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立体几何一好题



四棱锥 P ? ABCD 底面是菱形, PA ? 平面ABCD ,

?ABC ? 60? , E , F 分别是 BC, PC 的中点.
(Ⅰ)求证: 平面 AEF ⊥平面 PAD ; (Ⅱ) H 是 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成的最大角为 45 ,求二面角
?

E ? AF ? C 的正切值.

/>
0.四棱锥 P-ABCD 底面是菱形,PA⊥面 ABCD,∠ABC= 60 ,E,F 分别是 BC,PC 的中

0

点. (1)求证: 面 AEF⊥面 PAD (2)H 是 PD 上的动点,EH 与面 PAD 所成的最大角为 450 ,求二面角 E-AF-C 的正 切值.
P
P

H

H F A D
A Q G F D

B

B

E

C

E

C

(1)设菱形 ABCD 的边长为 2a,则 AE 2 ? (2a)2 ? a 2 ? 2a ? 2a cos600 ? 3a 2 , AE= 3a
BE 2 ? AE 2 ? AB 2 , ∴ AE ⊥ BC, 又 AD||BC, ∴ AE ⊥ AD. ∵ PA ⊥面 ABCD, ∴ PA ⊥

AE,AE⊥面 PAD, ∴面 AEF⊥面 PAD. (2)过 E 作 EQ⊥AC,垂足为 Q,过作 QG⊥AF,垂足为 G,连 GE,∵PA⊥面 ABCD, ∴PA⊥EQ,EQ⊥面 PAC,则∠EGQ 是二面角 E-AF-C 的平面角. 过点 A 作 AH⊥PD,连接 EH,∵ AE⊥面 PAD,∴∠AHE 是 EH 与面 PAD 所成的 最大角. ∵ ∠ AHE = 450 , ∴ AH = AE = 3a , AH ﹒ PD = PA ﹒ AD , 2a ﹒ PA= 3a ﹒
PA2 ? (2a ) 2 ,PA=2

3a ,PC=4a,EQ=

1 3 3 3 a ,GQ= a ,CQ= a ,tan ∠ 2 2 4

EGQ=

EQ 2 ? . GQ 3



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