2 = , x3 = 2 5

列表讨论如下 :
x (??,1)
f ?( x )

1 0

7 (1, ) 5

7 5

7 ( , 2) 5

2 (2, ??) 0 无 极 值 +

+



0 极 小 值

+

?(x)

极大 值 ?(1)=0

故函数有极大值?(1) = 0. 函数有极小值 7 108 f( )=? . 5 3125



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