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高一数学(三角函数的图象与性质(4))


高一数学必修4 高一数学必修4第一章 1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 1.4.2正弦函数、 正弦函数
(第三课时 第三课时) 第三课时

复习巩固

正弦函数的性质: 正弦函数的性质 1
-6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O

π 3π
π
2 2

3π 2π 4π

5π 6π

x

正弦函数的定义域为R 正弦函数的定义域为R. 正弦函数的值域为[ 正弦函数的值域为 [-1 , 1].

复习巩固
π 当且仅当 x = 2kπ+ , k ∈Z ymax =1 2 3π , k ∈Zymin = ?1 当且仅当x = 2kπ+ 2

正弦函数是奇函数. 正弦函数是奇函数.

复习巩固

一般地, 一般地,函数y = A sin(wx + j )
(A ? 0, w

的最小正周期是多少? 0) 的最小正周期是多少?

T=



ω

探究新知

π 3π + 2kπ] (κ∈Ζ) 在每一个闭区间 [ + 2kπ, 2 2

上都是减函数

π π 正弦函数在每一个闭区间 [? + 2kπ, + 2kπ] 2 2

上都是增函数; 上都是增函数;

正弦曲线关于点(kπ, 正弦曲线关于点(kπ,0)对称. 对称.
p Z 对称. 正弦曲线关于直线 x = kp + (k   ) 对称. 2

新知探究

根据余弦函数的图象, 根据余弦函数的图象,你能说出它们具有 哪些性质? 哪些性质?
9π ? 2

5π ? 2
7π ? 2 3π ? 2

π ? 1 2
O

y

π 2
3π 2

y=cosx
5π 2
7π 2

9π 2

x

11π ? 2

-1

11π 2

探求新知

余弦函数的定义域为R 余弦函数的定义域为R. 余弦函数的值域为[ 余弦函数的值域为 [-1 , 1].
当且仅当

x = 2kπ, k ∈Z

ymax =1

当且仅当 x = 2kπ+π , k ∈Z ymin = ?1

余弦函数是偶函数. 余弦函数是偶函数. 余弦函数是周期函数. 余弦函数是周期函数.

9π ? 2

5π ? 2
7π ? 2 3π ? 2

π ? 1 2
O

y

π 2
3π 2

y=cosx
5π 2
7π 2

9π 2

x

11π ? 2

-1

11π 2

余弦函数在每一个闭区间 [?π+ 2kπ, 2kπ] 上都是增函数; 上都是增函数; 在每一个闭区间 [2kπ, π+ 2kπ] (κ∈Ζ) 上都是减函数. 上都是减函数

9π ? 2

5π ? 2
7π ? 2 3π ? 2

π ? 1 2
O

y

π 2
3π 2

y=cosx
5π 2
7π 2

9π 2

x

11π ? 2

-1

11π 2

余弦曲线关于点

p (kp + , 0) 2

对称. 对称.

余弦曲线关于直线x=kπ对称. 余弦曲线关于直线x=kπ对称. x=kπ对称

函数
sinx cosx

对称轴 π x = + kπ 2

对称中心

(kπ , 0)
( + kπ , 0) 2

x = kπ

π

波峰、 波峰、波谷处为对称轴 与横轴的交点是对称中心

理论迁移

例 1. 求下列函数的最大值和最小值, 求下列函数的最大值和最小值 , 并写出取最大值、最小值时自变量x的集 并写出取最大值、最小值时自变量 的集 合;再求其对称轴与对称中心. 再求其对称轴与对称中心. (1) y=cos +1,x∈R; =cosx+ ∈ ; sin2 , ∈ . (2)y=-3sin2x,x∈R. = 写出函数的单调区间

化 例2 比较下列各组数的大小: 比较下列各组数的大小: 入 π π (1 )sin(? )与sin(? ); 同 18 10 23π 17π 一 (2)cos(? )与cos(? ). 单 5 4 调 π π (3) cos 与 sin 区 10 10 间

化 同 名

理论迁移

求下列函数的单调递增区间. 例3 求下列函数的单调递增区间. 1 π (1 y = sin( x + ) ) 2 3 2π (2) y = 2sin( ? 3x) 3

? 例4 求函数 y = sin( x + ) ) ,
x∈[-2π,2π]的单调递增区间. ∈[- ∈[ π]的单调递增区间. 的单调递增区间

π xπ 1
2 3

23

理论迁移

求下列函数的周期: 例1 求下列函数的周期: 已知定义在R上的函数 上的函数f(x)满足 例5. 已知定义在 上的函数 满足 f(x+2)+f(x)=0,试判断 + + 0 试判断f(x)是否为 是否为 周期函数? 周期函数?

已知定义在R上的函数 上的函数f(x)满 例6. 已知定义在 上的函数 满 ∈[0 足f(x+1)=f(x-1),且当 ∈[0,2] + - ,且当x∈[ 时,f(x)=x-2,求f(10)的值. - (10)的值. 几个周期函数定义的等价式: 几个周期函数定义的等价式:

f (x + a) = ? f (x), f (x ? a) = f (x + a),a ≠ 0 1 1 f (x + a) = , f (x + a) = ? T = 2a f (x) f (x)

拓展延伸

例 定 在 上 函 f(x)既 7. 义 R 的 数 是 偶 数 函 ,又 周 函 ,若 是 期 数 f(x) 的 小 周 为 ,当 ∈[0, 最 正 期 π x 5π )的 . f(x)=sinx,求 f( 值 3

π
2

] , 时

拓展延伸

求下列函数的值域. 例8. 求下列函数的值域.
(1 y = cos x + 2sin x ? 2; )
2

2 + cos x (2) y = . 2 ? cos x

课后作业

1.《学海》 1.《学海》第9课时

课后作业

作业2 46: 作业2:P46:A组3、4 补充:求下列函数的最大值和最小值, 补充:求下列函数的最大值和最小值, 及相应的自变量x的集合; 及相应的自变量 的集合;再求其对称轴 的集合 与对称中心.最后求出其单调区间. 与对称中心.最后求出其单调区间.

1 π 1 π (1) y =1? cos x;(2) y = 2sin( x + ) 2 3 2 3


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