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圆锥曲线定义求最值 举例



圆锥曲线定义求最值 举例

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A (2,1), F 为椭圆的左焦点, P 是椭 2:已知椭圆 25 16

圆上动点, 求 PA ? PF 的最大值与最小值。 分析:目标函数 PA ? PF ,考虑用普通方法比较难解,则我们可作适当转 化, 利用椭圆第一定义, PF 转化为与另一焦点有关的线段, PF ? 2

a ? PF ? , 把 即 再结合平面内三点共线时有最值,而点 P 在线段 标函数取得最大值或最小值。 延长线的不同侧时,会使目

解:如图 1,设椭圆的右焦点为 F ? ,可知其坐标为 F ? (3,0),由椭圆的 第一定义得:
PF ? PF ? ? 10 ,则 PA ? PF ? 10 ? PA ? PF ? ,可知,当 P 为 AF ? 的延长线

与椭圆的交点时, PA ? PF ? 最大,最大值为 AF ? ? 2 ,当 P 为 F ?A 的延长线与 椭圆的交点时, PA ? PF ? 最小,最小值为 ? AF ? ? ? 2 。故 PA ? PF 的最大值为 10 ? 2 ,最小值为
10 ? 2 。
x 2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 为椭圆上一动 16 12 点,求 | MA| ?2 | MF| 的最小值,并求此时点 M 的坐标。
例 5 已知点 A( ? 2,3 ) ,设点 F 为椭圆 解:如图,过点 A 作右准线 l 的垂线,垂足为 N,与椭圆交于点 M。

∵椭圆的离心率 e ?

1 2

∴由第二定义得 2 | MF|?| MN| ∴ | AM | ?2 | MF| 的最小值为|AN|的长,且 | AN |? 2 ? 8 ? 10 ∴ | AM | ?2 | MF| 的最小值为 10,此时点 M 的坐标为( 2 3 , 3 )

7:已知双曲线 c :

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A?7,3? , F 是双曲线 C 的左焦点, P 9 16

为双曲线 C 上的动点,求 PA ?

3 PF 的最小值。 5

图6
3 1 3 分析: 注意到式中的数值 “ ” 恰为 , 则可由双曲线的第二定义知 PF 等 5 e 5 3 于双曲线上的点 P 到左准线的距离 PM ,从而 PA ? PF ? PA ? PM 。 5

解:设双曲线左准线为 l ,过平点 P 作准线 l 的垂线交于点 M ,根据双曲线 第二定义得 PM ?
5 3 PF ,所以 PA ? PF ? PA ? PM ,由图 6 知,当 A 、 P 、 3 5 9 44 M 三点共线时, PA ? PM 取得最小值,其大小为 AM ? 7 ? ? ,即 5 5 44 3 PA ? PF 的最小值为 。 5 5 1 题中 PF ? d ( d 为 P 到焦点 F 对应的准线的距离),从而将所求转化为 e

定点到准线的距离。



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