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深圳市龙岗区2012-2013学年第一学期期末高一数学试题及答案



龙岗区 2012-2013 学年第一学期期末学业评价试题 高一数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

注意事项:
1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损;考生务必用规定的笔将自己的学 校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定的位置上。同时,将监考教师发放的条 形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。不按以上要求作答 的答案无效。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.请保持答题卡的整洁,不折叠、不破损。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

4 参考公式:体积公式: V球 ? ? R3 ;自然对数中的 e ? 2.71828 3

第Ⅰ卷
只有一项是符合题目要求的。)

选择题(共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,
1.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? A. ?2, 4,6? B. ?1,3,5? 2.与函数 y ? x 有相同图像的函数是 A . y ? x2 C. y ? aloga x (a>0 且 a≠1)

C. ?1, 2, 4?

D. U

x2 x D. y ? loga a x
B. y ?

3.如图(1)、(2)、(3)、(4)是四个几何体的三视图,这四个几何体依次分别是

正视图

侧视图

正视图 侧视图

正视图 侧视图

正视图 侧视图

(1)
俯视图 俯视图

(2)
俯视图

(3)
俯视图

(4)

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台
高一数学试题

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
第 1 页 共 8 页(2013.1)

4.直线 x ? y ? 5 ? 0 的倾斜角是 A. 45
m n

B. 135 B. m ? n B.(2.25,2.5)

C. 150 C. m ? n C.(2.5,2.75)

D. 120 D.不能确定 D.(2.75,3)

5.已知 0.5 ? 0.5 ,则 m, n 的大小关系是 A. m ? n A.(2,2.25) 6.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点落在区间 7.在空间中,下列说法正确的是 A.若两直线 a,b 与直线 m 所成的角相等,那么 a // b B.若两直线 a,b 与平面 ? 所成的角相等,那么 a // b C.如果直线 m 与两平面 ? , ? 所成的角都是直角,那么 ? // ? D.若平面 ? 与两平面 ?,? 所成的二面角都是直二面角,那么 ? // ? 8.已知点 P ? 2, ?1? 是圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是
2

A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 9.已 知 f

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 , , ? ?1 ?a ? 0 a 若 f ?4? ? g ?? 4? ? 0 , 则

? x ??

x?2

a , g ? x ? ? loga x 其 中

y? f ( , ) x ?y

(g )x 在同一坐标系内的大致图象是

10.已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( a ? b)? f( a)? f( b)( a , 且 f ( x) ? 0 . , b? R) 1 若 f (1) ? ,则 f (?2) 等于 3 A.

1 3

B.

1 9

C .3

D.9

第Ⅱ卷
11.函数 y ? log 2 ? x ? 2 ? 的定义域是
(2, 12.幂函数 y ? f ( x) 的图象过点

非选择题(共 100 分)
.
2 ) ,则 ( f 4) 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.)

.

32? ,那么正方体的棱长等于 . 3 14.两圆相交于两点 P(1,3) 和 Q(m, ?1) ,两圆圆心都在直线 x ? y ? c ? 0 上,且 m, c 均为实 数,则 m ? c ? .
13.已知正方体外接球的体积是
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三、 解答题 (本大题共 6 小题, 满分 80 分. 解答须写出文字说明, 证明过程或演算步骤. )
15.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ?x 3 ? x ? 7?, B ? ?x 4 ? x ? 10?, C ? ?x x ? a?. (1)求 A
B,B

( CR A );

(2)若 ?C B ? ? A ,求实数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 12 分)
(2,) 4 ,B (0, - 2) ( - 2,) 3 ,求: 如图,已知三角形的顶点为 A ,C

(1) AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (2)求△ ABC 的面积.

17.(本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是正方形, MA ? 平面ABCD , MA // PB , (1)求证: DM // 平面PBC ; (2)求证: 面PBD ? 面PAC . M P

A O D C

B

高一数学试题

第 3 页 共 8 页(2013.1)

18.(本小题满分 14 分)

A 、 B 两城相距 100km ,在两地之间距 A 城 xkm 的 D 地建一核电站给 A 、 B 两城供电,
为保证城市安全.核电站距市距离不得少于 10 km .已知供电费用与供电距离的平方和供电 量之积成正比,比例系数 ? ? 0.25 .若 A 城供电量为 20亿度 / 月, B 城为 10亿度 / 月 . (1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (2)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小.

19.(本小题满分 14 分) (1)若 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 3 ,请指出函数 g ? x ? 的单调区间和单调性. (2)若函数 f ? x ? ? log a ? x ? 3? 在区间 ? ?2, ?1? 上总有 f ? x ? ? 2 ,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分)
2 2 : x ? 3) ? (y ? 4) ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0). 已知圆 C (

(1)若 l1 与圆相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 与圆相交于 P , Q 两点,线段 PQ 的中点为 M ,又 l1 与 l2 : x ? 2 y ? 2 ? 0 的交 点为 N ,求证: AM
AN 为定值.

高一数学试题

第 4 页 共 8 页(2013.1)

高一数学试题参考答案
说明:1.参考答案与评分参考给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答 案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解 答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数 不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错 误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 答案 A D C B 5 6 7 8 9 10 A C C A B D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. {x | x ? 2} ; 12.

1 ; 2

13.

4 3 ; 3

14. 3 .

三、解答题本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分 12 分) 解:(1) A ? B ? {x | 3 ? x ? 10} 又 C R A ? {x | x ? 3或x ? 7} …………………………………… 2 分 ………………………………………4 分 ………………………………………6 分 ……………………………………8 分 …………………………12 分

B ∩( CR A ) ? {x | 7 ? x ? 10}
(2) 当 C ? B ? ? , a ? 4 ; 所以实数 a 的取值范围是 a ? 7 16.(本小题满分 12 分)

当 C ? B ? ? ,由 (C ? B) ? A , 4 ? a ? 7 …………………………10 分

解:(1) AB 中点 M 的坐标是 M (1,1) , ………………………………………2 分 中线 CM 所在直线的方程是 即 2x ? 3 y ? 5 ? 0

y ?1 x ?1 ? , ……………………………5 分 3 ? 1 ?2 ? 1
…………………………………………6 分

(2)解法一: AB ?

(0 ? 2) 2 ? (?2 ? 4) 2 ? 2 10 , ………………………8 分
第 5 页 共 8 页(2013.1)

高一数学试题

直线 AB 的方程是 3x ? y ? 2 ? 0 , 点 C 到直线 AB 的距离是 d ? 所以 △ABC 的面积是 S ?

| 3 ? (?2) ? 3 ? 2 | 3 ?1
2 2

?

11 10

………………10 分

1 AB ? d ? 11 . 2

………………………12 分

解法二:设 AC 与 y 轴的交点为 D,则 D 恰为 AC 的中点,其坐标是 D (0, ) ,

7 2

BD ?

S△ABC

11 , ……………………………………………………8 分 2 …………………………………………12 分 ? S△ABD ? S△CBD ? 11

17.(本小题满分 14 分) 解:(1)方法一:取 PB 的中点 G,连接 MG,CG,如图, ……………………1 分 MA ? GB , MA // GB ? 四边形 ABGM 为平行四边形 ……………………2 分 ? MG ? AB , MG // AB ,
P

M

G

A O D C

B

? AB // CD ? 四边形 DCGM 为平行四边形 ……………………4 分 ? DM // CG , ? DM ? 平面PBC , CG ? 平面PBC ……………………6 分 ? DM∥面 PBC
方法二: MA // GB , AD // CB , ? 平面 DAM//平面 CBG ……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分 ………………………8 分 ………………………10 分 ………………………12 分 ………………………14 分
2 2

? DM ? 平面DAM ? DM∥面 PBC (2)? MA // PB , MA ? 平面ABCD ? PB ? 平面ABCD , ? AC ? 平面ABCD ? PB ? AC
又 BD ? AC

? AC ? 平面PBD AC ? 平面PAC 平面PBD ? 平面PAC
18. (本小题满分 14 分)
2

解:(1)到 A 城的供电费用: 20 ? ?x ? 20 ? 0.25x ? 5 x 到 B 城的供电费用: 10 ? ? (100 ? x) ?
2

…………3 分 ………………5 分

5 (100 ? x) 2 2

y=5x2+

5 (100—x)2(10≤x≤90); 2

………………………………8 分

高一数学试题

第 6 页 共 8 页(2013.1)

(2)由 y=5x2+ =

15 2 5 (100—x)2= x -500x+25000 2 2
2

………………9 分

50000 ? 100 ? ………………12 分 ?x? ? + 3 3 ? ? 100 则 当 x= 米时,y 最小. …………………13 分 3 100 答:当核电站建在距 A 城 米时,才能使供电费用最小. …………14 分 3

15 2

19.(本小题满分 14 分) 解:(1)函数在区间 ?? ?,1? 、 ?2,3? 上是减函数; (2)因为 x ? ?? 2,?1? ,所以 1 ? x ? 3 ? 2 , 分 函数在区间 ?1,2? 、?3,??? 上是增函数;

…………………3 分 …………………6 分 ………………8

当 a ? 1 时, loga 1 ? loga ?x ? 3? ? loga 2 , 即 0 ? f ?x ? ? loga 2 因为 f ?x? ? 2 所以 ?

?a ? 1 ,解得 a ? 2 . ?log a 2 ? 2

……………11



当 a ? 1 时, loga 1 ? loga ?x ? 3? ? loga 2 即 0 ? f ?x ? ? loga 2 因为 f ?x? ? 2 所以 ?

?a ? 1 ,解得 a ? 2 . ?log a 2 ? 2

……………14

分 20.(本小题满分 14 分) 解:(1) ①若直线 l1 的斜率不存在,即直线是 x ? 1 ,符合题意. 分

……………2

②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即:

3k ? 4 ? k k 2 ?1
解之得

?2

………………………………………………4 分

3 . 4 所求直线方程是 x ? 1 , 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . k?

………………………… 6

分 (2) 解法一: 直线与圆相交, 斜率必定存在, 且不为 0,可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 由? 分

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?kx ? y ? k ? 0

得 N(

2k ? 2 3k ,? ). 2k ? 1 2k ? 1

………………………8

高一数学试题

第 7 页 共 8 页(2013.1)

又直线 CM 与 l1 垂直,

? y ? kx ? k k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k ? M ( , ) . ……………10 由? 得 1 2 2 1 ? k 1 ? k y ? 4 ? ? ( x ? 3) ? k ?


1 1 k2 ? 1 ∴ A M? A N? | My ?0 | 1 ? 2 ? | Ny ? 0 | 1? ? |y N ?y |2 M k k2 k 2 2 4k ? 2k 3k k ?1 ?| ? (? ) | 2 ? 6 ,为定值. …………14 2 1? k 2k ? 1 k
分 解法二: 直线与圆相交, 斜率必定存在, 且不为 0,可设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 由? 分
2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 2 2 2 2 得 (1 ? k ) x ? (2k ? 8k ? 6) x ? k ? 8k ? 21 ? 0 .

?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?kx ? y ? k ? 0
再由 ?

得 N(

2k ? 2 3k ,? ) . ……………………8 2k ? 1 2k ? 1

? y ? kx ? k

∴ 分 ∴

2k 2 ? 8k ? 6 x1 ? x 2 ? 1? k 2

k 2 ? 4k ? 3 4 k 2 ? 2 k , ) . …10 得 M( 1? k 2 1? k 2

AM ? AN ? (

k 2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 2k 2 2k ? 2 3k 2 2 ? 1) ? ( ) ? ( ? 1)2 ? (? ) 2 2 1? k 1? k 2k ? 1 2k ? 1
…………………14

?


2 2 | 2k ? 1| 2 3 1? k 1 ? k ? ? 6 为定值. 1? k 2 | 2k ? 1|

高一数学试题

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