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空间向量的夹角和距离公式



空间向量的夹角和距离公式
2004.3.10

向量的直角坐标运算
设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

a ? b ? (a1?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 );

a ? b ? (a1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ?

b3 );

?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ), (? ? R);

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;
a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 ; (? ? R);

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0;

夹角、
cos ? a, b ?? a ?b | a |?|b |
? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3
2 2 2 2 2 2

;

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;
| a | ? a ? a ? a1 ? a2 ? a3
2 2 2 2

| b | ? b ? b ? b1 ? b2 ? b3
2 2 2

2

空间两点间的距离公式、
在空间直角坐标系中,已知A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z 2 ), 则 | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 ) ;
2 2 2

例:已知A(3,3,1)、B(1,0,5), 求:1)线段AB的中点坐标和长度;2)到 A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标 x,y,z,满足的条件。
? 解:1)设M(x,y,z)为AB的中点,则 1 1 OM= (OA+OB)= 2 [(3,3,1)+(1, 2 0,5)]=(2,3,3) 2 3 所以M= (2, ,3) 2 d = (1 ? 3) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (5 ? 1) 2 ? 29
AB

例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1E1=D1F1= A1 B1 4 求BE1与DF1所成的角的余弦值
Z

解析:不妨设 正方体的棱长 A1 为1;以D为原 点O建立空间 直角坐标系OXYZ D(0,0,0)
B(1,1,0)

D1

F1 E1 B1

C1

O D B
3 (1,,1) E1 4

C

1 F1(O, 4

A

Y

,1)

X

例题:书本p40:例3、4、5
如图:直三棱柱ABC ? A1 B1C1 , 底面?ABC中, CA=CB =1,?BCA =90 o,棱AA1=2,M、 N分别为A1B1、AA1的中点, 1)求BN的长; 2)求 cos ? BA1 , CB1 ? 的值; 3)求证:A1B ? C1M。
A1 N C A
M

C 1 B1

B

习题:
正方体A1 B1C1 D1-ABCD,E、F分别是C1C D1 A1的中点, 求COS ? AB, EF ? (用向量方法)
A 1 F D 1 B 1 E D C C 1

A

B

习题:
已知A(0,2,3)、B( ? 2,1,6), C (1,?1,5), 用向量 方法求?ABC的面积S。



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