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高考中三角函数和解三角形的真题(常见的题型)汇总



三角函数 类型一:角度的概念、弧长和三角函数的概念 1 已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P (4, y ) 是角 ? 终边上的一点,且 sin ? ? ? 的值 2 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2,则这个圆心角所对的弧长是 3 若 sin ? cos ? ? 0 ,则角 ? 在第_________象限角。

2 5 ,则

y 5

? 可能为第_______象限角。 2 ? 5 已知 ? 为第二象限角;则 4? ? 所在的象限是_______。 2 4 ? 6 已知角 ? 的终边过点 P(?8m,?6 cos60 ) ,且 cos? ? ? ,则 m 的值为 5
4 已知 ? 为第二象限角;则 则 sin ? ? cos ? 的值为 8 已知角 ? 的终边经过点 (?4,3) ,则 cos? 等于 答案:1 -8;2

7 在平面直角坐标系中,若角 ? 的顶点在坐标原点,始边在 x 轴的非负半轴上,终点经过点 P(3a,?4a) (a ? 0) ,

2 1 1 4 ;3 二或四;4 一或三;5 一或三;6 ;7 ;8 ? 。 sin 1 2 5 5
2

类型二:同角三角函数的求值与化解( sin 1 求 sin 300 =_______。
?

? ? cos2 ? ? 1, sin ? ? tan? ? cos? )

sin x ? cos x ? 3 ,则 tan x 的值是________。 sin x ? cos x a? x 3 若点 ( a,9) 在函数 y ? 3 的图像上,则 tan 的值为 6 5 4 已知 ? 是第二象限角, sin ? ? ,则 cos? 的值 13 5? 1 5 已知 sin( ? ? ) ? ,那么 cos? 的值 2 5 1 2 6 已知 tan? ? ? ,则 sin 2? ? 2 cos ? ? 1 等于 2
2 已知

?1410 ) 的值 7 tan(
?

8 记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? 9 已知

tan? ? ?1,则 sin 2 ? ? sin ? cos? ? 2 = tan? -1
2 1 ? cos x ? 的解集是_____。 2 2
? 2 ? 2 ?

10 已知角 x ? (0,2? ) , ?
2 ? 2 ? 2

11 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值为

12 化简

1 ? 2 sin 10? cos10? sin 10? ? 1 ? sin 2 10?

的值为

13 已知函数 f (? ) ? 2 sin ? ?1 的定义域为___________。 14 计算: cos

?
5

? cos

2? 3? 4? ? cos ? cos = 5 5 5

? 15 计算 tan10? ? tan170? ? sin 1866 ? sin(?606? ) =

16 设 a ? sin

5? 2? 2? , b ? cos , c ? tan ,则 a, b, c 的大小关系 7 7 7

17 设 a ? sin 33? , b ? cos55? , c ? tan35? ,则 a, b, c 的大小关系 答案: 1 ? 11

3 1 ; 2 ; 3 2 2

3; 4 ?

12 1 13 ; 5 ; 6 ? ; 7 13 5 5

? 3? 5? 5? 3 k 2 ?1 13 ]?[ , ] ; ; 8 ? ; 9 ; 10 [ , 3 4 4 3 3 k 5

? 5? 99 ? 2k? ? ? ? ? 2k? , k ? Z } ;14 0;15 0;16 c ? a ? b ;17 c ? b ? a 。 ;12 -1;13 {? 6 6 2
?

类型三:诱导公式的应用(奇变偶不变,符号看象限) 1 求 tan 300 的值 2 已知 sin(? ? ? ) ?

1 ,则 sin ? 的值 3

3 化解 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2)

? ? ? ) ? 2 cos(?? ) = 4 设角 ? 的终边经过点 P ( ?3,4) ,那么 tan(
cos( ? ? ) sin(?? ? ? ) 2 5 已知角 ? 终边上一点 P ( ?4,3) ,则 的值为 11? 9? cos( ? ? ) sin( ? ? ) 2 2
5? ? ? 3 ? ? ) ? sin 2 (? ? ) 的值为 6 已知 cos( ? ? ) ? ,则 cos( 6 6 6 3

?

7 化简: 1 ? cos(

?
2

? ? ) ? sin(

?
2

? ? ) ? tan( ? ? ? ) =

3? tan(2? ? ? ) cos( ? ? ) cos(6? ? ? ) 2 8 化简: = 3? 3? sin(? ? ) cos(? ? ) 2 2 6 11? ? ? ) ? sin( 3? ? ? ) 的值为 9 已知 sin ? ? ,则 cos( 11 2
) ? 6 ,求 f (2015 ) 的值 10 设 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 7 , ? , ? , a, b 均为实数,若 f (2012

11 在 ?ABC 中, sin(

A? B ?C A? B ?C ) ? sin ,试判断 ?ABC 的形状 2 2

12 已知 sin? ? ?

2 5 ,且 tan ? ? 0 , (1)求 tan? 的值 5

(2)求

2sin (? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) 的值 ? 3? cos(? ? ) ? sin( ? ? ) 2 2

答案:1 ? 3 ;2 ?

2? 3 1 12 3 12 2 ;3 sin 2 ? cos 2 ;4 ;5 ? ;6 ? ;7 cos ? ;8 ? tan? ;9 ;10 8; 3 3 5 4 11

11 ?ABC 为等腰三角形;12 (1)-2; (2) ?

5 。 3

类型四:三角恒等变换 (正弦,余弦,正切和差公式,二倍角公式,降幂公式,万能公式,辅助角公式等)

1 若 cosa ? 2 sin a ? ? 5, 则 tana =
2 已知 tan(x ?

?
4

)?2, 则

sin 2? 的值等于 cos2 ? 3 4 已知 ? 为第二象限的角, sin a ? ,则 tan 2? ? 5 ? 1 5 设 sin( ? ? ) ? ,则 sin 2? ? 4 3
3 若 tan ? ? 3 ,则
2 6 计算 1 ? 2 sin 22.5 的结果等于(

tan x 的值为 tan2 x

)

7 已知 sin ? ? 8 已知 ? ? (

2 ,则 cos(? ? 2? ) = 3

?
2

, ? ) , sin ? ?

5 ,则 tan2? = 5

9 已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a) ? ?
? ?
? ?

4 ,则 tan a ? . 3

10 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于() 11 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 tan 2? 的值是

1 ,则 sin ? ? cos ? ? 4 2 3 ? 13 已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4
12 设 ? 为第二象限角,若 tan( ??

?

)?

14 函数 y ? sin(

?

? x) cos( ? x) 的最大值为 2 6
sin x cos x

?

15 已知 0 ? a ? 1 ,则满足 a

? 1 的角 x 所在的象限为

16 若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是

) 5 4 17 设 x 是第一象限角且 cos x ? ,求 的值。 cos(2 x ? 4? ) 13

sin( x ?

?

18 化简

3 ? sin 700 = 2 ? cos 2 100
0 0

19 化简 4cos50 ? tan 40 ? 20 若

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2 x tan x 的最大值为
3



21 函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x, x ? R, 若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为 22 若 0 ? ? ?

?
2

,?

?

? 3 ?? ? 1 ?? ? ? ,则 cos( ? ? ) 的值 ? ? ? 0 , cos? ? ? ? ? , cos? ? ? ? 2 2 ?4 ? 3 ?4 2? 3

23 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两点, 则 MN 的最大值为
7? ? 4 3 24 已知 cos(? ? ) ? sin ? ? ,则 sin(? ? ) 的值 6 6 5

?? ? ? 25 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最大值是( ?4 2?
26 已知 sin ? ?

)

1 ? ?? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2?

cos 2? 的值为__________ ?? ? sin ? ? ? ? 4? ?

27 函数 f ( x) =

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是 3 ? 2 cos x ? 2sin x

?? 4 ?? ? 28 设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ? ,则 sin ? 2? ? ? 的值为 ? 6? 5 ? 12 ?

29 函数 f ( x) =

sin x ( 0 ? x ? 2? )的值域是 5 ? 4 cos x

30 设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? =______ 31 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

1 3

?
6

), x ? R.

(1)求 f (

? 10 6 5? ? ?? (2)设 ? , ? ? ?0, ? , f (3a ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? , 求 cos(? ? ? ) 的值. ) 的值; 2 13 5 4 ? 2?

32 已知 cos? x ?

? ?

??

2 ? ? ?? ? , x ?? , ? . ?? 4 ? 10 ?2 4 ?
? ?

(Ⅰ)求 sin x 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 x ?

??

? 的值. 3?

33 已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求 f (?

2 cos( x ?

?
12

), x ? R .

3 3? ? , 2? ) ,求 f (2? ? ) (Ⅱ)若 cos ? ? , ? ? ( ) 的值; 3 5 2 6 ? ? x 34 已知函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 。 6 3 2
(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ? 35 已知 tan ? ? 2 . (1)求 tan ? ? ?

?

3 3 。求 g (? ) 的值; (II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合。 5

? ?

??

sin 2? (2)求 的值. ? 的值; 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ?1 4?

36 观察下列等式: ① cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ;
2

② cos 4? ? 8 cos ? ? 8 cos ? ? 1;
4 2

③ cos6? ? 32cos ? ? 48cos ? ? 18cos ? ? 1;
6 4 2

④ cos8? ? 128cos ? ? 256cos ? ? 160cos ? ? 32cos ? ? 1 ;
8 6 4 2

⑤ cos10? ? m cos

10

? ?1280cos8 ? ? 1120cos6 ? ? n cos4 ? ? p cos2 ? ?1。可以推测, m ? n ? p ?
1 1 2 1 4 ; 7 ? ;8 ? ;9 ? ;10 ;11 2 2 2 9 3
3 ;12 ?
10 ; 5

答案:1 2;2

4 24 7 ;3 6;4 ? ;5 ? ;6 9 7 9

13 ?

? ? 4? 1 2? 3 13 2 ) ;17 ? ;14 ;15 ( k? ? , k? ? ? )( k ? ? ) ;16 ( , ;18 3;19 3 3 2 4 14 7

3 ;20 -8;

21 ? x 2k? ?

? ?

?

5 3 ? ;23 ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? ;22 9 3 ?
?

14 3 4 2 ;24 ? ;25 ;26 ? ;27 [ ?1,0] ;28 2 2 5

1 1 17 2 ;29 [? , ] ;30 50 2 2

2 5 24 ? 7 3 16 4 ;31 (1) 2 ; (2) ; 32 (1) ;(2) ? ;33 (1)1 ; (2) 5 50 65 5

1 17 2? 。34(I) (II) [2k? ,2k? ? (2) 1; 36 962。 ], k ? Z ; 35(1) ?3 ; 3 5 25
类型四:三角函数的图像(最小正周期,最值,单调性,对称轴)

? 1 函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是 4
2 函数 f ( x) ? sin 2 (2 x ? ) 的最小正周期是

?

4

?? ? ? 3 f ? x ? ? cos ? ? x ? ? 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6? 5 ?

.

4 函数 f ( x ) ?

x ? 3 sin( ? ) , x ? R 的最小正周期为 2 4

5 函数 y ? sin 2x ? 2 3 sin 2 x 的最小正周期为 T 为

6 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小正周期是 7 已知函数 f ( x) ? cos x sin 2 x 下列结论中错误的是
(A) y ? f ? x ?的图像关于?? ,0?中心对称 (B) y ? f ? x ?的图像关于x ? (C) f ? x ?的最大值为



?
2

对称

3 2

(D) f ? x ?既是奇函数,又是周期函数

8 函数 f ( x) ? 3 sin x ? sin(

?
2

? x) 的最大值是

?? ? ? 9 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最大值是( ?4 2?
10 函数 f ( x ) ? sin x ? cos( x ?

)

?
6

) 的值域为

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 11 函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

12 若函数 f ( x) ? sin

x ?? (? ? [0,2? ]) 是偶函数,则 ? ? 3

13 已知函数 f(x)=3sin(? x的取值范围是 。

?

6

)(? >0) 和 g(x)=2cos (2x+? )+1 的图象的对称轴完全相同。 若 x ? [0,

?
2

则 f ( x) ],

14 若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ?

?
2

,则 f ( x) 的最大值为

15 当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ? ___________。 16 若函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 ? 0, 17 已知? ? 0,0 ? ? ? ? ,直线 x ?

? ?? ?? ? ? 上单调递增,在区间 上单调递减,则? ? , ? ? 3? ? ?3 2? ?

5? 是函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) )图像的两条相邻的对称轴,则 ? ? 4 4 ? ? 18 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减。则 ? 的取值范围是( ) 2 4 ? ? 19 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ,则 4 4
和x? A. y ? f ( x) 在 (0, B. y ? f ( x) 在 (0, C. y ? f ( x) 在 (0,

?

?

? ?

2

) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递减,其图象关于直线 x ?

?

? ?

4

对称 对称 对称

2

2

2

4

D. y ? f ( x) 在 (0,

?
2

) 单调递减,其图象关于直线 x ?

?
2

对称

20 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? A. f ( x) 在 ? 0,

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则

? ?

??

? 单调递减 2?

B. f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4 ? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ? ? ? 单调递增 ?

C. f ( x) 在 ? 0,

? ?

??

? 单调递增 2?

D. f ( x) 在 ?

21 已知函数 f ( x) ? 3sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取值范围为 A. ? x | k? ? C. { x | k ? ?

? ?

?

? ? x ? k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
? x ? k? ? 5? , k ? Z} 6

B. ? x | 2k? ? D. {x | 2k? ?

? ?

?
?
6

? ? x ? 2k? ? ? , k ? Z ? 3 ?
? x ? 2 k? ? 5? , k ? Z} 6

?
6

22 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 其中 ? 为实数, 若 f ( x) ?| f ( ) | 对 x ? R 恒成立, 且 f ( ) ? f (? ) , 则 f ( x)

?

?

6

2

的单调递增区间是 (A) ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 6? ? (C)

?

?

??

(B)

?? ? k? , k? ? ?(k ? Z ) ? 2? ?
?

? 2? ? ? k? ? , k? ? (k ? Z ) ? 6 3 ? ? ?
? ?

(D) ?k? ? , k? ? (k ? Z ) 2 ? ?

?

?

23 定义在区间 ? 0 ,

??

? 上的函数 y ? 6 cos x 的图像与 y ? 5 t an x 的图像的交点为 P ,过点 P 作 PP 1 ? x 轴于点 2?

P1 ,直线 PP 1 与 y ? sin x 的图像交于点 P2 ,则线段 P 1P 2 的长为___________。

?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? 24 已知 f ( x) ? sin ? ? x ? ? (? ? 0),f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 ? , ? 有最小值,无最大值,则 ? = 3? ? ?6? ?3? ?6 3?
25 在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 26 有四个关于三角函数的命题:

x 3? 1 ? )( x ? [0, 2? ]) 的图象和直线 y ? 的交点个数是 2 2 2
p 2 : ?x, y ? R, sin(x ? y) ? sin x ? sin y p 4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

p1 : ?x ? R , sin 2 p3 : ? x ?0, ? ? , ? ?
其中假命题的是

x 1 2 x + cos = 2 2 2
1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

x π 27 函数 f ( x) ? 4cos 2 cos( ? x) ? 2sin x?| ln( x ?1) | 的零点个数为 2 2
28 函数 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是
2



,单调递减区间是



29 已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点的距离等于 ? ,则

f ( x) 的单调递增区间是(

)

30 已知函数 f ? x? ? sin ? x ? cos? x ?? ? 0? , x ? R ,若函数 f ? x ? 在区间 ? ??, ? ? 内单调递增,且函数 f ? x ? 的 图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为 .

31 已知? ? 0 ,在函数 y ? 2 sin wx 与 y ? 2 cos wx 的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为 2 3 ,则 ? =___.

3 ? 3? ;3 10;4 4? ;5 ? ;6 ? ;7 C;8 2;9 ;10 [? 3, 3] ;11 2 ? 3 ;12 ; 2 2 2 3 2 5? ? 1 5 14 3 13 [- ,3] ;14 2;15 ;16 ;17 ;18 [ , ] ;19 A;20 D;21 C;22 B;23 ;24 ;25 2;26 p1 , 2 3 2 4 3 2 6 4
答案:1

? ;2

p 4 ;27 2;28 ? , [

π 3? 7? ;31 。 ? k? , ? k? ] , k ? Z ;29 [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z ;30 2 3 6 8 8

32 已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? 0, ? 上的取值范围. 3 【答案】 : (Ⅰ) ? ? 1 ; (Ⅱ) ?0, ? 。 33 已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1 ( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是

? 2π ? ? ?

? 3? ? 2?

? . 2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合. 【答案】 : (Ⅰ) ? ? 2 ; (Ⅱ) ? x | x ? 34 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

? ?

?
16

?

k? ? , k ? Z ?。 2 ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4
(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程 【答案】 : (Ⅰ) T ? ? ,对称轴方程为 x ? k? ?

, ] 上的值域 12 2

? ?

?
3

(k ? Z ) ; (Ⅱ) [?

3 ,1] 。 2

35 已知 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域.

【答案】 : (Ⅰ) 2 sin ? x ? 36 已知函数 f ( x) ? 2sin

? ?

?? (Ⅱ) ? ? 2 ? 2, ?3 . 。 ? ? 2. ; ? 4?

?

x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4
? ? π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x ) ? f ? x ?

【答案】 : (Ⅰ) f ( x ) 的最小正周期 T ? 4? , f ( x) 取得最大值 2; (Ⅱ)函数 g ( x) 是偶函数。 37 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? π) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ? , ? .

?π 1? ? 3 2?

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ? 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? cos x ; (Ⅱ)

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

56 。 65
(II) 求函数 f ( x ) 的最大值及取最

2 38 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x (I)求函数 f ( x) 的最小正周期。 ?

大值时 x 的集合。 【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期 ? ; (Ⅱ)最大值为 2 ? 1 ;最大值 x 的集合为 ? x x ? k? ?

? ?

?

? ,k ?Z? 。 8 ?

39 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1。

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期: (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值。 ? 6 4?

【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期 ? ; (Ⅱ)最大值为 2;最小值为-1。

7 3 ? ) ? cos( x ? ? ), x ? R (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值; 4 4 4 4 ? 2 (Ⅱ)已知 cos( ? ? ? ) ? , cos( ? ? ? ) ? ? , (0 ? ? ? ? ? ) ,求证: ? f (? )? ? 2 ? 0 。 5 5 2
40 已知函数 f ( x) ? sin( x ? 【答案】 (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期 2? ,最小值为-2 ; (Ⅱ)略。 41 已知函数 f ( x) ? tan(2 x ? (II)设 ? ? ? 0,

?
4

) ,(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域与最小正周期;

? ? ?? ? ,若 f ( ) ? 2 cos 2? ,求 ? 的大小. 2 ? 4?
? ?

【答案】 (Ⅰ) f ( x) 定义域为 ? x ? R x ?

?
8

?

? ? ? k? (Ⅱ) ? ? 。 , k ? Z ? ;最小正周期为 ; 2 12 2 ?
2

42 设 a ? R , f ( x) ? cos x(a sin x ? cos x) ? cos (

?

? ? ? 11? ? ? x) 满足 f (? ) ? f (0) ,求函数 f ( x) 在 ? , ? 上的 2 3 ? 4 24 ?

最大值和最小值. 【答案】 :最大值为 2 ;最小值为 2 。 43 函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。 【答案】 :最大值为 10;最小值为 6。 ?? ? 44 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ?
? ?? (Ⅰ) 求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

【答案】 : (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期 ? ; (II)最大值为 2 2 ;最小值为 ? 2 。 45 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 ; (Ⅰ) 若 y ? f ( x) 在 [ ?

? 2?
4 , 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(Ⅱ) 令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像, 6

区间 [ a, b]( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x) 在 [ a, b] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [ a, b] 中, 求 b ? a 的最小值. 【答案】 : (Ⅰ) 0 ? ? ?

3 43? ; (II)最小值为 。 4 3

46 已知函数 f ( x) ? 4cos? x ? sin ?? x ?

? ?

??

? (? ? 0) 的最小正周期为 ? 。 4?

(Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 ? 0, 2? 上的单调性。 【答案】 (Ⅰ) 1 ; (Ⅱ) y ? f ( x)在[0,

?

]上单调递增;在 [ , ]上单调递减 . 8 8 2

? ?

47 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos 2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2? 3? 4 3 . 10

【答案】 (Ⅰ) 最大值为 2,最小值为-1 ; (Ⅱ) 48 已知函数 f ( x) ? cos(

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值,并求使 h( x) 取得最大值的 x 的集合。

【答案】:(Ⅰ) f ( x ) 的最小正周期 ? ; (Ⅱ)最大值为

? 2 , x 的集合 {x x ? k? ? , k ? Z } 。 8 2


类型五:三角函数的图像及平移(三角函数的图像,三角函数的图像平移) 1 已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 在区间 [0,2? ] 的图像如下:那么 ? ? (

2
π 3

y

O -2

5π 12

x

2 函数 f ( x) ? 2sin( ? x ? ?)( ? ? 0, ?

?

? ? ? ) 的部分图象如图所示,则 ?,? 的值分别是( 2 2

?



3 函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为

y

y

y

y

?
O

x

?
O

y

?
O

y

?
O

y

(A) (B) (C) 4 已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ) ...

(D)

21 世纪教育 网

?x ? ? ) 的图象如图所示, f ( ) ? ? 5 已知函数 f ( x) ? A cos(
2

?

2 ,则 f (0) = 3

6 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? 12

? ?? ?

。 .

7 函数 y ? A sin(? x ? ?) ( A, ? , ? 为常数, A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? =

8 已知函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0,?? ? ? ? ? ) 的图像如图所示,则 ? =________________ 9 已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则

21 世纪 教育网

10 函数 f ( x ) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为( )

11 如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y ? 3sin( 间水深(单位:m)的最大值为( )

?
6

x ? ? ) ? k ,据此函数可知,这段时

2、

12 如果函数 y=3 cos ? 2 x+? ? 的图像关于点 ?

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ?

? ? 13 将函数 y ? 3sin( x ? ? ) ? ? (0, ) 的图象 F 按向量 ( ,3) 平移得到图象 F? ,若 F? 的一条对称轴是直 2 3
线x?

?

4

,则 ? 的值是

答案:1 2;2 2, ?

?
3

;3 D;4 D;5

? 1 3 2 9? ;6 0;7 3;8 ;9 ? ? 2, ? ? ? ;10 (2k ? , 2k ? ), k ? Z ; 6 4 4 3 10

11 8 12

? 5 ;13 ?。 3 12
? ?

14 要得到函数 y ? sin ? 4 x ?

??

? 的图象,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图象( 3?



π? ? 15 为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( 3? ?



16 把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得图象上所有点 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 2 ? ? 17 为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 3 6
18 将函数 y ? sin(2 x ? ? ) ? ? [0, ? ] 的图象沿 x 轴向左平移 19 将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的值为 8
).

20 将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 (纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 21 右图是函数 y ? A sin(?x ? ? )(x ? R) 在区间 [ ?

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是( 4 ?
10
,

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍

? 5?
6 6

] 上的图像,为了

得到这个函数的图象,只要将 y ? sin x(x ? R) 的图象上所有的点 22 若将函数 y ? tan( ?x ? 函数 y ? tan( ?x ?

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移

?
6

? 个单位长度后,与 6
)

) 的图像重合,则 ? 的最小值为(

23 已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?

个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( 24 函数 y ? cos(2x ? 时,向量 a 可以等于

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? , 将 y ? f ( x) 的图像向左平移 | ? | ? ? (0, ) 2 4


?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数

25 将函数 y ? sin x 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y ? sin( x ? 26 已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

) 的图象,则 ? 等于

?
4

2

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,只要

将 y ? f ( x) 的图象

?? ? ? ? ? )的图象向右平移 27 函数 y ? cos(2x ? ? )(

? ? _________。

? ? 个单位后,与函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象重合,则 3 2

28 将 函 数 f ( x) ? sin 2 x 的 图 像 向 右 平 移 ? (0 ? ? ?

?
2

) 个 单 位 后 得 到 函 数 g ( x) 的 图 像 , 若 对 满 足

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x 2 ,有 x1 ? x2 min ?
答案:14 向右平移

?
3

,则 ? ? (



? ? 5π 个单位;15 向左平移 个长度单位 ;16 y ? sin(2 x ? ) , x ? R ;17 向右平 3 12 12
1 ? ? y ? 2cos2 x ;20 y ? sin( x ? ) ;21 向左平移 个单位长度,再把所得各 2 10 3



? ? 个长度单位;18 ;19 4 4

点的横坐标缩小到原来的 长度;27

? 5? ;28 。 6 6
? 。 2

1 ? 1 11? ? ? 倍,纵坐标不变;22 ;23 ;24 ( ? ,2) ;25 ;26 向左平移 个单位 6 2 2 6 8 8

29 已知函数 f ( x) ? 对称轴间的距离为

3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y ? f ( x) 图象的两相邻

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 8

π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的 4 倍,纵 6

坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的单调递减区间. 解: (Ⅰ) 2 ; (Ⅱ) g ( x) 的单调递减区间为 ?4k? ?

? ?

2? 8? ? ,4k? ? ? (k ? Z ) 。 3 3?

30 已知函数 f( x ) 的图像是由函数 g ( x) = cos x 的图像经如下变换得到:先将 g ( x) 图像上所有点的纵坐标伸长到 原来的 2 倍(横坐标不变) ,再将所得到的图像向右平移 (Ⅰ)求函数 f( x ) 的解析式,并求其图像的对称轴方程; (Ⅱ)已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a , b .

p 个单位长度. 2

2m 2 - 1. (1)求实数 m 的取值范围; (2)证明: cos(a - b ) = 5
【答案】(Ⅰ) f( x) = 2sin x , x ? kp ?

p ( k ? Z ) ;(Ⅱ)(1) (- 5, 5) ; (2)详见解析。 2

31 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x ( ?x ? 0 )的最小正周期为 ? , (Ⅰ)求 ? 的值 1; (Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x ) 的图像,求函数 2

? ? ? y ? g ( x ) 在区间 ? 0, ? 上的最小值.1 ? 16 ?
【答案】(Ⅰ) ? ? 1 ;(Ⅱ) 1。 类型六 解三角形(正弦定理,余弦定理,三角形面积)

1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , A ? 30? , a ? 2, B ? 120? ,求 b 的值 2 已知锐角 ?ABC 的面积为 3 3 , BC ? 4, CA ? 3 ,则角 C 的大小为( )

3 若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC 是__________三角形
0 0 4 若 ?ABC 中, AC ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? _______.

5 在 ?ABC 中, AB ?

6 , ?A ? 75? , ?B ? 45? ,则 AC ?
2? ,则 ?? ? 3
2 2

. . )

6 在 ??? C 中, a ? 3 , b ? 6 , ?? ?

7 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A =( 8 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a ? 1, b ? 3, A ? C ? 2B ,则 sin C ? ________. 9 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , a sin A sin B ? b cos A ? 2a ,则
2

b ? a

10 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 cos B ? 11 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为

12 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 2a sin B ? 3b, 则角A等于
13 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a ? 2 ,c ? 2 3 ,cos ? ? 14 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a = 2, cos C = -

3 ,且 b ? c ,则 b ? ( 2



1 , 3sin A = 2sin B ,则 c ? ________. 4 1 b ? c ? 2, cos A ? ? , 则 15 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 已知 ?ABC 的面积为 3 15 , 4

a 的值为

.

16 在锐角三角形 ?? C 中, tan ? ?

1 , D 为边 ? C 上的点, ???D 与 ??CD 的面积分别为 2 和 4 .过 D 作 2 ??? ? ??? ? D? ? ?? 于 ? , DF ? ?C 于 F ,则 D? ? DF ? .
sin 2 A ? sin C

17 在 △ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则



18 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,若 a ? 3 , sin B ?

1 π , C ? ,则 b ? 2 6

.

19 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , ?B ? 120? , AB ? 2 , ?A 的角平分线 AD ? 3 ,则 AC ? __. 20 若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于________. 21 在 ?ABC 中, ?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =

? 22 在 ?ABC 中, ?C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 sin ?BAM ?

1 ,则 sin?BAC ? 3

23 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a , b, c ,若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则角 C ? _____. 24 在 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, AD ? AC , sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2 , AD ? 3 , 则 BD 的长为 3


25 点 E、F 是等腰直角 ?ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ?ECF ? ( 26 在 ?ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 60? ,则 cos B =

27 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a , b, c ,若 a ? 2 , b ? 2, sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为_。 28 如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? CD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值为

29 如图, ?ABC 中, AB ? AC ? 2, BC ? 2 3 ,点 D 在 BC 边上, ?ADC ? 45 ,则 AD 的长度等于______。
?

30 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为
2 2 2

31 在 ?ABC 中, A ?

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上, AD ? BD ,求 AD 的长. 4

32 在 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上, BC ? 3BD , AD ?

2 , ?ADB ? 135? .若 AC ? 2 AB ,则 BD ? _____

33 在锐角三角形 ABC , 内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b , c , ? 34 在 ? ABC 中, B ? 60? , AC ? 35 在

b a

a a n t C a n t 则 ? 6cos C , ? b a n t A a n t


C =__________。 B


3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值
上 一 点 ,

?ABC

中 ,

D 为 边 BC

1 DC , ?ADB ? 120 ? , AD ? 2, , 若 ?A D C 的 面 积 为 2 ?B A C ? _______。 BD ?
36 在平面四边形 ABCD 中, ?A ? ?B ? ?C ? 75 , BC ? 2 ,则 AB 的取值范围是
?

3? 3





.

( n ? i s ( )b n i s)A (? n i s )B ? c ? b 37 已知 a , b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, 且2 a =2,
面积的最大值为 答案:1 2 3 ;2 。

C

, 则 ?ABC

? ;3 钝角;4 3

2 ;5 2;6

? ? ;7 ;8 1;9 4 6
6 ;20 7 ;21

2 ;10

11 ? ;11 直角三角形;12 ; 16 3

13 2;14 2;15 8;16 ?

16 ;17 1;18 1;19 15

3 10 ;22 10

6 2 ;23 ? ;24 3 3

3 ;25

3 ; 4

26

? 6 ;27 ;28 6 3
3。

6 ;29 6

2 ;30

1 ;31 2

10 ;32 2 ? 5 ; 33 4;34 2 7 ;35 60? ;36 ( 6 ? 2 ,

6+ 2 ) ;37

38 在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60? . (Ⅰ) 求 BC 的长;(Ⅱ) 求 sin 2C 的值. 【答案】(Ⅰ) 7 ;(Ⅱ)
[来源:学。科。网]

4 3 。 7

39 在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 A ? (Ⅰ)求 tan C 的值;(Ⅱ) 若 ?ABC 的面积为 7,求 b 的值. 【答案】(Ⅰ) 2 ;(Ⅱ) b ? 3 . 40 如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角. (Ⅰ)证明: tan

?
4

2 2 ,b ? a =

1 2 c . 2

D

C

A 1 ? cos A ? ; 2 sin A
o

A

B

(Ⅱ) 若 A ? C ? 180 , AB ? 6, BC ? 3, CD ? 4, AD ? 5, 求 tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 的值。 2 2 2 2

【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)

4 10 。 3

41 设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , a ? b tan A ,且 B 为钝角. (Ⅰ)证明: B ? A ?

?
2

;(Ⅱ) 求 sin A ? sin C 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) (

2 9 , ]。 2 8

42 在 ?ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC , ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍. (Ⅰ) 求

sin ? B 2 ;(Ⅱ)若 AD ? 1, DC ? ,求 BD 和 AC 的长. sin ? C 2

【答案】(Ⅰ)

1 ;(Ⅱ) 1。 2
3 6 ,sin ( A ? B) ? , ac ? 2 3 求 sin A 3 9

43 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b, c .已知 cos B ? 和 c 的值. 【答案】

2 2 ,1. 3

2 44 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2sin A sin C .
? (Ⅰ) 若 a ? b ,求 cos B; (Ⅱ)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.

【答案】(Ⅰ)

1 (Ⅱ)1。 4

45 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a , b, c .已知 tan(

?
4

? A) ? 2 .

sin 2 A ? 的值;(Ⅱ)若 B ? , a ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 2 sin 2 A + cos A 4 2 【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 9 。 5
(Ⅰ) 求 46 设 △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? (Ⅰ)求

3 c. 5

tan A 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. tan B 3 【答案】(Ⅰ) 4;(Ⅱ) 。 4 5 4 33 47 在 △ ABC 中,cos B ? ? ,cos C ? . (Ⅰ) 求s (Ⅱ) 设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? , 求 BC i n A 的值; 13 5 2
的长. 【答案】(Ⅰ)

33 11 ;(Ⅱ) 。 65 2

48 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a , b, c ,a ? 2 3 ,tan 求 A, B 及 b, c 【答案】 A ?

A? B C ? tan ? 4, 2sin B cos C ? sin A , 2 2

2? ? , B ? ,b ? c ? 2 。 3 6

49 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; 【答案】(Ⅰ) a ? b ? 2 ;(Ⅱ)

? . 3

(Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

2 3 。 3

50 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? b tan A . (I)证明: sin B ? cos A ;(II) 若 sin C ? sin A cos B ? 【答案】 (I)略;(II) A ? 30 , B ? 120 , C ? 30 .
? ? ?

3 ,且 B 为钝角,求 A, B, C . 4

51 已知 A, B, C 为 ?ABC 的内角, tan A, tan B 是关于方程 x 2 ? 3 px ? p ? 1 ? 0( p ? R) 两个实根. (Ⅰ)求 C 的大小(Ⅱ)若 AB ? 1, AC ? 6 ,求 p 的值 【答案】(Ⅰ) C ? 60 ;(Ⅱ) p ? ?1 ? 3 。
?

52 在 △ ABC 中, 内角 A, B, C 对边的边长分别是 a,b,c , 若 △ ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? (I)求 a 和 sin C 的值;(II)求 cos ? 2 A ?

1 , 4

? ?

π? ? 的值. 6?

【答案】 (I) a ? 8 , sin C ?

15 15 ? 7 3 ;(II) 8 16

53 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1, BC ? 3, CD ? DA ? 2 。 (Ⅰ)求 C 和 BD ;(Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积。 【答案】(Ⅰ) C ? 60? , BD ? 7 ;(Ⅱ) 2 3 。 54 已知 a , b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。 【答案】(Ⅰ) a ? 60 ;(Ⅱ) a ? b ? 2 。
?

55 在 ?ABC 的内角的对边分别为 a, b, c, 已知 a ? b cos C ? c cos B (Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值。 【答案】(Ⅰ) B ?

?

4

;(Ⅱ) 2 ? 1 。

56 如图,在 △ ABC 中, ?ABC =90°, AB ? 3 , BC ? 1 , P 为 △ ABC 内一点, ?BPC =90°。 (Ⅰ)若 PB ?

1 ,求 PA ; (Ⅱ)若 ?APB=150°,求 tan ?PBA . 2

【答案】(Ⅰ)

7 3 ;(Ⅱ) 。 2 4
2 2 2

57 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c 。 (Ⅰ) 求 C ;(Ⅱ)设 cos A cos B ? 【答案】(Ⅰ) C ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值。 , ? 2 5 cos ? 5

3? ;(Ⅱ) tan ? ? 1 或 tan ? ? 4 。 4

类型七 解三角形的实际应用 1 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30? 的方向上,行 驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75? 的方向上,仰角为 30? ,则此山的高度 CD ? m.
[来源:学.科.网]

【答案】 100 6 2 如图, 为测量山高 MN , 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得

M 点的仰角 ?MAN ? 60? ,

C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? . 已 知 山 高 BC ? 100m , 则 山 高
MN ? ________ m .
【答案】150 3 如 图所示,测 量河对岸的 塔高 AB 时,可 以选与塔底 B 在 同一水平 面内的两个 测点 C 与 D ,现 测得

?BCD ? ? , ?BDC ? ? , CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

【答案】150 4 如 图 所 示 要 测 量 对 岸 A, B 两 点 之 间 的 距 离 , 选 取 相 距

3km 的 C , D 两 点 , 并 测 得

?ACB ? 75?,?BCD ? 45? , ?ADC ? 30? , ?ADC ? 45? ,求 A, B 之间的距离.
【答案】 5km 5 如图, A, B, C , D 都在同一个与水平面垂直的平面内, B, D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处
? 30? ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60? , AC ? 0.1km 。试探究 测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ,

图 中 B, D 间 距 离 与 另 外 哪 两 点 间 距 离 相 等 , 然 后 求 B, D 的 距 离 ( 计 算 结 果 精 确 到 0.01km ,

2 ? 1.414 ,6 ? 2.449)
【答案】 0.33 km 6 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H ( 单位: m ) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h ? 4 m ,仰角

?ABE ? ? , ?ADC ? ? 。
(1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值, tan? ? 1.24, tan ? ? 1.20 ,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以 提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? 【答案】 (1) H ? 124 m ; (2) d ? 55 5m 7 如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。 一种是从 A 沿直线步行到 C , 另一种是先从 A 沿 索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速 直线运动的速度为 130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

35 min ; 37 1250 625 , ] 范围内。 (3)故乙步行的速度应控制在 [ 43 14
【答案】 (1) AB ? 1040 m ; (2) x ? 8 如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动 赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM ,该曲线段为函数 C

M B D N

A

y ? A sin?x( A ? 0,? ? 0) x ?[0,4] 的图象,且图象的最高点为

S (3,2 3) ;赛道的后一部分为折线段 MNP ,为保证参赛
运动员的安全,限定 ?MNP ? 120 。
?

(I)求 A,? 的值和 M , P 两点间的距离; (II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 【答案】 (Ⅰ) A ? 2 3 ,? ? 段道 MNP 最长。 如图,在平面四边形 ABCD 中,已知 AD ? AB ? 1 , ?BAD ? ? ,且△ BCD 为 正三角形. (Ⅰ)将四边形 ABCD 的面积 S 表示为 ? 的函数; (Ⅱ)求 S 得最大值及此时 ? 的值. 【答案】 (Ⅰ) S ?
B C A ?

?
6

? ; MP ? 5 ; (Ⅱ)将 ?PMN 设计为 30 时,折线

D

5? 3 3 ? (Ⅱ)最大值为 1 ? ,? ? 。 ? sin(? ? )(0 ? ? ? ? ) ; 6 2 2 3

类型八 向量在三角函数和解三角形上的应用 1 已知菱形 ABCD的边长为 a , ?ABC ? 60 ,则 BD ? CD =(
?



2 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , m ? ( 3,?1), n ? (cos A, sin A) , 若 m ? n , 且
a c o sB ? b c o sA ? c s i n C ,则角 B ? . ???? ???? ??? ? ??? ? ???? 3 如图,在 ?ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ? AD =
4 在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 , AC ? 4 ,则 AB ? AC 等于
?

???? ? ???? ? ???? ???? ???? ? ??? ? ??? ? 5 在 △ ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC , BN ? NC ,若 MN ? xAB ? y AC ,则 x ? ; y ?



答案:1

? 3 2 a ;2 ;3 6 2

3 ;4 16;5

1 1 ,? ; 2 6

[来源:学_科_

6 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

? ??? ? A 2 5 ??? ? , AB ? AC ? 3 , 2 5

【答案】 (Ⅰ)2; (Ⅱ) 2 5 。 7 已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,向量 m ? (sin B,1 ? cos B) 与向量 n ? (2,0) 夹角 ? 余弦

1 。 2 (I)求 ? B 的大小;
值为
?

(II) ?ABC 外接圆半径为 1,求 a ? c 范围

【答案】 (Ⅰ) 120 ; (Ⅱ) ( 3,2] 。
1 b. 8 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· 2 ? ?? (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在 ? 0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

1 2 9 已知 a= (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? .
【答案】(Ⅰ)

? . (Ⅱ) 1,? 。

(Ⅰ) 若 | a ? b |?

2 ,求证: a ? b ;(Ⅱ)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.
5? ? ,? ? 。 6 6

【答案】(Ⅰ) 已证; (Ⅱ) ? ? 10 设向量 a ?

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sinx ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(I)若 a ? b ,求 x 的值;(II)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x) 的最大值。 【答案】(Ⅰ)

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? ? . 2 5 ? ??? ? ??? (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.
11 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,且 2 cos
2

? ; 6

( Ⅱ)

3 。 2

【答案】(Ⅰ) ?

3 ;(Ⅱ) 5

2 。 2

12 在 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,向量 m ? (a, 3b) 与 n ? (cos A,sin B) 平行. (I)求 A ;(II)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积. 【答案】(I) A ?

??

?

?
3

;(II)

3 3 . 2
?? ? 2 2? ? ? ?? , n ? ?sin x,cos x ? , x ? ? 0, ? 。 , ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2? ?

13 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m ? ?

(Ⅰ)若 m ? n ,求 tan x 的值;(Ⅱ)若 m 与 n 的夹角为 【答案】(Ⅰ) 1 ;(Ⅱ) x ?

??

?

??

?

? ,求 x 的值. 3

5? 。 12

14 已知向量 m ? (sin A, cos A), n ? ( 3,?1), m ? n ? 1 ,且 A 为锐角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域. 【答案】(Ⅰ) A ?

?

;(Ⅱ) ? ?3, ? 。 3 ? 2?

?

3?

15 在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A, B, C 的大小
2

??? ? ????

??? ? ????

【答案】 A ?

?
6

,B ?

2? ? ? ? 2? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 3 6 6 6 3

类型九 综合问题(三角函数,解三角形,平面向量综合) 1 设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos ? x ?
2

? ?

??

?. 4?

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 f ?

? A? ? ? 0, a ? 1 ,求 ?ABC 面积的最大值. ?2?

【答案】 (I)单调递增区间是 ? ?

? 3? ? ? ? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ;单调递减区间是 ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ; 4 4 ? 4 ? ?4 ?
2? 3 。 4

(II) ?ABC 面积的最大值为

2 设函数 f ? x ? ? cos ? x ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的值域;

? ?

2 ? x ? ? ? 2cos2 , x ? R , 3 ? 2

(Ⅱ)记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c ,若 f ( B) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的值。 【答案】(Ⅰ) ?0, 2 ? ;(Ⅱ) a ? 1 或 a ? 2 。 3 设函数 f ( x) ?

1 3 sin x ? cos x , x ? R . 2 2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域; (II)记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( A) ?

3 3 b ,求角 C 的值. , 且a ? 2 2

【答案】(Ⅰ) 2? , [ ?1,1] ;(Ⅱ) C ? 30 。
?

4 已知向量 m ? (2 sin x,2 cos x), n ? ( 3 cos x, cos x) , f ( x) ? m ? n ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标先缩短到原来的 倍,把所得到的图象再向左平 移 单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求函数 y ? g ( x) 在区间 [0,

?
4

] 上的最小值.

【答案】(Ⅰ) ? , [k? ?

?
3

, k? ?

?
6

]( k ? Z ) ;(Ⅱ) 3 。

5 如图所示,在 xOy 平面上,点 A(1,0) ,点 B 在单位圆上. ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) (Ⅰ)若点 B(? , ) ,求 tan(2? ?

3 4 5 5

?
4

) 的值;

(Ⅱ)若 OA ? OB ? OC ,四边形 OACB 的面积用 S四 表示,求 S四 ? OA? OB 的取值范围。 【答案】(Ⅰ) ? 3 ;(Ⅱ) (0, 2 ? 1] 。 6 已知向量 m ? (cos (Ⅰ)若 x ? [0,

x x x 1 ,?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n ? 2 2 2 2

?
2

] , f ( x) ?

3 ,求 cos x 的值; 3

(Ⅱ)在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b , c ,且满足 2a cos B ? 2c ? 3b .求 f ( A) 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)

1 2 2? 3 ;(Ⅱ) ( ? ,0] 。 2 6

7 已知向量 m ? (2 sin x,?1), n ? (sin x ? 3 cos x,?2) ,函数 f ( x) ? (m ? n) ? m . (Ⅰ)求 f ( x ) 在区间 [?

? ?

, ] 上的零点; 2 2

(Ⅱ) 在 △ ABC 中, 内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b , c ,a ? 4, f ( A) ? 2 ,△ ABC 的面积 S ? 3 , 求b ? c 的值.

? ? 5? , ;(Ⅱ) 2 7 。 12 12 x x 2 x ). 8 已知向量 m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos , cos 4 4 4 2? (Ⅰ)若 m ? n ? 1,求 cos( (Ⅱ)记 f ( x) ? m ? n ,在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 ? x) 的值; 3
【答案】(Ⅰ)

a , b , c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC ,求函数 f ( A) 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ?

3 1 ;(Ⅱ) (1, ) 。 2 2

9 已知 f ( x) ? a ? b, 其中 a ? (2 cos x,? 3 sin 2x),b ? (cosx,1), x ? R , (1)求 f ( x) 的单调递减区间; (2)在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b , c , f ( A) ? ?1 ,

a ? 7 ,且向量 m ? (3, sin B) 与 n ? (2, sin C) 共线,求边长 b 和 c 的值.
【答案】(Ⅰ) [k? ?

?
6

, k? ?

?
3

]( k ? Z ) ;(Ⅱ) b ? 3, c ? 2 。

10 已知向量 a ? (2 sin x, 3 cos x),b ? (? sin x,2 sin x) ,函数 f ( x) ? a ? b . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a , b , c ,且 f (C) ? 1, c ? 1, ab ? 2 3 ,且 a ? b ,求 a , b 的 值. 【答案】(Ⅰ) [k? ?

?
3

, k? ?

?
6

]( k ? Z ) ;(Ⅱ) a ? 2, b ? 3 。



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