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工程数学(本)2014春模拟试题(一)



工程数学(本)2014 春模拟试题(一)
一、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1.下列命题中不正确的是( ) . A.A 与 A? 有相同的特征多项式 (?I ? A)X ? O 的非零解向量必是 A 对应于 ? 的特征向量 B.若 ? 是 A 的特征值,则 C.若 ? =0 是 A 的一个特征值,则 AX ? O 必有非零解 D.A 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量 2.设 A,B 都是 n 阶矩阵,则下列等式中正确的是( ) . A. AB ? BA C. ? AB?
?1

B. ? AB ? ? A?B ? D. ? A ? B ?
?1

?

? B ?1 A?1

? A?1 ? B ?1
) .

3.设 A , B 是两个随机事件,下列命题中不正确的是( A. P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) C. P( A) ? 1 ? P( A)

B. P( AB) ? P( A) P( B) D. P ( A B ) ?

P( AB) P( B)

4.设袋中有 6 只红球,4 只白球,从其中不放回地任取两次,每次取 1 只,则两次都 取到红球的概率是( ) . A.

9 3 3 C. D. 25 5 10 2 2 5.对于单个正态总体总体 X ~ N (? , ? ) , ? 已知时,关于均值 ? 的假设检验应采
B. ) . B.U 检验法 C.χ 检验法
2

1 3

用(

A.t 检验法

D.F 检验法

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分)

?1 0 2 ? ? ? 2 6.若 3 阶方阵 A ? 0 ? 1 0 ,则 A ? A ? ? ? ? ?3 ? 2 4? ?



7.设 A 为 n 阶方阵,若存在数 ? 和 n 维向量 X ,使得 AX ? ? X ,则 称数 ? 为 A 的特征值, X 为 A 相应于特征值 ? 的特征向量. 8.设 r ( A) ? 1 ,那么 3 元齐次线性方程组 AX=O 的一个基础解系中含有 个解 向量.

??1 0 1 ? . ? ,则 a ? ?0.2 a 0.5? 10.设 X 为随机变量,已知 D( X ) ? 2 ,那么 D(3 X ? 2) ?
9.设随机变量 X ~ ? 三、计算题(每小题 16 分,共 64 分)



?0 1 2? ? 5 4 3? ? ? ? ? ?1 11.设矩阵 A ? 1 1 4 , B ? 4 2 0 ,求 A B . ? ? ? ? ? ? ?2 ? 1 0? ? ?1 2 3 ? ?
1

12. ? 为何值时,下列方程组有解?有解时求出其全部解.

? x1 ? x 2 ? 3 x3 ? 1 ? ?? x1 ? 2 x 2 ? x3 ? 2 ?2 x ? 3 x ? 4 x ? ? 2 3 ? 1
13.设 X ~ N (3 , 4) ,试求:(1) P(5 ? X ? 9) ;(2) P( X ? 7) . (已知 ?(1) ? 0.8413, ?(2) ? 0.9772, ?(3) ? 0.9987) 14.设某种零件长度 X 服从正态分布 N ( ?, 2.25) ,今从中任取 100 个零件抽检,测得 平均长度为 84.5 cm,试求此零件长度总体均值的置信度为 0.95 的置信区间 (u0.975 ? 196 . ). 四、证明题(本题 6 分) 15.设 A, B 是 n 阶对称矩阵,试证:A+ B 也是对称矩阵.

工程数学(本)2014 春模拟试题(一) 参考解答
一、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1.D 2.C 3.B 4.A 5.B

二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 6.0 7.非零 8.2 9.0.3 10.18

三、 (每小题 16 分,共 64 分) 11.解:利用初等行变换可得

4 0 1 0? ?0 1 2 1 0 0 ? ?1 1 ?1 1 4 0 1 0 ? ? ?0 1 2 1 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 1 0 0 0 1 0 ? 3 ? 8 0 ? 2 1 ? ? ? ?

? ?1 0 2 ? 1 1 0? ?1 0 0 2 ? ? ? ?0 1 2 1 0 0? ? ?0 1 0 4 ? 3 ? ?0 0 ? 2 3 ? 2 1? ? ?0 0 1 ? 2 ?

?1 ?2 1

? 1 ? 1 ? 1? ? ? 2?

因此,

? 2 ? A ?1 ? ? 4 ? 3 ? ? ? 2

?1 ?2 1

1 ? ? 1 ? 1? ? ? 2?

……10 分

2

? 2 ? A?1 B ? ? 4 ? 3 ? ? ? 2

?1 ?2 1

8 9? 1 ? ? ? 5 4 3? ? 7 ? ? ? 1 ? ?4 2 0? = ? 13 14 15 ? ?. 1? ? ?? ? ? 4 ? 5 ? 6? ? ? 1 2 3? ? ? 2?

……16 分

12.解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形

1 ? 3 1? 1 ? 4 ? ?1 ?1 1 ? 3 ?1 0 ? 5 ? ? 1 ? 2 1 2 ? ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? 3 ? ? ?0 1 2 ?3 ? ? ? ? ? ……7 分 ? ? ? 3 ? 4 ?? 2 ? ? 2? ?2 ? ?0 1 ? ?0 0 0 ? ? 1? ?
由阶梯阵可知:当 ? ? 1 ? 0 即 ? ? ?1 时,方程组有解. 此时,由最后一个行简化阶梯阵得方程组的一般解为:

? x1 ? 5 x3 ? 4 , (其中 x3 为自由元) . ? ? x 2 ? ?2 x 3 ? 3
令 x3 ? 0 ,得方程组的一个特解 X 0 ? ?4 X1 = ?5 于是,方程组的通解为:

……10 分 ……12 分

? ? 3 0? .
? ? 2 1?

不计最后一列,令 x3 = 1,得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系 ……14 分 ……16 分

X ? X 0 ? kX1 ,(其中 k 是任意常数).
13.解: (1) P(5 ? X ? 9) ? P(

5?3 X ?3 9?3 X ?3 ? ? ) ? P(1 ? ? 3) 2 2 2 2 ………8 分 ? ?(3) ? ?(1) ? 0.9987? 0.8413? 0.1574

(2) P ( X ? 7) ? P (

X ?3 7?3 X ?3 X ?3 ? ) ? P( ? 2) ? 1 ? P( ? 2) 2 2 2 2 ………16 分 ? 1 ? ?(2) ? 1 ? 0.9772? 0.0228
2

14.解:由于已知 ? ,故选取样本函数

U?

x?? ~ N (0 , 1) ? n

………5 分

零件长度总体均值的置信度为 0.95 的置信区间

[ x ? u 0.975

?
16

, x ? u 0.975

?
16

]

………10 分

由已知, x ? 84.5, ? ? 1.5, n ? 100, u0.975 ? 1.96 ,于是可得

x ? u 0.975 x ? u 0.975

?
n

84.5 ? 1.96 ? 84.5 ? 1.96 ?

1.5 100 1.5 100

? 84.206 , ? 84.794 ,

?
n

因此,零件长度总体均值的置信度为 0.95 的置信区间: [84.206 , 845.794] . ……16 分 四、 (本题 6 分)
3

15.证明:因为 A? ? A , B? ? B ,由矩阵的运算性质可得

( A ? B)? ? A? ? B? ? A ? B
所以 A+ B 也是对称矩阵,证毕. ……6 分

4



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