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眉山市高中2013届第一次诊断性考试理科数学试卷


眉山市高中 2013 届第一次诊断性考试
数学试题卷 (理科 )
2013.01.15 注意事项 : 1. 答题前 ,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时 , 必须使用 2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动 , 用 橡皮擦干净后 , 再选涂其他答案标号。 3. 答非选择题时 , 必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔 , 将答案书写在答题卡规定的位置 上。 4.所有题目必须在答题卡上作答 , 在试题卷上答题无效。 5. 考试结束 , 将答题卡上交。 参考公式:如果事件 A、 B 互斥 , 那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 、 B 相互独立 , 那么 P( A? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰 好发生 k 次的概率为 Pn (k)=C np k (1 ?p)n? k . 一. 选择题: 本大题共 10 小题 , 每小题 5 分 , 共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中. 只 有一项是符合题目要求的 . 1.若集合 M ={ y |y =2x , x?R}, 集合 S ={ x |y =lg(x?1)}, 则下列各式中正确的是 A.M∪ S= M B.M∪ S=S C.M=S D . M ∩S = ? 2 2.设 i 是虚数单位 , 则复数 (1?i )? i 等于 A. 0 B. 2 C. 4i D. ?4i 3.下列四种说法中 , 错误的个数是 ①集合 A ={0,1} 的子集有 3 个; ②命题 “ 若 x2 =1, 则 x=1”的否命题为: “ 若 x2 =1,则 x? 1” . ③ 命 题 “?x ?R , 均 有 x2 ?3x?2≥0” 的 否 定 是 : “? x ?R, 使 得 x2 ?3x?2≤0” ④ “ 命题 p ?q 为真 ” 是 “ 命题 p ? q 为真 ” 的必要不充分条件 . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 4.若 S n 是等差数列 { a n }的前 n 项和 , 且 S 8 ?S3 =20, 则 S 11 的值为 220 A. 44 B.22 C. 3 D.88 5. 执行如图的程序框图 , 如果输入 p=8, 则输出的 S = 63 127 127 255 A. 64 B. 64 C . 128 D. 128 6. 已知直线 m ,l , 平面 ?, ? , 且 m? ?, l ? ? , 给出下列命题 : ①若 ? // ? , 则 m? l ; ②若 ?? ? ,则 m//l ; ③若 m? l ,则 ? // ? ; ④若 m// l ,则 ??? 。 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C .3 D.4
k

开始 输入 p n=1 S=0 n= n+1 S= S+2 ? n n< p?
? 否 是

输出 S 结 束

7. 函数 f (x )=log 2 |x |, g (x)=?x2 +2 则 f (x )· g (x ) 的图象只可能是
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D
y

8. 函 数 f (x)=A sin ( ? x+ ? ) 的 图 象 如 右 图 所 示 , 为 了 得 到 g (x)=?A cos ? x 的图像 , 可以将 f ( x) 的图像 5? ? A.向右平移 12 个单位长度 B .向右平移 12 个单位长度 C .向左平移

?

o
-1

3

7? 12

x



1 5? 个单位长度 12 12 9.伦敦奥运会乒球男团比赛规则如下:每队 3 名队员 , 两队之间共需进行五场比赛 , 其 中一场双打 , 四场单打 , 每名队员都需比赛两场 ( 双打需两名队员同时上场比赛 ), 要求双打 比赛必须在第三场进行 , 若打满五场 , 则三名队员不同的出赛顺序安排共有 A.144 B.72 C .36 D.18 10.已知 R 上的连续函数 g(x ) 满足 : ①当 x >0 时 , g ? (x)>0 恒成立 ( g ? (x)为函数 g(x) 的导函

?

个单位长度

D .向左平移

数 ); ②对任意的 x ?R 都有 g ( x)=g(?x). 又函数 f ( x) 满足: 对任意的 x ?R 都有 f ( 3+x)=f ( x? 3) 3 3 成立 ,当 x ?[? 3, 3] 时 ,f (x)= x3 ?3 x. 若关于 x 的不等式 g [ f (x)]? g (a 2 ?a+2)对 x ?[? 2 ?2 2, 2 ?2 3] 恒成立 , 则 a 的取值范围是 A . a ?R B.0 ? a ? 1 1 3 3 1 3 3 C . ? 2? 4 ? a ? ? 2 + 4 D. a?0 或 a?1

二、填空题 : 本大题共 5 小题 , 每小题 5 分 , 共 25 分 , 把答案填在答题卡相应位置上 . 11.已知平面向量 → a =(3,1), → b =(x,?3),→ a // → b ,则 x 等于 ?9 ; ;

? ?x+y? 3 x y 12.设 x, y 满足约束条件 ?x?y? ?1 , 若目标函数 z = 2 +5 的最大值为 3 ? ?2x?y? 3 2 13. 已知函数 f ( x)=ax +(b+1)x +b ?1, 且 a ?(0,3), 则对于任 意的 b ?R, 函数 F(x )= f (x)?x 总有两个不同的零点的概率是 1 2 ; 3 正视图 3 14. 某几何体的三视图如图所示 , 且该几何体的体积是 2 , 3 则正视图中 x 的值是 ; 2 15. 若对于定义在 R 上的函数 , 其图象是连续不断的 , 且 俯视图 存在常数 ? (? ?R) 使得 f (x+? )+? f (x)=0 对任意实数 x 都成立 , 则称 f ( x) 是一个 “? — 伴随函数 ”. 有下列关于 “? —伴随函数 ” 的结论:

x 1 1

侧视图

① f (x)=0 是常数函数中唯一个 “? — 伴随函数 ” ; ② f (x) = x 不是 “? —伴随函数 ” ; ③ f (x)=x2 是一个 “? — 伴随函数 ” ; 1 ④ “ 2 — 伴随函数 ” 至少有一个零点 . 其中不正确 的序号是 __ ①③ __.( 填上所有不正确 的结论序号 ). ... ... 三、解答题 : 本大题共 6 小题 , 共 75 分 , 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

? 16. ( 本小题 12 分 ) 在锐角 ?ABC 中 , 三个内角 A,B, C 所对的边依次为 a, b , c, 设 → m =(sin( 4
3 ? → ?A),1), → n =(2sin( 4 +1),?1), a =2 3, 且 → m· n =? 2. (1) 若 b =2 2,求 ?ABC 的面积; (2) 求 b + c 的最大值 . 3 ? ? ? ? ? → 解:→ m· n =2sin( 4 ?A)sin( 4 +A)?1=2sin( 4 ?A)cos( 4 ?A)?1=sin( 2 ?2 A)?1=cos2A?1=? 2 , 1 ?cos2 A=? 2, ……… 3 分 ………4 分

2? ? ? ∵ 0<A < 2 , ?0<2 A<? , ?2 A = 3 , A= 3

3 设 △ABC 的外接圆半径为 R, 由 a =2 R sin A 得 2 3=2 R? 2 , ?R=2 2 ? 由 b =2 R sin B 得 sin B= 2 , 又 b <a ,?B= 4 , ……… 5 分 ……… 6 分

3 2 1 2 6+ 2 ?sin C =sin(A+B )=sin A cos B+cos Asin B= 2 ·2 +2·2 = 4 ,

1 1 6+ 2 ??ABC 的面积为 S= 2ab sin C =2· 2 3· 2 2· 4 =3+ 3.……… 7 分 (2)解法 1 :由 a2 =b2 +c2 ?2 bccos A,得 b2 +c2 ?bc=12, …… 9 分 b+c ?(b+c)2 =3bc +12 ? 3( 2 )2 +12, …… 11 分 ?(b+c)2 ? 48, 即 b +c? 4 3,(当且仅当 b = c 时取等号 ) 从而 b +c 的最大值为 4 3. …… 12 分

b c a 2 3 2? 解法 2 :由正弦定理得 : sin B=sinC =sin A = =4, 又 B +C = ? ?A= 3 , ……(8 分 ) ? sin 3 2? ? ?b +c=4(sin B+sin C )=4[sin B+sin( 3 ?B)]=6sin B+2 3cos B=4 3sin(B+ 6 ), …… 10 分 ? 当 B+ 6 = 2 , 即 B= 3 时 , b+ c 取得最大值 4 3.

? ?

?

…… 12 分

17. ( 本小题 12 分 ) 我校开设甲、乙、丙三门选修课 ,学生是否选修哪门课互不影响 , 已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为 0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率为 0.12, 至少选修一门的概率为 0.88, 用 ?表示该学生选修课程门数和没选修门数的乘积 . (1)记 “ ?=0 ”为事件 A, 求事件 A 的概率; (2)求 ?的分布列与数学期望 . 解 : (1) 设该生选修甲 , 乙 , 丙课程的概率依次为 P1 ,P2 ,P3 , 则由题意知 ? ? ?P1 (1 ?P2 )(1?P3 )=0.08 ?P1 =0.4 ? P1 P2 (1?P3 )=0.12 , 解得 ?P2 =0.6 , ? 1?(1?P1 )(1?P 2 )(1 ?P3 )=0.88 ?P3 =0.5 ? ? ……… 4 分

由题意可设 ?可能取的值为 0,2, ?=0 的意义为选三门或一门都不选。 因此 P ( ?=0)=0.4 ? 0.6? 0.5+(1 ?0.4)(1 ?0.6)(1 ?0.5)=0.24 即为所求 . ……… 6 分 (2) ?=2 的意义为选一门或选两门 . 由 事 件 的 互 斥 性 和 独 立 性 可 知 P ( ? =2)=0.4 ? 0.4? 0.5+0.6 ? 0.6 ? 0.5+0.6 ? 0.4 ? 0.5+ 0.4? 0.6? 0.5+0.4 ? 0.4 ? 0.5+0.6 ? 0.6 ? 0.5=0.76. …… 9 分 结合 ( Ⅰ )( Ⅱ )可知随机变量 ?的分布列为

?
P

0 0.24

2 0.76

……… 11 分 ……… 12 分

由此可得 ,所求数学期望为: E ?=0 ? 0.24+2 ? 0.76=1.52.

18. ( 本小题 12 分 ) 三棱锥 P ?ABC 中 ,PA ⊥平面 ABC ,AB ⊥ BC , P (1)证明 : 平面 PAB ⊥平面 PBC ; 2 2 (2) 若 PA= 6, PC 与侧面 APB 所成角的余弦值为 3 ,PB 与底 面 ABC 成 60° 角 , 求二面角 B― PC ― A 的大小 . A (1)证明 :∵ PA ? 面 ABC , ?PA? BC , ∵ AB? BC , 且 PA ∩AB= A, ?BC? 面 PAB 而 BC ? 面 PBC 中 ,? 面 PAB? 面 PBC . …… 5 分 解 :(2) 过 A 作 AE ? PB于E, 过E作EF ? PC于F, 连结AF, 如图所示 : 则 ?EFA 为 B?PC ? A 的二面角的平面角 …… 8 分 2 由 PA= 6, 在 R t ?PBC 中 ,cos ?C OB= 3 2. P Rt ?PAB 中 , ?PBA =60 ? . ?AB= 2, PB=2 2,PC =3 PA· AB 6 ?AE= PB = 2 同理: AF= 2 ……… 10 分
E A B F

C B

C

6 2 3 ?sin ?EFA = = 2 , ……… 11 分 2 ??EFA =60. ……… 12 分

z

另解 :向量法:由题可知: AB= 2, BC =1, 建立如图所示的空间直角坐标系 …………(7 分 ) B(0,0,0), C (1,0,0), A(0, 2,0), P(0, 2, 6), 假设平面 BPC 的法向量为 → n =(x1 , y1 ,z 1 ), → =x =0 ? ?→ n· BC 1 ?? → → ?n· ? BP= 2y1 + 6 z1 =0
y

P

A B

C

x

取 z 1 = 6可得平面 BPC 的法向量为 → n =(0, ?3 2, 6)………(9 分 ) 同理 PCA 的法向量为 → m =(2, ? 2,0)…………………(11 分 ) → → m· n 1 → → ?cos< m , n >= =2, |→ m |· |→ n|

? 所求的角为 60°

……… 12 分

ax2 +1 19(本小题 12 分 ) 已知函数 f ( x)= x . (1) 求 f (x) 的单调区间; (2) 若 a >0, x1 +x2 >0, x2 +x 3 >0, x3 +x1 >0,|xi |> 求证 : f (x1 )+f (x2 )+f (x3 )>2 a . 1 解:整理得: f ( x)=ax+ x (1) 当 a? 0 时 , f (x) 的减区间为 (? ?,0) 和 (0,+ ? ); 1 1 1 1 当 a >0 时 , f (x) 的减区间为 (? ,0)和 (0, ), 增区间为 (? ?,? )和 ( ,+?) ……… 5 分 a a a a (2)由条件知: x1 , x2 , x3 中至多一个负数。 ……… 6 分 1 1 (ⅰ ) 若 x1 ,x2 , x3 都为正数 , 由 (1) 可知 |xi |> 时 , f (|x i |)>f ( )=2 a (i =1,2,3) a a ? f (x1 )+f (x2 )+f (x3 )>6 a >2 a ……… 9 分 1 (i =1,2,3). a

(ⅱ ) 若 x1 ,x2 , x3 中有一负数 , 不妨设 x3 <0. 1 ∵ x2 +x3 >0 且 |x3 |> , a 1 ?x2 >?x3 > a ?f (x2 )>f (?x3 )=?f ( x3 )(∵ f (x) 为奇函数 ) ?f (x2 )+f (x3 )>0

? f (x1 )+f (x2 )+f (x3 )>f (x1 )>f (

1 )=2 a a

……… 11 分

综上 , f (x1 )+f (x2 )+f (x3 )>2 a . ……… 12 分 20 (本小题 13 分 ) 已知函数 f ( x)=lnx?kx+1. (1)求函数 f (x) 的单调区间 ; (2) 若 f (x)? 0 恒成立 , 试确定实数 k 的取值范围 ; n lni n (n?1) (3)证明 : ? i +1< 4 (n ?N *,N >1). i =2 1 解 :(1) f ? (x)= x ?k( x>0). ……… 1 分

?① 当 k? 0 时 , f ? (x)>0, f (x) 的增区间为 (0,+ ?); ……… 2 分 1 1 1 1 ② 当 k >0 时 , 由 x ?k? 0 得 0<x? k , 由 x ?k? 0 得 x? k , 1 1 即当 k>0 时 , f (x ) 的增区间为 (0, k ], 递减区间为 [ k ,+?). ……… 4 分 (2)由 (1) 可知 : 当 k? 0 时 , f (x)无最大值 , 不合题意 , ?k>0, 1 由 (1) 的 ② 知 f ( x) 在 x= k 取得最大值 . 1 1 ?f (x)? 0 恒成立的条件是 f ( k )=ln k ? 0, ……… 7 分 解得 k? 1. 从而 , 所求 k 的取值范围是 [1,+?). ……… 8 分 (3)由 (2) 可得 , 当 k =1 时 , f (x)=lnx?x+1<0 在 (1,+ ? )上恒成立 , 令 x=n 2 ,得 lnn2 <n2 ?1(n>1), ……… 10 分 lnn n ?1 即 n+1< 2 . ……… 11 分 ln2 ln3 lnn 1 n (n?1) ? 3 + 4 +… + n +1< 2 [1+2+… +(n ? 1)]= 4 , 从而原不等式得证 . ……… 13 分 ……… 5 分

21(本小题 14 分 ) 已知数列 { an }中 ,a 1 =6, an +1 = an +1, 数列 { b n }, 点 (n , bn ) 在过点 A (0,1) 的直 → 线 l 上 , 若 l 上有两点 B、 C ,向量 BC =(1,2). (1)求数列 { a n },{ bn } 的通项公式; bn (2)设 cn =2 ,在 a k 与 a k +1 之间插入 k 个 ck ,依次构成新数列 , 试求该数列的前 2013 项之 和; 1 1 1 (3)对任意正整数 n , 不等式 (1+ b )(1+ b )· …· (1+ b )? a n?2+a n ? 0 ? 0 恒成立 , 求正数 a 的
1 2 n

范围 . 解 :(1) ∵ an +1 ?a n =1 且 a 1 =6,?an =n +5 ……… 1 分

→ =(x,y?1), 由已知可得 AP → // BC →. 设 l 上任意一点 P(x, y ), 则 AP ?y=2 x +1, 又 l 过点 (n , bn ) ?bn =2 n +1 ……… 4 分 (2)新数列: a1 , c1 , a2 , c2,c2 ,a3 , c3 , c3 ,c3 , a 4 , … , ak ,ck, … , a k +1 , k+1 共计项数: k+1+ 2 · k k+1 经估算 k =62, k+1+ 2 · k=2016, 项数接近 2013, ?S2013 =(a1 +a 2 +… +a62 )+(1 ? c1 +2 ? c2 +… +62 ? c62 )?2 c62 令 T =1? c1 +2? c2 + … +62 ? c62 , T =1 ? 23 +2? 25 +3 ? 2 7 +… +62 ? 2125 4T= 1? 25 +2 ? 27 + … +61 ? 2125 +62 ? 2127 8+185 ? 2127 两式相减得: T = ……… 8 分 9 6+67 8+185 ? 2127 8+722 ? 2125 125 ? S2013 = 2 + ? 2 ? 2 =2263+ 9 9 (3)变量分离得: a ? 1 1 1 (1+b )(1+b )· …· (1+ b )
1 2 n

……… 5 分 ……… 6 分

……… 9 分

2 n+3
2 n

恒成立 .

……… 10 分

令 g (n )=

1 1 1 (1+b )(1+b )· …· (1+ b )
1

2 n+3

……… 11 分

1 1 1 1 (1+ )(1+ )· …· (1+ )(1+ ) b1 b2 bn bn +1 g (n+1) ? g(n) = ? 2 n +5 =

2 n+3 1 1 1 (1+ b )(1+ b )· …· (1+ b ) 1 2 n

2 n +4 ?1 ……… 13 分 2 n +3 2n +5 ? {g(n)}递增数列。 4 ?a?(0, g (1))=(0, 15 5] ……… 14 分



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